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    2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线学案含解析北师大版
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    2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第6讲双曲线学案含解析北师大版

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    第6讲 双曲线
    基础知识整合

    1.双曲线的概念
    平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
    集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0:
    (1)当a (2)当a=c时,M点的轨迹是两条射线;
    (3)当a>c时,M点不存在.
    2.双曲线的标准方程和几何性质
    标准方程
    -=1(a>0,b>0)
    -=1(a>0,b>0)
    图形


    性质
    范围
    x≥a或x≤-a,y∈R
    x∈R,y≤-a或y≥a
    对称性
    对称轴:坐标轴  对称中心:原点
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0)
    A1(0,-a),A2(0,a)
    焦点
    F1(-c,0),F2(c,0)
    F1(0,-c),F2(0,c)
    渐近线
    y=±x
    y=±x
    离心率
    e=,e∈(1,+∞),其中c=
    实虚轴
    线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长
    a,b,c的关系
    c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

    1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
    2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.
    3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为;异支的弦中最短的为实轴,其长为2a.
    4.若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2=,其中θ为∠F1PF2.
    5.若P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I为△PF1F2内切圆的圆心,则圆心I的横坐标为定值a.
    6.等轴双曲线
    (1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
    (2)性质:①a=b;②e=;③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.

    1.(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(  )
    A. B.1
    C. D.2
    答案 C
    解析 由题意可得=1,∴e= ==.故选C.
    2.(2019·北京高考)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(  )
    A. B.4
    C.2 D.
    答案 D
    解析 由双曲线方程-y2=1,得b2=1,
    ∴c2=a2+1.∴5=e2===1+.
    结合a>0,解得a=.故选D.
    3.(2019·宁夏模拟)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于(  )
    A.1 B.17
    C.1或17 D.以上均不对
    答案 B
    解析 根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8⇒|PF2|=1或17.又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17,故选B.
    4.(2019·湖北荆州模拟)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 D
    解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在渐近线上,∴=,又a2+b2=c2,∴c2=a2+a2=a2,∴e==.故选D.
    5.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是________.
    答案 y=±x
    解析 因为双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),所以9-=1(b>0),解得b=,即双曲线方程为x2-=1,其渐近线方程为y=±x.
    6.已知曲线方程-=1,若方程表示双曲线,则λ的取值范围是________.
    答案 λ<-2或λ>-1
    解析 ∵方程-=1表示双曲线,
    ∴(λ+2)(λ+1)>0,解得λ<-2或λ>-1.
    核心考向突破
    考向一 双曲线的定义
    例1 (1)(2019·山西太原模拟)已知双曲线C:-=1(a>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=2,则|PF2|=(  )
    A.4 B.6
    C.8 D.10
    答案 C
    解析 由题意得=,解得a=3.因为|PF1|=2,所以点P在双曲线的左支上.所以|PF2|-|PF1|=2a,解得|PF2|=8.故选C.
    (2)(2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x2-y2=4,F1是左焦点,P1,P2是右支上的两个动点,则|F1P1|+|F1P2|-|P1P2|的最小值是(  )
    A.4 B.6
    C.8 D.16
    答案 C
    解析 设双曲线的右焦点为F2,∵|F1P1|=2a+|F2P1|,|F1P2|=2a+|F2P2|,∴|F1P1|+|F1P2|-|P1P2|=2a+|F2P1|+2a+|F2P2|-|P1P2|=8+(|F2P1|+|F2P2|-|P1P2|)≥8(当且仅当P1,P2,F2三点共线时,取等号),∴|F1P1|+|F1P2|-|P1P2|的最小值是8.故选C.

    (1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键;②利用定义求动点的轨迹方程,要分清是差的绝对值为常数,还是差为常数,即是双曲线还是双曲线的一支.
    (2)利用双曲线定义求方程,要注意三点:①距离之差的绝对值;②2a<|F1F2|;③焦点所在坐标轴的位置.

