2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第2讲两直线的位置关系课时作业含解析北师大版 练习

第2讲 两直线的位置关系

课时作业

1．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)

A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0

C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0

答案　A

解析　由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2，3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A．

2．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为(　　)

A．1 B．2

C．6 D．1或2

答案　C

解析　∵直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，且l1∥l2，∴k1＝k2，即－＝3－a，解得a＝6.故选C．

3．(2019·银川模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6，解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，∴l1与l2之间的距离d＝＝，故选B．

4．(2019·长春模拟)若直线l1：ax－(a＋1)y＋1＝0与直线l2：2x－ay－1＝0垂直，则实数a＝(　　)

A．3 B．0

C．－3 D．0或－3

答案　D

解析　∵直线l1与直线l2垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－3.故选D．

5．(2019·武汉调研)直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)

A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0

答案　D

解析　设直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线为l2，则l2的斜率为－，且过直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点(1,1)，则l2的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.故选D．

6．(2020·石家庄重点高中摸底考试)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值为(　　)

A．1 B．2

C．2 D．2

答案　B

解析　由已知两直线垂直得b2＋1－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，根据b>0，两边同时除以b得ab＝b＋≥2＝2，当且仅当b＝1时等号成立，故选B．

7．(2019·河南新乡模拟)若m，n满足m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　∵m＋2n－1＝0，∴m＋2n＝1.∵mx＋3y＋n＝0，∴(mx＋n)＋3y＝0，当x＝时，mx＋n＝m＋n＝，∴3y＝－，∴y＝－，故直线过定点.故选B．

8．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝(　　)

A．－4 B．－2

C．0 D．2

答案　B

解析　由已知，得l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1，b＝－2.∴a＋b＝－2.

9．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为(　　)

A．3 B．2

C．3 D．4

答案　A

解析　∵l1∥l2，∴AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得M所在直线的方程为x＋y－6＝0.因此，中点M到原点的最小距离为原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.故选A．

10．(2019·桂林模拟)点P(2,5)关于x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(　　)

A．(6,3) B．(3，－6)

C．(－6，－3) D．(－6,3)

答案　C

解析　设点P(2,5)关于x＋y＋1＝0的对称点为Q(a，b)，则解得即P(2,5)关于x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．故选C．

11．(2019·唐山模拟)已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k值为(　　)

A． B．

C． D．2

答案　A

解析　直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2，因为0<k<4，所以4－k>0,2k2＋2>0，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8＝42＋，故当k＝时，面积最小．故选A．

12．已知三条直线l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)

A． B．

C． D．

答案　D

解析　因为三条直线不能围成三角形，所以有两条直线平行或者三条直线交于同一点．若l1∥l3，则m＝；若l2∥l3，则m＝－；若三条直线交于同一点，由l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0得交点，将交点代入l3：mx－y－1＝0，解得m＝－.所以实数m的取值集合为.

13．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．

答案　或－4

解析　由平面几何知识得AB平行于直线ax＋y＋1＝0或AB中点(1,3)在直线ax＋y＋1＝0上，当AB平行于直线ax＋y＋1＝0时，因为kAB＝－，所以a＝；当AB中点(1,3)在直线ax＋y＋1＝0上时，则a＋3＋1＝0，即a＝－4.所以a＝或－4.

14．(2019·大庆模拟)设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.

答案　[－2,2]

解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．

15．如果直线l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直线l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直线l3：x－2y＋3＝0，则l1，l2之间的距离为________．

答案　2

解析　因为l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理，－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，则l1，l2之间的距离d＝＝2.

16．(2019·合肥模拟)点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________.

答案　2

解析　直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示．由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝ ＝2，所以点P(2，1)到直线l的最大距离为2.

17．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．

(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.

解　(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．

∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，

∴解得

故直线经过的定点为M(2，－2)．

(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，

∴M与Q不可能重合，即|PM|＝4，

∴|PQ|<4，故所证成立．