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2019-2020学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共14小题，每题3分，共42分）只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±4 D．4
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠A是同位角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠B是内错角
3．（3分）九年级体育测试某班跳绳成绩的频数分布表如下：
次数
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
2
3
26
13
6
跳绳次数x在160≤x＜180范围的学生占全班学生的（ ）
A．6% B．12% C．26% D．52%
4．（3分）有下列说法：（1）﹣6是36的一个平方根；（2）16的平方根是4；（3）＝2；（4）是无理数；（5）当a≠0时，一定有是正数．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
7．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
9．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，点E在AB的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠A+∠ADC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠1＝∠2 D．∠C＝∠CBE
11．（3分）已知x﹣2的平方根是±2，＝3，x2+y2的平方根是（ ）
A．±9 B．±5 C．±10 D．±6
12．（3分）对于实数x，y：规定一种运算：x△y＝ax+by（a，b是常数）．已知2△3＝11，5△（﹣3）＝10．则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝ B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝3，b＝2
13．（3分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．6＜a≤7 B．18＜a≤21 C．18≤a＜21 D．18≤a≤21
14．（3分）如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论①AH⊥EF，②∠ABF＝∠EFB，③AC∥BE，④∠E＝∠ABE．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 ．
16．（3分）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，这种调查适用 ．（填全面调查或者抽样调查）
17．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于 ．
18．（3分）在关于x，y的方程组：①：②中，若方程组①的解是，则方程组②的解是 ．
19．（3分）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示有序排列．如“峰1”中峰顶C的位置是有理数4；“峰2”中C的位置是有理数﹣9，根据图中的排列规律可知，2008应排在A、B、C、D、E中的 位置．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（6分）计算：﹣（2+）+（﹣）﹣|﹣3|．
21．（7分）．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）连接A1C，CC1，求△A1CC1的面积．
23．（8分）如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
24．（9分）为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？
25．（11分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
（2）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共14小题，每题3分，共42分）只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±4 D．4
【分析】依据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：C．
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠A是同位角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠B是内错角
【分析】依据同位角，内错角以及同旁内角的概念进行判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠A是AE，DE被AD所截而成的同旁内角，正确；
B．∠3与∠A不是同位角，错误；
C．∠2与∠3是DE，AE被BC所截而成的同位角，正确；
D．∠3与∠B是BD，DE被BC所截而成的内错角，正确；
故选：B．
3．（3分）九年级体育测试某班跳绳成绩的频数分布表如下：
次数
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
2
3
26
13
6
跳绳次数x在160≤x＜180范围的学生占全班学生的（ ）
A．6% B．12% C．26% D．52%
【分析】用在160≤x＜180范围内的频数13除以总频数即可，13÷50＝26%，
【解答】解：＝26%，
故选：C．
4．（3分）有下列说法：（1）﹣6是36的一个平方根；（2）16的平方根是4；（3）＝2；（4）是无理数；（5）当a≠0时，一定有是正数．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据平方根的定义，立方根的定义，无理数的定义以及算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：（1）﹣6是36的一个平方根，正确；
（2）16的平方根是±4，故原说法错误；
（3）（3）＝2，正确；
（4）＝4，是有理数，故原说法错误；
（5）当a＜0时，没有意义，故原说法错误．
故正确的说法有两个．
故选：B．
5．（3分）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把x与y的值代入方程组检验即可．
【解答】解：A、方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
B、把x＝1，y＝2代入x+y＝﹣3，不符合题意；
C、把x＝1，y＝2代入，符合题意，
D、把x＝1，y＝2代入x+y＝0，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD＝∠DNF＝95°，再利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：方法一：
延长FE交DC于点N，
∵直线AB∥EF，
∴∠BCD＝∠DNF＝95°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠DEF＝95°+25°＝120°．
故选：C．
方法二：
过点D作DM∥AB，
∵直线AB∥DM，∠BCD＝95°，
∴∠CDM＝85°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠EDM＝60°，
∵AB∥DM，AB∥EF，
∴EF∥DM，
∴∠DEF＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