    [即时训练] 1.已知动点M(x,y)满足-=4,则动点M的轨迹是(  )
    A.射线 B.直线
    C.椭圆 D.双曲线的一支
    答案 A
    解析 设F1(-2,0),F2(2,0),由题意知动点M满足|MF1|-|MF2|=4=|F1F2|,故动点M的轨迹是射线,故选A.
    2.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为________.
    答案 9
    解析 设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|=4+|PF1|,所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象,可知当点A,P,F1共线时,满足|PF1|+|PA|最小,|AF1|即|PF1|+|PA|的最小值.又|AF1|=5,故所求的最小值为9.
    考向二 双曲线的标准方程
    例2 (1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(  )
    A.x2-=1 B.-y2=1
    C.x2-=1(x≥1) D.x2-=1(x≤-1)
    答案 D
    解析 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).

    (2)(2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是(  )
    A.-=1 B.-=1
    C.x2-=1 D.-=1
    答案 C
    解析 因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0),将点(2,3)代入其中,得λ=1,所以该双曲线的标准方程为x2-=1,故选C.

    求双曲线的标准方程的方法
    (1)定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.
    (2)待定系数法:先确定焦点是在x轴还是在y轴,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.
    注意:①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2+ny2=1(mn≠0),其中m>0且n>0,且m≠n时表示椭圆;mn<0时表示双曲线,合理使用这种形式可避免讨论.
    ②常见双曲线设法:
    (ⅰ)已知a=b的双曲线,可设为x2-y2=λ(λ≠0);
    (ⅱ)已知过两点的双曲线,可设为Ax2-By2=1(AB>0);
    (ⅲ)已知渐近线为±=0的双曲线,可设为-=λ(λ≠0).
    ③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的,必须结合其他已知条件综合判断.
    ④判断清楚所求轨迹是双曲线,还是双曲线的一支.若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.

    [即时训练] 3.(2018·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为(  )
    A.-=1 B.-=1
    C.-=1 D.-=1
    答案 C
    解析 ∵双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,
    ∴e2=1+=4,∴=3,即b2=3a2,
    ∴c2=a2+b2=4a2,
    由题意可设A(2a,3a),B(2a,-3a),
    ∵=3,∴渐近线方程为y=±x,
    则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1==a,d2==a,又d1+d2=6,∴a+a=6,解得a=,∴b2=9.∴双曲线的方程为-=1,故选C.
    4.已知圆C:(x-3)2+y2=4,定点A(-3,0),则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为__________.
    答案 x2-=1(x≤-1)
    解析 设动圆M的半径为R,则|MC|=2+R,|MA|=R,所以|MC|-|MA|=2,由双曲线的定义知,M点的轨迹是以A,C为焦点的双曲线的左支,且a=1,c=3,所以b2=8,则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
    精准设计考向,多角度探究突破
    考向三 双曲线的几何性质
    角度1 双曲线离心率问题
    例3 (1)(2019·全国卷Ⅲ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(  )
    A. B.
    C.2 D.
    答案 A
    解析 令双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F的坐标为(c,0),则c=.
    如图所示,由圆的对称性及条件|PQ|=|OF|可知,PQ是以OF为直径的圆的直径,且PQ⊥OF.设垂足为M,连接OP,则|OP|=a,|OM|=|MP|=,由|OM|2+|MP|2=|OP|2,得2+2=a2,∴=,即离心率e=.故选A.

    (2)若斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是(  )
    A.(1,2) B.(2,+∞)
    C.(1,) D.(,+∞)
    答案 D
    解析 因为斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,所以>,则e==>=,所以双曲线离心率的取值范围是(,+∞),故选D.

    求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用b2=c2-a2和e=转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.

    [即时训练] 5.双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为(  )
    A. B.
    C. D.
    答案 B
    解析 如图所示,在Rt△MF1F2中,∠MF1F2=30°,|F1F2|=2c,∴|MF1|==c,|MF2|=2c·tan30°=c,

    ∴2a=|MF1|-|MF2|=c-c=c⇒e==.
    6.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(  )
    A.(1,) B.(,2)
    C.(1+,+∞) D.(1,1+)
    答案 D
    解析 依题意,0<∠AF2F1<,故0 角度2 双曲线的渐近线问题
    例4 (1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线C的渐近线方程为(  )
    A.y=±x B.y=±x
    C.y=±3x D.y=±x
    答案 B
    解析 由题可知双曲线C的渐近线方程为y=±x,圆心为(2,0),半径为1,易知圆心到渐近线的距离d==1,故4b2=a2+b2,即3b2=a2,则=,故双曲线C的渐近线方程为y=±x,选B.
    (2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(  )
    A.2sin40° B.2cos40°
    C. D.
    答案 D
    解析 由题意可得-=tan130°,所以e= == ==.故选D.

