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（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题十一概率与统计11.3条件概率、二项分布及正态分布试题（含解析）
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§11.3 条件概率、二项分布及正态分布
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A.110 B.15 C.25 D.12
答案 C
2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.34 B.23 C.57 D.512
答案 D
3.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.127 B.227 C.281 D.881
答案 B
4.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为( )
A.15 B.12 C.35 D.38
答案 D
5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.400 B.300 C.200 D.100
答案 C
6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)=( )
A.12512 B.3512 C.274 D.234
答案 A
7.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .
答案 512
考点二 正态分布
8.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ
答案 A
9.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是 ( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99
答案 D
10.在某项测量中,测得变量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为( )
A.0.2 B.0.1 C.0.8 D.0.4
答案 D
11.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,则P(2
答案 B
12.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000 名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.
由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.
(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51
(i)求EX;
(ii)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大?
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
解析 (1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,
从而T服从N(2,0.24),
又σ=0.24≈0.49,
从而P(1.51
P(2
所以EX=10 000×0.477 25=4 772.5.
(ii)X服从B(10 000,0.477 25),
P(X=k)=C10 000k0.477 25k(1-0.477 25)10 000-k
=C10 000k0.477 25k·0.522 7510 000-k(k=0,1,2,…,10 000).
设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大,
则有P(X=k)>P(X=k+1),P(X=k)>P(X=k-1),
得0.522 75C10 000k>0.477 25C10 000k+1,0.477 25C10 000k>0.522 75C10 000k-1,
解得k=4 772.
故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.
解题关键 对于(2),得出X服从B(10 000,0.477 25)是解题的关键.
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
1.(2018山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过,已知队员甲投篮1次投中的概率为23,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A.3 B.83 C.2 D.53
答案 B
2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A.25 B.35 C.18125 D.54125
答案 D
3.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为 .
答案 30 800729
4.(2019河北模拟,19)某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播种3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.
(1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?
(2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望.
解析 (1)对于一个坑而言,要补播种的概率为123+C31123=12.有3个坑需要补播种的概率为Cn3×12n,要使Cn3×12n最大,只需Cn312n≥Cn212n,Cn312n≥Cn412n,解得5≤n≤7,∵n∈N*,故n=5,6,7.
(2)n=4时,要补播种的坑的个数X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,X~B4,12,P(X=0)=C40124=116,P(X=1)=C41×124=14,P(X=2)=C42124=38,P(X=3)=C43124=14,P(X=4)=C44124=116.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
因为X~B4,12,所以E(X)=4×12=2.
5.(2020届辽宁阜新中学10月月考,18)某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一户居民月用电量标准a,用电量不超过a的部分按平价收费.超出a的部分按议价收费,为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示,用电量在[240,260)的居民户数比用电量在[160,180)的居民户数多11户.
(1)求直方图中x,y的值;
(2)①用样本估计总体,如果希望至少85%的居民用电量低于标准,求月用电量的最低标准应定为多少度,并说明理由;
②若将频率视为概率,现从该市所有居民中随机抽取3户,其中月用电量低于①中最低标准的居民户数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
解析 (1)由题意,得
(x+0.009 5+0.010 0+0.013 5+y+0.005 0+0.002 5)×20=1,100×(y-x)×20=11,
所以x=0.002 0,y=0.007 5.
(2)①样本中月用电量不低于260度的居民户数为(0.005 0+0.002 5)×20×100=15,占样本总量的15%,用样本估计总体,要保证至少85%的居民月用电量低于标准,故最低标准应定为260度.
②将频率视为概率,设A(单位:度)代表居民月用电量,易知P(A<260)=1720,由题意得,ξ~B3,1720,
P(ξ=i)=C3i1720i3203-i(i=0,1,2,3).
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
278 000
4598 000
2 6018 000
4 9138 000
所以E(ξ)=0×278 000+1×4598 000+2×2 6018 000+3×4 9138 000=2.55.
