（山东专用）2021版高考数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第五讲古典概型学案（含解析）

第五讲　古典概型

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一　基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是__互斥__的．

(2)任何事件都可以表示成__基本事件__的和(除不可能事件)．

知识点二　古典概型的定义

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件__只有有限个__.

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性__相等__.

知识点三　古典概型的概率公式

P(A)＝____.

重要结论

1．任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．

2．求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．

双基自测

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论中正确的是(　CD　)

A．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件

B．从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型

C．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

D．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2

题组二　走进教材

2．(P133T3改编)袋中装有3个白球，2个黄球，1个黑球，从中任取两球，则取出的两球有黑球的概率为____，两球不同色的概率为____.

[解析]　记“取出两球有黑球”为事件A，则P(A)＝＝＝，两球不同色的取法有11种，记“取出两球不同色”为事件B，则P(B)＝＝.

题组三　考题再现

3．(2020·河南百校联盟联考)2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚，若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　厨房里产生的“湿垃圾”只能丢到放“湿垃圾”的垃圾桶，该上海居民向四种垃圾桶内随意的丢垃圾，有4种可能，投放错误有3种结果，故会被罚款和行政处罚的概率为.答案D．

4．(2019·课标全国Ⅲ，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　记“两位女同学相邻”为“事件A”，则P(A)＝＝，故选D．

5．(2019·课标全国Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　解法一：记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中，随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝＝.故选B．

解法二：记“恰有2只测量过该指标”为事件A，则P(A)＝＝，故选B．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　简单的古典概型问题——自主练透

例1 (1)(2017·课标全国Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　D　)

A． B．

C． D．

(2)(2018·课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　C　)

A． B．

C． D．

(3)(2019·全国Ⅰ，6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“—　—”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　A　)

A． B．

C． D．

(4)(2019·湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　(1)解法一：画出树状图如图：

可知所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.故选D．

解法二：P＝＝.故选D．

(2)由题意，知不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，而和为30的有7和23,11和19,13和17，共3对，所以P＝＝.

(3)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦共有26＝64种，重卦中恰有3个“阳爻”的共有C×C＝20种．故所求概率P＝＝，故选A．

(4)解法一：当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有A种情况，由间接法得到满足条件的情况有A－CAA当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有A种，

由间接法得到满足条件的情况有A－CAA

共有：A－CAA＋A－CAA种情况，不考虑限制因素，总数有A种，

故满足条件的事件的概率为：

＝，故答案为C．

解法二：当“数”位于第一位时，有AA种；当“数”位于第二位时，有CA＋CAA种，总排法有A种，∴所求概率P＝＝.

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求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．

〔变式训练1〕

(1)(2019·四川省内江市模拟)某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他不经过市中心O的概率是(　A　)

A． B．

C． D．

(2)(2020·广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是____.

[解析]　(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为：

A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，

A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，

A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条(或C＝6)．

记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件数为2，∴P(M)＝＝，故选A．

(2)依题意可分类为①甲同学选马，

则有CC＝18种，

②甲同学选牛，则有CC＝27种．

所有情况有A种，则这三位同学选取的礼物都满意的概率P＝＝.

考点二　较复杂的古典概型问题——多维探究

角度1　古典概型与平面向量的交汇

例2 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝(m，n)，q＝(2,1)，则向量p∥q的概率为 (　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵向量p∥q，∴m－2n＝0，∴m＝2n，满足条件的(m，n)有3个：(2,1)，(4,2)，(6,3)，又基本事件的总数为36，∴P＝＝，故选B．

角度2　古典概型与解析几何的交汇

例3 (2019·甘肃兰州模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，其中a∈{1,2,3,4}，b∈{1,2,3,4}，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　直线l：y＝x与双曲线C的左、右支各有一个交点，则>1，基本事件总数为4×4＝16，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个或C＋C＋C＝6(个)，故概率为.

角度3　古典概型与函数的交汇

例4 (2019·吉林省实验中学月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　求导得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b，又a，b的取法共有3×3＝9种，其中满足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)共6种，故所求的概率为p＝＝.

