2021高考数学一轮复习统考第11章概率第3讲几何概型课时作业含解析北师大版 练习

第3讲 几何概型课时作业1．(2019·重庆一中模拟)在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为.2．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　B解析　行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P＝＝.故选B.3．(2019·四川名校联盟模拟)不等式组所表示的平面区域为Ω，用随机模拟方法近似计算Ω的面积，先产生两组(每组100个)在区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，x100和y1，y2，…，y100，由此得到100个点(xi，yi)(i＝1,2，…，100)，再数出其中满足yi<x(i＝1,2，…，100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域Ω面积的近似值为(　　)A．0.33  B．0.66 C．0.67   D.答案　C解析　设平面区域为Ω的面积为S，依题意≈，得S≈0.67.故选C.4．(2019·湖南长沙联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)A．1－   B.C.  D．1－答案　A解析　鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内的圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－.故选A.5．(2020·山西晋城摸底)定义min{a，b}＝由集合{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤1}确定的区域记作Ω，由曲线C：y＝min{x，－2x＋3}和x轴围成的封闭区域记作M，向区域Ω内投掷12000个点，则估计落入区域M的点的个数为(　　)A．3000  B．3500 C．4000  D．4500答案　D解析　如图，SM＝××1＝，SΩ＝1×2＝2，落入区域M的概率为P＝＝＝，从而估计落入区域M的点的个数为12000×＝4500.6．(2019·河南大联考)已知实数m∈[0,1]，n∈[0,2]，则关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根的概率是(　　)A．1－   B.C.   D.－1答案　A解析　关于x的一元二次方程4x2＋4mx－n2＋2n＝0有实数根，Δ＝16m2－16(－n2＋2n)≥0得m2＋(n－1)2≥1，如图所示，长方形面积为2，扇形面积为，图中白色部分是满足题意的点集合区域，故概率为＝1－.故选A.7．(2019·辽宁大连模拟)在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　设AC＝x cm(0<x<12)，则CB＝(12－x) cm，则矩形面积S＝x(12－x)＝12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为＝.故选C.8．在区间(0,1)中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　设取出的两个数为x，y则若两数之和小于，则原问题可以转化为求不等式组表示的区域与表示的区域的面积之比的问题，如图所示，易得其概率为＝.9．(2019·长春模拟)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为(　　)A.       B.       C.        D.答案　A解析　设OA＝3，则AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为，扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为＝.10．(2020·铁岭摸底)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)A.         B.        C.        D.答案　C解析　如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.11．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)A．p1＝p2  B．p1＝p3C．p2＝p3  D．p1＝p2＋p3答案　A解析　不妨取AB＝AC＝2，则BC＝2，所以区域Ⅰ的面积为S△ABC＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p1＝p2.故选A.12．在区间[0,1]上随机地取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)A．p1<p2<  B．p2<<p1C.<p2<p1  D．p1<<p2答案　D解析　(x，y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝＝>，所以p1<<p2，故选D.13．(2019·山东日照模拟)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________．答案　解析　不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.