2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课时作业含解析北师大版 练习

空间几何体的表面积和体积课时作业1．(2019·吉林长春二测)一个几何体的三视图如图所示，每个小方格都是长度为1的正方形，则这个几何体的体积为(　　)A．32   B.C.  D．8答案　B解析　几何体的直观图如图所示，棱锥的顶点在底面上的射影是底面一边的中点，易知这个几何体的体积为×4×4×4＝.故选B.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12π  B．12π C．8π  D．10π答案　B解析　根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为2，所以其表面积为S＝2π()2＋2π××2＝12π.故选B.3．如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．4πB．16πC．24πD．25π答案　C解析　由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝＝2，则R＝，故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C.4．如图所示，某几何体的正(主)视图是平行四边形，侧(左)视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(　　)A．6  B．9 C．12  D．18答案　B解析　由三视图，得该几何体为一平行六面体，底面是边长为3的正方形，高h＝＝，所以该几何体的体积V＝3×3×＝9.5．正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)A．4π  B．8π C．12π  D．16π答案　B解析　由正弦定理，得＝2r(其中r为正三棱柱底面三角形外接圆的半径)，∴r＝1，∴外接球的半径R＝＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝8π.故选B.6．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(　　)A.   B.C.  D．32π答案　C解析　由三视图知，该几何体的底面是圆心角为120°的扇形，故该几何体的体积为底面半径为4，高为6的圆锥的体积的三分之一，故所求体积V＝×π×42×6＝.故选C.7．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，它的底面半径为.若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(　　)A.   B. C．16π  D．32π答案　B解析　如图，设球心到底面圆心的距离为x，则球的半径r＝3－x.由勾股定理，得x2＋3＝(3－x)2，解得x＝1，故球的半径r＝2，V球＝πr3＝.故选B.8．(2019·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)A．48＋π  B．48－π C．48＋2π  D．48－2π答案　A解析　该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，正四棱柱的高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.9．(2019·黑龙江哈尔滨三中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为(　　)A．4  B．2  C.   D.答案　D解析　由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为××2×2×1＝.故选D.10．如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是(　　)A.        B.        C.       D.答案　D解析　根据三视图知此几何体是边长为2的正方体截去一个三棱锥P－ABC剩下的部分(如图所示)，所以此几何体的体积为2×2×2－××1×2×2＝.11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台、半球，则满足祖暅原理的两个几何体为(　　)A．①②  B．①③ C．②④  D．①④答案　D解析　设截面与下底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－，则截面圆的面积为π2；④中截面圆的半径为，则截面圆的面积为π(R2－h2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，故选D.12．(2019·唐山五校联考)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形框架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为(　　)A．10 cm  B．10 cmC．10 cm  D．30 cm答案　B解析　依题意，在四棱锥S－ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10 cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10 cm，AS＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径R＝10 cm，故选B.13．(2019·江苏高考)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．答案　10解析　设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，所以VE－BCD＝×ab×c＝abc＝10.14．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.答案　118.8解析　由题意，知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．又因为V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．15．(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．答案　解析　由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为，所以底面正方形对角线的长为2，所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为，所以四棱锥的高为 ＝2，所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V＝π·2·1＝.16．(2020·河南八市重点高中联盟测评)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．答案　3　解析　该三棱锥侧面的斜高为＝，则S侧＝3××2×＝2，S底＝××2＝，所以三棱锥的表面积S表＝2＋＝3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r，则三棱锥的体积V锥＝S表·r＝S底·1，所以3r＝，所以r＝，所以三棱锥的内切球的体积最大为Vmax＝πr3＝.17．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示．(1)求证：AD⊥平面PBC；(2)求三棱锥D－ABC的体积．解　(1)证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AC，又AC⊥BC，AC∩PA＝A，BC⊄平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD.在Rt△PAC中，PA＝AC＝4，D为PC的中点，∴AD⊥PC.∵BC∩PC＝C，AD⊄平面PBC，∴AD⊥平面PBC.(2)由三视图，可得BC＝4，由(1)知，PA⊥AC，D为PC的中点，BC⊥平面PAC，又三棱锥D－ABC的体积即为三棱锥B－ADC的体积，∴VD－ABC＝VB－ADC＝×××4×4×4＝. 18．(2016·江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解　(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，则0<h<6，O1O＝4h.连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB，所以2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0<h<6，从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍去)．当0<h<2时，V′>0，V是单调递增函数；当2<h<6时，V′<0，V是单调递减函数．故h＝2时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．