或由ξ~B3,1720及二项分布的期望公式可得E(ξ)=3×1720=2.55
考法二 正态分布问题的解题方法
6.(2018山东淄博一模,5)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( )
A.73 B.53 C.5 D.3
答案 A
7.(2019河北冀州期末,4)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,则P(ξ≤3)=( )
A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.11
答案 D
8.(2019江西南昌模拟,6)在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115分的概率为( )
A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5
答案 C
9.(2019山西运城一模,19)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);
(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ,利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);
②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.
参考数据:178≈403,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.
解析 (1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,
s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.
(2)①由题知μ=9,σ2=1.78,∴X~N(9,1.78),σ=1.78=178100≈43.
∴P(X≤10)=PY≤10-943=P(Y≤0.75)=0.773 4.
②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,
由题意得Z~B(20,0.226 6),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)
=1-0.773 420-C201×0.226 6×0.773 419≈1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.
Z的数学期望E(Z)=20×0.226 6=4.532.
【五年高考】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)
答案 B
2.(2015课标Ⅰ,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
答案 A
3.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18
4.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
答案 13
5.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析 本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心素养是数据分析和逻辑推理.
(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
思路分析 (1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.
(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概率公式可求解.
6.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.
(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
随机变量X的数学期望E(X)=3×23=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,
从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243.
思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即X=3,Y=1或X=2,Y=0.从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.
7.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
(1)试估计C班的学生人数;
(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×820=40.
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,
事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,…,8.
由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18, j=1,2,…,8.
P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=38.
(3)μ1<μ0.
考点二 正态分布
8.(2015湖北,4,5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
9.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
答案 B
10.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),
则P(μ-3σ
解析 本题考查正态分布、二项分布的概念和性质、概率的计算以及数学期望的求法,考查学生逻辑推理能力、数据处理能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为
115×(16×9.97-9.22)=10.02,
因此μ的估计值为10.02.
∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为0.008≈0.09.
教师专用题组
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.(2014课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
答案 A
考点二 正态分布
2.(2014课标Ⅰ,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
(i)利用该正态分布,求P(187.8
附:150≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8
依题意知X~B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.
思路分析 (1)根据直方图求得样本平均数x和样本方差s2;
(2)(i)由(1)知Z~N(200,150),从而得出概率.
(ii)依题意知X~B(100,0.682 6),从而求得EX.
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共35分)
1.(2020届福建南安侨光中学第一次阶段考,3)已知随机变量ξ~B3,12,则E(ξ)=( )
A.3 B.2 C.32 D.12
答案 C
2.(2019安徽安庆二模,7)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)=( )
A.14 B.34 C.29 D.59
答案 C
3.(2018广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
A.7 539 B.6 038 C.7 028 D.6 587
答案 D
4.(2019福建宁德二模,6)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A.150 B.200 C.300 D.400
答案 C
5.(2020届山西大学附中第二次诊断,9)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(01.75,则p的取值范围为( )
A.0,12 B.0,712 C.12,1 D.712,1
答案 A
6.(2020届广东深圳七中第二次月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 B
7.(2020届广东广州执信中学10月月考,5)社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和23,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A.35 B.215 C.1315 D.815
答案 C
二、多项选择题(每题5分,共10分)
8.(改编题)下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427
B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为25
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为12
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是29
答案 AC
9.(改编题)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0
C.P(Y>4)=0.1 D.P(Y>4)=0.3
答案 AC
三、填空题(每题5分,共15分)
10.(2020届湖北十堰二中月考,13)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.88,则P(0
11.(2019上海金山二模,9)若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 .(结果用小数表示)
答案 0.970 2
12.(2020届广东珠海9月摸底测试,15)研究珠海市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为 .
答案 2.4
四、解答题(共35分)
13.(2020届广东湛江9月调研考试,18)某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛,学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练.每队四名运动员,并统计了以往多次比赛成绩,按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗,每场对抗赛都互不影响,当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次.按以往多次比赛统计的结果,甲、乙两队同名次进行对抗时,甲队队员获胜的概率分别为12,23,13,12.
(1)进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果?
(2)计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分,失败一方所在的队得0分.设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X,求X的分布列及数学期望.
解析 (1)因为甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生,
所以进行一个轮次对抗赛后一共有24=16种对抗结果.