7．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；
D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：∵点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，
∴，
解得3＜x＜4，
故选：C．
9．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．
故选：A．
10．（3分）如图，点E在AB的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠A+∠ADC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠1＝∠2 D．∠C＝∠CBE
【分析】依据平行线的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：A．当∠A+∠ADC＝180°时，CD∥AB，不合题意；
B．当∠3＝∠4时，CD∥AB，不合题意；
C．当∠1＝∠2时，AD∥BC，符合题意；
D．当∠C＝∠CBE时，CD∥AB，不合题意；
故选：C．
11．（3分）已知x﹣2的平方根是±2，＝3，x2+y2的平方根是（ ）
A．±9 B．±5 C．±10 D．±6
【分析】利用平方根、立方根性质计算求出x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，＝3，
∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27，
解得：x＝6，y＝8，
则x2+y2＝36+64＝100，100的平方根是±10．
故选：C．
12．（3分）对于实数x，y：规定一种运算：x△y＝ax+by（a，b是常数）．已知2△3＝11，5△（﹣3）＝10．则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝ B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝3，b＝2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
解得：．
故选：C．
13．（3分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．6＜a≤7 B．18＜a≤21 C．18≤a＜21 D．18≤a≤21
【分析】不等式组整理后，由有且只有四个整数解确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，即2＜x＜，
由不等式组有且只有四个整数解，得到整数解x＝3，4，5，6，
∴6＜≤7，
解得：18＜a≤21，
故选：B．
14．（3分）如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论①AH⊥EF，②∠ABF＝∠EFB，③AC∥BE，④∠E＝∠ABE．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．
【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴①AH⊥EF正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴②∠ABF＝∠EFB正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴④∠E＝∠ABE正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 4 ．
【分析】直接利用平方根的定义得出2m﹣1+（﹣3m+）＝0，进而求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得：2m﹣1+（﹣3m+）＝0，
解得：m＝，
∴正数a＝（2×﹣1）2＝4，
故答案为：4．
16．（3分）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，这种调查适用 抽样调查 ．（填全面调查或者抽样调查）
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查．
故答案为：抽样调查．
17．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于 115° ．
【分析】根据折叠的性质，得∠BFE＝（180°﹣∠1），再根据平行线的性质即可求得∠AEF的度数．
【解答】解：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，得
∠BFE＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝115°．
18．（3分）在关于x，y的方程组：①：②中，若方程组①的解是，则方程组②的解是 ．
【分析】首先根据：方程组①的解是，可得：，据此求出a、b的值各是多少；然后把求出的a、b的值代入②，再应用加减消元法，求出方程组②的解是多少即可．
【解答】解：∵方程组①的解是，
∴，
解得，
∴，
①﹣②×3得：11y＝11，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：x＝4，
∴方程组②的解是．
故答案为：．
19．（3分）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示有序排列．如“峰1”中峰顶C的位置是有理数4；“峰2”中C的位置是有理数﹣9，根据图中的排列规律可知，2008应排在A、B、C、D、E中的 B 位置．
【分析】由题意可知：每个峰排列5个数，用（2008﹣1）除以5，根据商和余数的情况确定2008所在峰中的位置即可．
【解答】解：∵每个峰需要5个数，
∴（2008﹣1）÷5＝401…2，
∴2008为“峰402”的第二个数，排在B的位置．
故答案为：B．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（6分）计算：﹣（2+）+（﹣）﹣|﹣3|．
【分析】原式利用立方根、算术平方根性质，绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣+×4﹣﹣（3﹣）
＝3﹣2﹣+2﹣﹣3+
＝﹣．
21．（7分）．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
②×7﹣①得：32x＝32，即x＝1，
将x＝1代入②得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）连接A1C，CC1，求△A1CC1的面积．
【分析】（1）依据△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，即可得到的△A1B1C1，进而得到A1、B1、C1的坐标．
（2）依据割补法进行计算，即可得到△A1CC1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A1（2，3），B1（1，1），C1（4，﹣1）．
（2）如图，△A1CC1的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×3﹣×2×5＝8．
23．（8分）如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义证明∠3＝∠4即可．
【解答】解：∵AC∥DE，DC∥EF，
∴∠1＝∠5，∠2＝∠4，∠3＝∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3，
∴EF平分∠BED．
24．（9分）为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？
【分析】（1）用借“生活”类的书的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；然后用360°乘以借阅“艺术“的人数所占的百分比得到“艺术”部分的圆心角度；
