2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆课时作业含解析北师大版 练习

椭圆

课时作业

1．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝＝，故选C．

2．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(　　)

A．4 B．5

C．7 D．8

答案　D

解析　椭圆焦点在y轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m.又c＝2，∴m－2－(10－m)＝c2＝4.∴m＝8.

3．(2019·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋y2＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

答案　A

解析　由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，又＝＝，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1.选A．

4．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(　　)

A．2 B．4

C．8 D．

答案　B

解析　|ON|＝|MF2|＝×(2a－|MF1|)＝×(10－2)＝4，故选B．

5．(2019·河南豫北联考)已知点P是椭圆＋y2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，则△PAB的面积为(　　)

A．2 B．

C． D．1

答案　D

解析　由题可得＋＝1，∴a2＝2，解得a＝(负值舍去)，则S△PAB＝×2a×＝1，故选D．

6．(2019·吉林长春模拟)椭圆＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是(　　)

A．[－1,1] B．[－1,0]

C．[0,1] D．[－1,2]

答案　C

解析　由椭圆方程得F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x，y)，∴＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，则·＝x2＋y2－1＝∈[0,1]，故选C．

7．(2019·湖南郴州模拟)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0,3) B．

C．(0,3)∪ D．(0,2)

答案　C

解析　当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0<k<4时，c＝，由条件知<<1，解得0<k<3.故选C．

8．若椭圆＋＝1的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率是(　　)

A．2 B．－2

C． D．－

答案　D

解析　设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴整理，得x－x＝－4(y－y)，

∴此弦的斜率为＝＝－，则此直线的斜率为－.

9．(2020·甘肃联考)设A，B是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2＋y2＝10的一个交点，则||PA|－|PB||＝(　　)

A．2 B．4

C．4 D．6

答案　C

解析　由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝2a＝4，|PA|2＋|PB|2＝(2c)2＝40，∴(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA||PB|，解得2|PA||PB|＝8，∴(|PA|－|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA||PB|＝32，则||PA|－|PB||＝4，故选C．

10．(2020·西安摸底检测)设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为(　　)

A． B．

C． D．

答案　A

解析　不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，如图，由题意知，2a＝4，a＝2，

∵∠CBA＝，BC＝，

∴点C的坐标为(－1,1)，

∵点C在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝，∴c2＝a2－b2＝4－＝，c＝，则椭圆的两个焦点之间的距离为.

11．(2019·山西八校联考)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为(　　)

A． B．

C． D．

答案　A

解析　在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3.

故椭圆左、右焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)．

由△ABF2的内切圆周长为π，可得内切圆的半径为r＝.△ABF2的面积＝△AF1F2的面积＋△BF1F2的面积＝|y1|·|F1F2|＋|y2|·|F1F2|＝(|y1|＋|y2|)·|F1F2|＝3|y1－y2|(A，B在x轴的上下两侧)，又△ABF2的面积＝r(|AB|＋|BF2|＋|F2A|)＝×(2a＋2a)＝a＝5，所以3|y1－y2|＝5，即|y1－y2|＝.

12．(2019·湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

答案　C

解析　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|＝|FF′|知，∠FPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，由椭圆定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，得a2＝49，于是b2＝a2－c2＝72－52＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C．

13．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．

答案　

解析　设|PF2|＝m，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2m，|F1F2|＝m.又|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c.∴2a＝3m,2c＝m，∴C的离心率为e＝＝.

14．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.

答案　(3，)

解析　设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．

15．(2019·浙江高考)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．

答案　

解析　如图，左焦点F(－2,0)，右焦点F′(2,0)．

线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM＝2.

在△FF′P中，OMPF′，

所以PF′＝4.

根据椭圆的定义，得PF＋PF′＝6，

所以PF＝2.

又因为FF′＝4，

所以在Rt△MFF′中，

tan∠PFF′＝＝＝，

即直线PF的斜率是.

16．(2020·南充模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，A为椭圆C的右顶点，以A为圆心的圆与直线y＝x相交于P，Q两点，且·＝0，＝3，则椭圆C的标准方程为________，圆A的标准方程为________．

答案　＋y2＝1　(x－2)2＋y2＝

解析　如图，设T为线段PQ的中点，连接AT，则AT⊥PQ.

∵·＝0，即AP⊥AQ，

∴|AT|＝|PQ|.

又＝3，

∴|OT|＝|PQ|.

∴＝，即＝.

由已知得半焦距c＝，∴a2＝4，b2＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

又|AT|2＋|OT|2＝4，

∴|AT|2＋4|AT|2＝4，

∴|AT|＝，r＝|AP|＝.

∴圆A的方程为(x－2)2＋y2＝.

17．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.

(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当

|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，

即c|y|＝16，①

x2＋y2＝c2，②

＋＝1.③

由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.

又由①知y2＝，故b＝4.

由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，

所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.

当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.

所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．

18．(2019·成都一诊)已知椭圆＋＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为，求|AB|的值；

(2)设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l.

解　由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)．

(1)∵直线l1的倾斜角为，∴斜率k＝1.

∴直线l1的方程为y＝x－1.

代入椭圆方程，可得9x2－10x－15＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－.

∴|AB|＝·

＝×＝.

(2)证明：设直线l1的方程为y＝k(x－1)．

代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

设N(5，y0)，∵A，M，N三点共线，

∴＝，∴y0＝.

而y0－y2＝－y2＝－k(x2－1)

＝

＝＝0.

∴直线BN∥x轴，即直线BN⊥l.

19．(2019·广东广州联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点A(2,1)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．

解　(1)因为椭圆C的焦距为2，且过点A(2,1)，

所以＋＝1,2c＝2.

又因为a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2≠2，

则y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.

由消去y并整理，得

(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为kAP＋kAQ＝0，所以＝－，

化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.

即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.

所以－－4m＋4＝0，

整理得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.

因为直线l不经过点A，

所以2k＋m－1≠0，所以k＝.

所以直线PQ的斜率为定值，该值为.

20．(2019·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解　(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM,0)，直线PB的斜率为k(k≠0)，

因为B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立，得

整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，

可得xP＝－，

代入y＝kx＋2得yP＝，

进而直线OP的斜率为＝.

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.

由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.

由OP⊥MN，得·＝－1，

化简得k2＝，

从而k＝±.

所以直线PB的斜率为或－.