(2)X的可能取值分别为4,3,2,1,0,
P(X=4)=12×23×13×12=236=118;
P(X=3)=12×23×13×12+12×13×13×12+12×23×23×12+12×23×13×12=936=14;
P(X=2)=12×13×13×12+12×13×23×12+12×23×23×12+12×23×23×12+12×23×13×12+12×13×13×12=1436=718;
P(X=1)=12×13×23×12+12×23×23×12+12×13×13×12+12×13×23×12=936=14;
P(X=0)=12×13×23×12=236=118.
所以X的分布列为
X
4
3
2
1
0
P
118
14
718
14
118
E(X)=4×118+3×14+2×718+1×14+0×118=2.
14.(2019江西红色七校第二次联考,19)当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2018年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图所示的频率分布直方图,且规定计分规则如下表.
每分钟
跳绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185,+∞)
得分
17
18
19
20
(1)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率;
(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时增加10个,现利用所得正态分布模型:
①预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
所以所求概率P=C62+C61C121C1002=291 650.
(2)X=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08=185(个),
用样本方差s2≈169估计σ=13,所以正式测试时,μ=195,σ=13,
设正式测试时,学生每分钟跳绳个数为Y,
则Y服从正态分布N(195,132).
①P(Y>182)=P(Y>195-13)=1-1-0.682 62=0.841 3,
0.841 3×2 000=1 682.6≈1 683(人).
∴预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683.
②由Y服从正态分布N(195,132)知,全年级所有学生中任意选取1人,每分钟跳195个以上的概率为0.5,
易得ξ~B(3,0.5),∴P(ξ=0)=C30(1-0.5)3=0.125,P(ξ=1)=C310.5×(1-0.5)2=0.375,
P(ξ=2)=C320.52×(1-0.5)=0.375,P(ξ=3)=C330.53=0.125,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.125
0.375
0.375
0.125
E(ξ)=3×0.5=1.5.
15.(2019北京朝阳二模,16)某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表:
专家
A
B
C
D
E
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
场外有数万名观众参与评分,将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组,绘成频率分布直方图如图.
(1)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9分的概率;
(2)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数;从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率,Y表示评分不小于9分的人数;试求E(X)与E(Y)的值;
(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:
方案一:用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分;
方案二:分别计算专家评分的平均数x1和观众评分的平均数x2,用x1+x22作为该选手的最终得分.
请直接写出x与x1+x22的大小关系.
解析 (1)由题图知a=1-0.2-0.5=0.3,某场外观众评分不小于9分的概率是12.
(2)X的可能取值为2,3.P(X=2)=C42C11C53=35;P(X=3)=C43C53=25.
所以X的分布列为
X
2
3
P
35
25
所以E(X)=2×35+3×25=125.由题意可知,Y~B3,12,所以E(Y)=np=32.(3)x
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )
A.110 B.15 C.25 D.12
答案 C
2.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.34 B.23 C.57 D.512
答案 D
3.“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,而“布”又胜“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A.127 B.227 C.281 D.881
答案 B
4.某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为( )
A.15 B.12 C.35 D.38
答案 D
5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
A.400 B.300 C.200 D.100
答案 C
6.某次考试共有12个选择题,每个选择题的分值为5分,每个选择题四个选项有且只有一个选项是正确的,A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握,最后选择题的得分为X分,B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的,对其他三个选项都没有把握,最后选择题的得分为Y分,则D(Y)-D(X)=( )
A.12512 B.3512 C.274 D.234
答案 A
7.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为 .
答案 512
考点二 正态分布
8.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )
(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ
答案 A
9.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是 ( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99
答案 D
10.在某项测量中,测得变量ξ~N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8,则ξ在(1,2)内取值的概率为( )
A.0.2 B.0.1 C.0.8 D.0.4
答案 D
11.已知随机变量x服从正态分布N(3,σ2),且P(x≤4)=0.84,则P(2
答案 B
12.近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2018年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000 名客户在2017年“双十一”前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.
由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(μ,σ2),其中μ用样本平均值代替,σ2=0.24.
(1)计算μ,并利用该正态分布求P(1.51
(i)求EX;
(ii)问:10 000人中目标客户的人数X为何值的概率最大?