（2）先计算出借阅“科普“的学生数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用样本中“科普”类所占的百分比乘以300即可．
【解答】解：（1）上个月借阅图书的学生总人数为60÷25%＝240（人）；扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数＝360°×＝150°；
（2）借阅“科普“的学生数＝240﹣100﹣60﹣40＝40（人），
条形统计图为：
（3）300×＝50，
估计“科普”类图书应添置50册合适．
25．（11分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4＝54（元），B种足球单价为80×0.9＝72（元），
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72＝3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标 （﹣4，﹣4） ，AO和BC位置关系是 BC∥AO ；
（2）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、c，得到点B的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；
（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵（a+8）2+＝0，
∴a+8＝0，c+4＝0，
解得，a＝﹣8，c＝﹣4，
则点B的坐标为（﹣4，﹣4），
∵点B的坐标为（﹣4，﹣4），点C的坐标为（0，﹣4），
∴BC∥AO，
故答案为：（﹣4，﹣4），BC∥AO；
（2）过B点作BE⊥AO于E，
设时间经过t秒，S△PAB＝2S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∵BE＝4，BC＝4，
∴，
，
∵S△APB＝2S△BCQ，
∴4t＝2（8﹣2t）
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
理由如下：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，
即∠BQP+∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
一、选择题（本题共14小题，每题3分，共42分）只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±4 D．4
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠A是同位角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠B是内错角
3．（3分）九年级体育测试某班跳绳成绩的频数分布表如下：
次数
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
2
3
26
13
6
跳绳次数x在160≤x＜180范围的学生占全班学生的（ ）
A．6% B．12% C．26% D．52%
4．（3分）有下列说法：（1）﹣6是36的一个平方根；（2）16的平方根是4；（3）＝2；（4）是无理数；（5）当a≠0时，一定有是正数．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
7．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
9．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，点E在AB的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠A+∠ADC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠1＝∠2 D．∠C＝∠CBE
11．（3分）已知x﹣2的平方根是±2，＝3，x2+y2的平方根是（ ）
A．±9 B．±5 C．±10 D．±6
12．（3分）对于实数x，y：规定一种运算：x△y＝ax+by（a，b是常数）．已知2△3＝11，5△（﹣3）＝10．则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝ B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝3，b＝2
13．（3分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．6＜a≤7 B．18＜a≤21 C．18≤a＜21 D．18≤a≤21
14．（3分）如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论①AH⊥EF，②∠ABF＝∠EFB，③AC∥BE，④∠E＝∠ABE．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 ．
16．（3分）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，这种调查适用 ．（填全面调查或者抽样调查）
17．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于 ．
18．（3分）在关于x，y的方程组：①：②中，若方程组①的解是，则方程组②的解是 ．
19．（3分）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示有序排列．如“峰1”中峰顶C的位置是有理数4；“峰2”中C的位置是有理数﹣9，根据图中的排列规律可知，2008应排在A、B、C、D、E中的 位置．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（6分）计算：﹣（2+）+（﹣）﹣|﹣3|．
21．（7分）．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）连接A1C，CC1，求△A1CC1的面积．
23．（8分）如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
24．（9分）为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？
25．（11分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标 ，AO和BC位置关系是 ；
（2）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
2019-2020学年山东省临沂市莒南县七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共14小题，每题3分，共42分）只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）16的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．±4 D．4
【分析】依据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：C．
2．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠A是同旁内角 B．∠3与∠A是同位角
C．∠2与∠3是同位角 D．∠3与∠B是内错角
【分析】依据同位角，内错角以及同旁内角的概念进行判断即可．
【解答】解：A．∠1与∠A是AE，DE被AD所截而成的同旁内角，正确；
B．∠3与∠A不是同位角，错误；
C．∠2与∠3是DE，AE被BC所截而成的同位角，正确；
D．∠3与∠B是BD，DE被BC所截而成的内错角，正确；
故选：B．
3．（3分）九年级体育测试某班跳绳成绩的频数分布表如下：
次数
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
