（山东专用）2021版高考数学一轮复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布第四讲随机事件的概率学案（含解析）

第四讲　随机事件的概率

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一　随机事件和确定事件

(1)在条件S下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．

(2)在条件S下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．

(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．

(4)在条件S下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．

知识点二　概率与频率

(1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的__频数__，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的__频率__.

(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率fn(A)__来估计概率P(A)．

知识点三　互斥事件与对立事件

事件的关系与运算

重要结论

概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__.

(2)必然事件的概率：P(A)＝__1__.

(3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__.

(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__.

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__.

双基自测

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论中正确的是(　AD　)

A．在大量重复试验中，概率是频率的稳定值

B．两个事件的和事件是指两个事件都得发生

C．掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的

D．对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件

题组二　走进教材

2．(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　D　)

A．至多有一次中靶 B．两次都中靶

C．只有一次中靶 D．两次都不中靶

[解析]　“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D．

3．(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为____.

[解析]　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P＝1－＝.

题组三　考题再现

4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　B　)

A．0.3 B．0.4

C．0.6 D．0.7

[解析]　设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B．

5．(2020·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲丙A)，(乙B)；(甲，丙B)，(乙A)；(乙，丙A)(甲B)；(乙，丙B)，(甲A)，共6种(或CA＝6(种))，A城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P＝.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　随机事件的关系——自主练透

例1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　C　)

A．“至少有1个白球”和“都是红球”

B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”

C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”

D．“至多有1个白球”和“都是红球”

(2)(2019·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是(　C　)

A．① B．②④

C．③ D．①③

(3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的(　A　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C．

(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C．

(3)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝，P(B)＝，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．

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(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．

(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

〔变式训练1〕

(2020·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(　B　)

A．至多有2件次品 B．至多有1件次品

C．至多有2件正品 D．至少有2件正品

[解析]　∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．

考点二　随机事件的概率——多维探究

角度1　频率与概率

例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)

[解析]　(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.

故所求概率为＝0.025.

(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是

140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1

＝56＋10＋45＋50＋160＋51

＝372.

故所求概率估计为1－＝0.814.

(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

角度2　统计与概率

例3 (2020·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(　A　)

A． B．

C． D．

[解析]　记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，

乙的5次综合测评的平均成绩是

×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝，

令90>，解得x<8，即x的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是＝.故选A．

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概率和频率的关系

概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．

〔变式训练2〕

(2019·吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 

[解析]　(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.

(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.

(3)与(1)同理．可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．考点三　互斥事件、对立事件的概率——师生共研

例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C．求：

①P(A)，P(B)，P(C)；

②1张奖券的中奖概率；

③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

(2)(2020·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是(　C　)

A．2个都是正品 B．恰有1个是正品

C．至少有1个正品 D．至多有1个正品

[解析]　(1)①P(A)＝，P(B)＝＝，

P(C)＝＝.

②因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.故1张奖券的中奖概率为.

③P()＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.

(2)将从5个产品中任取2个的取法有C＝10种，其中2个都是正品的取法有C＝3种，故2个都是正品的概率P1＝；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P2＝1－P1＝1－＝.恰有1个正品的取法有C·C＝6种，故恰有1个正品的概率P3＝＝.至少有1个正品的概率P4＝P1＋P3＝＋＝.

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求复杂的互斥事件的概率的两种方法

(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．

(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．

〔变式训练3〕

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__.

[解析]　记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．

(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，

所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.

(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

用正难则反的思想求互斥事件的概率

例5 (2019·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：

求：

(1)至多2人排队等候的概率是多少？

(2)至少3人排队等候的概率是多少？

[解析]　记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．

(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.

解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.

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“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．

〔变式训练3〕

某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

[解析]　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，

所以x＝15，y＝ 20.

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9(分钟)．

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.

P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.