2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质课时作业含解析北师大版 练习

三角函数的图象与性质课时作业1．y＝|cosx|的一个单调递增区间是(　　)A.   B．[0，π]C.   D．答案　D解析　作出y＝|cosx|的图象(如图)．易知是y＝|cosx|的一个单调递增区间．故选D.2．(2019·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)A.(k∈Z)B.(k∈Z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　B解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．3．(2019·福州模拟)下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)A．y＝sin   B．y＝cosC．y＝sin   D．y＝cos答案　A解析　对于A，注意到y＝sin＝cos2x的周期为π，且在上是减函数．故选A.4．(2019·厦门模拟)函数y＝sin＋1的图象的一个对称中心的坐标是(　　)A.   B．C.   D．答案　B解析　对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z.当k＝1时，x＝，y＝1.故选B.5．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象关于直线x＝对称，则实数a的值为(　　)A．－   B．－  C.   D．答案　B解析　由题意知f(0)＝f，即a＝sin＋acos，即a＝sin＋acos，∴a＝－－a，即a＝－.6．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f的值是(　　)A．0   B．  C．1   D．答案　D解析　由条件可知，f(x)的周期是.由＝，得ω＝4，所以f＝tan＝tan＝.7．(2019·桂林模拟)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)A.   B．  C.   D．答案　C解析　∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，即直线x＝0为其对称轴．∴＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋(k∈Z)，∵φ∈[0,2π]，∴φ＝.故选C.8．函数y＝sin的一个单调递增区间为(　　)A.   B．C.   D．答案　A解析　y＝sin＝－sin，故由2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．因此，函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．9．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论错误的是(　　)A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)在区间上是增函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称答案　D解析　f(x)＝sin＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确，由函数y＝cosx的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数x≠，所以D错误．故选D.10．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是(　　)A.   B．C.   D．答案　D解析　∵x∈，∴x＋∈.∵f(x)＝sin的值域是，∴由函数的图象和性质可知≤a＋≤，解得a∈.故选D.11．如果|x|≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是(　　)A.   B．－  C．－1   D．答案　D解析　因为|x|≤，所以－≤sinx≤，函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－2＋，当sinx＝－时，有最小值，f(x)min＝－＝.12．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是(　　)A．①②④   B．②④  C．①④   D．①③答案　C解析　①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确．②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误．③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.13．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案　解析　依题意得3cos＝0，＋φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)，所以|φ|的最小值是.14．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．答案　[－1,1]　解析　∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈[0,1]，∴y∈[－1,1]．当2x＋＝时，即x＝时y取得最大值1.15．(2019·秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的最大值是________．答案　解析　由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，∵f＝cos＝－，且f＝cosπ＝－1，∴要使f(x)的值域是，需要π≤3m＋≤，解得≤m≤，即m的最大值是.16．(2020·朝阳区模拟)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)，若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．答案　π解析　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则·>－，且函数的图象关于直线x＝＝对称，且一个对称点为，可得0<ω<3且－＝·，求得ω＝2，∴f(x)的最小正周期为＝π.17．已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性．解　(1)∵f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，且T＝＝π，∴ω＝2.于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，∴令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为，同理，其单调递减区间为.18．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)图象的对称轴？如果存在，求出其对称轴．若不存在，请说明理由．解　(1)由T＝2知＝2，解得ω＝π.又当x＝时f(x)max＝2，∴A＝2.且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．∴f(x)＝2sin＝2sin.(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝k＋(k∈Z)．由≤k＋≤.得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5.故在上存在f(x)图象的对称轴，其方程为x＝.19．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x∈，求f(x)的最大值与最小值．解　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cosωx.因为图象关于点M对称，所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0<ω<1，所以ω＝.(2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.20．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos，x∈R.(1)求f的值；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，及相应的x的值；(3)求函数f(x)在区间上的单调区间．解　(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋cos＋cos＝sin2x＋cos2xcos＋sin2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＝sin2x＋cos2x＝2＝2sin，∴f＝2sin＝2sin＝2.(2)∵≤x≤π，∴≤2x＋≤，∴－2≤f(x)≤ ，当2x＋＝时，x＝，此时f(x)min＝f＝－2，当2x＋＝时，x＝π，此时f(x)max＝f(π)＝.(3)∵≤x≤π，∴≤2x＋≤，由正弦函数图象知，当≤2x＋≤时，即≤x≤时，f(x)单调递减，当≤2x＋≤时，即≤x≤π时，f(x)单调递增．故f(x)在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为.