频数
2
3
26
13
6
跳绳次数x在160≤x＜180范围的学生占全班学生的（ ）
A．6% B．12% C．26% D．52%
【分析】用在160≤x＜180范围内的频数13除以总频数即可，13÷50＝26%，
【解答】解：＝26%，
故选：C．
4．（3分）有下列说法：（1）﹣6是36的一个平方根；（2）16的平方根是4；（3）＝2；（4）是无理数；（5）当a≠0时，一定有是正数．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据平方根的定义，立方根的定义，无理数的定义以及算术平方根的定义逐一判断即可．
【解答】解：（1）﹣6是36的一个平方根，正确；
（2）16的平方根是±4，故原说法错误；
（3）（3）＝2，正确；
（4）＝4，是有理数，故原说法错误；
（5）当a＜0时，没有意义，故原说法错误．
故正确的说法有两个．
故选：B．
5．（3分）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把x与y的值代入方程组检验即可．
【解答】解：A、方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
B、把x＝1，y＝2代入x+y＝﹣3，不符合题意；
C、把x＝1，y＝2代入，符合题意，
D、把x＝1，y＝2代入x+y＝0，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【分析】直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD＝∠DNF＝95°，再利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：方法一：
延长FE交DC于点N，
∵直线AB∥EF，
∴∠BCD＝∠DNF＝95°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠DEF＝95°+25°＝120°．
故选：C．
方法二：
过点D作DM∥AB，
∵直线AB∥DM，∠BCD＝95°，
∴∠CDM＝85°，
∵∠CDE＝25°，
∴∠EDM＝60°，
∵AB∥DM，AB∥EF，
∴EF∥DM，
∴∠DEF＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
7．（3分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．﹣＞﹣ D．a2＜b2
【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【解答】解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项错误；
B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣，不等号的方向改变，即﹣＞﹣，故本选项错误；
D、当a＝﹣5，b＝1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；
故选：D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，则x的取值范围为（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．3＜x＜4 D．x＞3
【分析】根据第三象限内点的坐标符号特点列出关于m的不等式组，解之可得．
【解答】解：∵点P（x﹣4，3﹣x）在第三象限，
∴，
解得3＜x＜4，
故选：C．
9．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据羊的价格不变列出方程组．
【解答】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为：．
故选：A．
10．（3分）如图，点E在AB的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（ ）
A．∠A+∠ADC＝180° B．∠3＝∠4
C．∠1＝∠2 D．∠C＝∠CBE
【分析】依据平行线的判定方法，即可得出结论．
【解答】解：A．当∠A+∠ADC＝180°时，CD∥AB，不合题意；
B．当∠3＝∠4时，CD∥AB，不合题意；
C．当∠1＝∠2时，AD∥BC，符合题意；
D．当∠C＝∠CBE时，CD∥AB，不合题意；
故选：C．
11．（3分）已知x﹣2的平方根是±2，＝3，x2+y2的平方根是（ ）
A．±9 B．±5 C．±10 D．±6
【分析】利用平方根、立方根性质计算求出x与y的值，即可求出所求．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，＝3，
∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27，
解得：x＝6，y＝8，
则x2+y2＝36+64＝100，100的平方根是±10．
故选：C．
12．（3分）对于实数x，y：规定一种运算：x△y＝ax+by（a，b是常数）．已知2△3＝11，5△（﹣3）＝10．则a，b的值为（ ）
A．a＝3，b＝ B．a＝2，b＝3 C．a＝3，b＝ D．a＝3，b＝2
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
解得：．
故选：C．
13．（3分）若关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．6＜a≤7 B．18＜a≤21 C．18≤a＜21 D．18≤a≤21
【分析】不等式组整理后，由有且只有四个整数解确定出a的范围即可．
【解答】解：不等式组整理得：，即2＜x＜，
由不等式组有且只有四个整数解，得到整数解x＝3，4，5，6，
∴6＜≤7，
解得：18＜a≤21，
故选：B．
14．（3分）如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论①AH⊥EF，②∠ABF＝∠EFB，③AC∥BE，④∠E＝∠ABE．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、余角的性质等来判断即可．
【解答】解：∵AH⊥BC，EF∥BC，
∴①AH⊥EF正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴②∠ABF＝∠EFB正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BE∥AC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴④∠E＝∠ABE正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 4 ．
【分析】直接利用平方根的定义得出2m﹣1+（﹣3m+）＝0，进而求出m的值，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得：2m﹣1+（﹣3m+）＝0，
解得：m＝，
∴正数a＝（2×﹣1）2＝4，
故答案为：4．
16．（3分）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，这种调查适用 抽样调查 ．（填全面调查或者抽样调查）
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：由于食品数量庞大，且抽测具有破坏性，适用抽样调查．
故答案为：抽样调查．
17．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于 115° ．
【分析】根据折叠的性质，得∠BFE＝（180°﹣∠1），再根据平行线的性质即可求得∠AEF的度数．
【解答】解：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，得
∠BFE＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝115°．
18．（3分）在关于x，y的方程组：①：②中，若方程组①的解是，则方程组②的解是 ．