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较复杂的古典概型问题的求解方法

解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2019·宿迁模拟)已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若||≤4，则△ABC是直角三角形的概率是____.

(2)(角度2)连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的概率为(　B　)

A． B．

C． D．

(3)(角度3)(2020·四川威远中学月考)若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　(1)因为||＝≤4，所以－≤k≤，因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，

当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由·＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为＝－＝(2－k,3)，由·＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，

由·＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，

故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率P＝.

(2)连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切，则＝2，即满足|3a－4b|＝10，符合题意的(a，b)有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率P＝，故选B．

(3)a，b∈{－1,0,1,2}，(a，b)的取法有16种，函数y＝f(x)有零点，即4－4ab≥0，∴ab≤1，由表

知符合条件的(a，b)有13种，

∴所求概率为，故选A．

考点三　古典概率与统计的综合——师生共研

例5 (2019·黑龙江哈尔滨模拟)春节期间，由于高速公路继续实行小型车免费，因此高速公路上车辆较多，某调查公司在某城市从七座以下小型汽车中按进入服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]得到如图的频率分布直方图：

(1)此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？

(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数以及平均数的估计值(同一组数据以该区间的中点值作代表)；

(3)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆，求至少有一辆车的车速在[65,70)的概率．

[解析]　(1)由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样．

(2)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为＝77.5.设中位数所对应的车速为x km/h，则中位数的估计值为0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.平均数的估计值为(62.5×0.01＋67.5×0.02＋72.5×0.04＋77.5×0.06＋82.5×0.05＋87.5×0.02)×5＝77.

(3)从题图中可知，车速在[60,65)的车辆数为m1＝0.01×5×40＝2(辆)，车速在[65,70)的车辆数为m2＝0.02×5×40＝4(辆)．记“至少有一辆车的速度在[65,70)内”为事件A，则P(A)＝＝(或P(A)＝1－P()＝1－＝.

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求解古典概型与其他知识交汇问题的思路

解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．

〔变式训练2〕

(2020·河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：

A类行业：85,82,77,78,83,87；

B类行业：76,67,80,85,79,81；

C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.

(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；

(2)若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．

[解析]　(1)由题意，得抽取的A，B，C三类行业单位个数之比为334.

由分层抽样的定义，有

A类行业的单位个数为×200＝60，

B类行业的单位个数为×200＝60，

C类行业的单位个数为×200＝80，

故该城区A，B，C三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.

(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M.

又A类行业的6个单位中有4个“量级”单位，记2个“非量级”单位，

P(M)＝＝

(或P(M)＝1－P()＝1－＝)．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

轻松破解古典概型问题的技巧

例6 (2019·重庆模拟)小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．

(1)写出数量积X的所有可能取值；

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．

[解析]　(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.

(2)数量积为－2的有·，共1种；

数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；

数量积为0的有·，·，·，，，共4种；

数量积为1的有·，·，·，·，共4种．

故所有可能的情况共有15种．

所以小波去下棋的概率为P1＝；

因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.

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求复杂事件的概率通常有两种方法：

一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用第二种，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．

〔变式训练3〕

(2020·聊城模拟)元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1,2,3,4，确定是由谁展示才艺的规则如下：

①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；

②当X≤3或X≥6时，即有资格展示才艺；当3<X<6时，即被迫放弃展示．

(1)请你写出红绿纸片所有可能的组合(例如(红2，绿3)，(红3，绿2))．

(2)求甲同学能取得展示才艺资格的概率．

[解析]　(1)红绿卡片所有可能的组合为：

(2)

从(1)中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个．

满足当X≤3或X≥6的红绿卡片组合对有：

(红1，绿1)，(红1，绿2)，(红2，绿1)，(红2，绿4)，(红3，绿3)，(红3，绿4)，(红4，绿2)，(红4，绿3)，(红4，绿4)共9个．所以甲同学取得展示才艺资格的概率为.