    (1)渐近线的求法:求双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程±=0.
    (2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线-=1(a>0,b>0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±满足关系式e2=1+k2.

    [即时训练] 7.(2018·全国卷Ⅱ)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(  )
    A.y=±x B.y=±x
    C.y=±x D.y=±x
    答案 A
    解析 ∵e==,∴==e2-1=3-1=2,∴=.因为该双曲线的渐近线方程为y=±x,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x,故选A.
    8.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )
    A. B.
    C.2 D.3
    答案 A
    解析 双曲线-=1的右焦点坐标为(,0),一条渐近线的方程为y=x,不妨设点P在第一象限,由于|PO|=|PF|,则点P的横坐标为,纵坐标为×=,即△PFO的底边长为,高为,所以它的面积为××=.故选A.
    考向四 直线与双曲线的位置关系
    例5 已知双曲线Γ:-=1(a>0,b>0)经过点P(2,1),且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.
    (1)求双曲线Γ的方程;
    (2)过点P作两条相互垂直的直线PA,PB分别交双曲线Γ于A,B两点,求点P到直线AB距离的最大值.
    解 (1)∵双曲线-=1过点(2,1),∴-=1.
    不妨设F为右焦点,则F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离d==b,∴b=1,a2=2,
    ∴所求双曲线的方程为-y2=1.
    (2)当直线AB的斜率不存在时,设A(x0,y0)(y0>0),则B(x0,-y0),=(x0-2,y0-1),=(x0-2,-y0-1),∵·=0,∴(x0-2)2-(y0-1)(y0+1)=0,由得
    或(舍去),即A(6,),B(6,-),此时点P到AB的距离为6-2=4.
    当直线AB的斜率存在时,
    设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m.将y=kx+m代入x2-2y2=2中,
    整理得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0.
    ∴x1+x2=,①
    x1x2=.②
    ∵·=0,
    ∴(x1-2,y1-1)·(x2-2,y2-1)=0,
    ∴(x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0,
    ∴(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0.③
    将①②代入③,得m2+8km+12k2+2m-3=0,
    ∴(m+2k-1)(m+6k+3)=0.
    而P∉AB,∴m=-6k-3,
    从而直线AB的方程为y=kx-6k-3.
    将y=kx-6k-3代入x2-2y2-2=0中,得(1-2k2)x2+(24k2+12k)x-72k2-72k-20=0,
    判别式Δ=16(17k2+18k+5)>0恒成立,
    ∴y=kx-6k-3即为所求直线.
    ∴P到AB的距离d==.
    ∵2==1+≤2.
    ∴d≤4,即此时点P到直线AB距离的最大值为4.
    ∵4>4,故点P到直线AB距离的最大值为4.

    求解双曲线综合问题的主要方法
    双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系.解决这类问题的常用方法是:
    (1)设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题.
    (2)利用点差法.

    [即时训练] 9.设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同点A,B.
    (1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
    (2)设直线l与y轴的交点为P,取=,求a的值.
    解 (1)将y=-x+1代入双曲线-y2=1(a>0)中,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
    所以解得0 又双曲线的离心率e==,
    所以e>且e≠,即e∈∪(,+∞).
    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),
    因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),
    由此得x1=x2.
    由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的两根,且1-a2≠0,所以x1+x2=x2=-,
    x1x2=x=-,
    消去x2得-=,由a>0,解得a=.

    直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.
    (1)求实数k的取值范围;
    (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
    解 (1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,
    整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
    依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,

    解得k的取值范围是-2 (2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
    则由①式得②
    假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0),则由FA⊥FB,得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
    整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
    把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.
    解得k=-或k=∉(-2,-)(舍去).
    可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.
    答题启示
    (1)以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.
    (2)关于这种探索性问题.若存在,可用点差法求出直线的斜率,进而求方程;也可以设直线斜率为k,利用待定系数法求方程.
    (3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.
    对点训练
    已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点?
    解 设交点A(x1,y1),B(x2,y2),且线段AB的中点为(x0,y0),若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.
    设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),
    即y=kx+1-k.
    由得
    (2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①
    则x0==.
    由题意,得=1,解得k=2.
    当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.
    Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.
    故不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.

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