【分析】首先根据：方程组①的解是，可得：，据此求出a、b的值各是多少；然后把求出的a、b的值代入②，再应用加减消元法，求出方程组②的解是多少即可．
【解答】解：∵方程组①的解是，
∴，
解得，
∴，
①﹣②×3得：11y＝11，
解得y＝1，
把y＝1代入①得：x＝4，
∴方程组②的解是．
故答案为：．
19．（3分）将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示有序排列．如“峰1”中峰顶C的位置是有理数4；“峰2”中C的位置是有理数﹣9，根据图中的排列规律可知，2008应排在A、B、C、D、E中的 B 位置．
【分析】由题意可知：每个峰排列5个数，用（2008﹣1）除以5，根据商和余数的情况确定2008所在峰中的位置即可．
【解答】解：∵每个峰需要5个数，
∴（2008﹣1）÷5＝401…2，
∴2008为“峰402”的第二个数，排在B的位置．
故答案为：B．
三、解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（6分）计算：﹣（2+）+（﹣）﹣|﹣3|．
【分析】原式利用立方根、算术平方根性质，绝对值的代数意义化简，计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣+×4﹣﹣（3﹣）
＝3﹣2﹣+2﹣﹣3+
＝﹣．
21．（7分）．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
②×7﹣①得：32x＝32，即x＝1，
将x＝1代入②得：y＝﹣1，
则方程组的解为．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，3），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
（2）连接A1C，CC1，求△A1CC1的面积．
【分析】（1）依据△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，即可得到的△A1B1C1，进而得到A1、B1、C1的坐标．
（2）依据割补法进行计算，即可得到△A1CC1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A1（2，3），B1（1，1），C1（4，﹣1）．
（2）如图，△A1CC1的面积＝4×5﹣×2×4﹣×2×3﹣×2×5＝8．
23．（8分）如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．
【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义证明∠3＝∠4即可．
【解答】解：∵AC∥DE，DC∥EF，
∴∠1＝∠5，∠2＝∠4，∠3＝∠5，
∵CD平分∠BCA，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3，
∴EF平分∠BED．
24．（9分）为了了解学校图书馆上个月借阅情况，管理老师从学生对艺术、经济、科普及生活四类图书借阅情况进行了统计，并绘制了下列不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）上个月借阅图书的学生有多少人？扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数是多少？
（2）把条形统计图补充完整；
（3）从借阅情况分析，如果要添置这四类图书300册，请你估算“科普”类图书应添置多少册合适？
【分析】（1）用借“生活”类的书的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；然后用360°乘以借阅“艺术“的人数所占的百分比得到“艺术”部分的圆心角度；
（2）先计算出借阅“科普“的学生数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体，用样本中“科普”类所占的百分比乘以300即可．
【解答】解：（1）上个月借阅图书的学生总人数为60÷25%＝240（人）；扇形统计图中“艺术”部分的圆心角度数＝360°×＝150°；
（2）借阅“科普“的学生数＝240﹣100﹣60﹣40＝40（人），
条形统计图为：
（3）300×＝50，
估计“科普”类图书应添置50册合适．
25．（11分）某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
【分析】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，根据“总费用＝买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，A、B种足球的单价，即可得出哪种方案花钱最多，求出花费最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得：，解得：．
答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个，
依题意得：，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4＝54（元），B种足球单价为80×0.9＝72（元），
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72＝3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
（1）直接写出点B的坐标 （﹣4，﹣4） ，AO和BC位置关系是 BC∥AO ；
（2）当P、Q分别在线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；
（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、c，得到点B的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；
（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：（1）∵（a+8）2+＝0，
∴a+8＝0，c+4＝0，
解得，a＝﹣8，c＝﹣4，
则点B的坐标为（﹣4，﹣4），
∵点B的坐标为（﹣4，﹣4），点C的坐标为（0，﹣4），
∴BC∥AO，
故答案为：（﹣4，﹣4），BC∥AO；
（2）过B点作BE⊥AO于E，
设时间经过t秒，S△PAB＝2S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，
∴CQ＝4﹣t，
∵BE＝4，BC＝4，
∴，
，
∵S△APB＝2S△BCQ，
∴4t＝2（8﹣2t）
解得，t＝2，
∴AP＝2t＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
理由如下：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，
∴∠OPQ＝∠PQH，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，
∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；
②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，
∴∠OPQ＝∠PQJ，
∵BC∥AO，QH∥AO，
∴QH∥BC，
∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，
∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，
∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，
即∠BQP+∠OPQ＝150°，
综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．
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