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
解析 (1)μ=0.4×(0.050×0.8+0.225×1.2+0.550×1.6+0.825×2.0+0.600×2.4+0.200×2.8+0.050×3.2)=2,
从而T服从N(2,0.24),
又σ=0.24≈0.49,
从而P(1.51
P(2
所以EX=10 000×0.477 25=4 772.5.
(ii)X服从B(10 000,0.477 25),
P(X=k)=C10 000k0.477 25k(1-0.477 25)10 000-k
=C10 000k0.477 25k·0.522 7510 000-k(k=0,1,2,…,10 000).
设当X=k(k≥1,k∈N)时概率最大,
则有P(X=k)>P(X=k+1),P(X=k)>P(X=k-1),
得0.522 75C10 000k>0.477 25C10 000k+1,0.477 25C10 000k>0.522 75C10 000k-1,
解得k=4 772.
故10 000人中目标客户的人数为4 772的概率最大.
解题关键 对于(2),得出X服从B(10 000,0.477 25)是解题的关键.
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 独立重复试验及二项分布问题的求解方法
1.(2018山东潍坊模拟,6)某篮球队对队员进行考核,规则是:①每人进行3个轮次的投篮;②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过,已知队员甲投篮1次投中的概率为23,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A.3 B.83 C.2 D.53
答案 B
2.(2018福建厦门二模,6)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
A.25 B.35 C.18125 D.54125
答案 D
3.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A=a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为 .
答案 30 800729
4.(2019河北模拟,19)某种植户对一块地的n(n∈N*)个坑进行播种,每个坑播种3粒种子,每粒种子发芽的概率均为12,且每粒种子是否发芽相互独立,对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.
(1)当n取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?
(2)当n=4时,用X表示要补播种的坑的个数,求X的分布列与数学期望.
解析 (1)对于一个坑而言,要补播种的概率为123+C31123=12.有3个坑需要补播种的概率为Cn3×12n,要使Cn3×12n最大,只需Cn312n≥Cn212n,Cn312n≥Cn412n,解得5≤n≤7,∵n∈N*,故n=5,6,7.
(2)n=4时,要补播种的坑的个数X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,X~B4,12,P(X=0)=C40124=116,P(X=1)=C41×124=14,P(X=2)=C42124=38,P(X=3)=C43124=14,P(X=4)=C44124=116.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
因为X~B4,12,所以E(X)=4×12=2.
5.(2020届辽宁阜新中学10月月考,18)某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活用电定额管理,即确定一户居民月用电量标准a,用电量不超过a的部分按平价收费.超出a的部分按议价收费,为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图所示,用电量在[240,260)的居民户数比用电量在[160,180)的居民户数多11户.
(1)求直方图中x,y的值;
(2)①用样本估计总体,如果希望至少85%的居民用电量低于标准,求月用电量的最低标准应定为多少度,并说明理由;
②若将频率视为概率,现从该市所有居民中随机抽取3户,其中月用电量低于①中最低标准的居民户数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
解析 (1)由题意,得
(x+0.009 5+0.010 0+0.013 5+y+0.005 0+0.002 5)×20=1,100×(y-x)×20=11,
所以x=0.002 0,y=0.007 5.
(2)①样本中月用电量不低于260度的居民户数为(0.005 0+0.002 5)×20×100=15,占样本总量的15%,用样本估计总体,要保证至少85%的居民月用电量低于标准,故最低标准应定为260度.
②将频率视为概率,设A(单位:度)代表居民月用电量,易知P(A<260)=1720,由题意得,ξ~B3,1720,
P(ξ=i)=C3i1720i3203-i(i=0,1,2,3).
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
278 000
4598 000
2 6018 000
4 9138 000
所以E(ξ)=0×278 000+1×4598 000+2×2 6018 000+3×4 9138 000=2.55.
或由ξ~B3,1720及二项分布的期望公式可得E(ξ)=3×1720=2.55
考法二 正态分布问题的解题方法
6.(2018山东淄博一模,5)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( )
A.73 B.53 C.5 D.3
答案 A
7.(2019河北冀州期末,4)已知随机变量ξ服从正态分布N(4,62),P(ξ≤5)=0.89,则P(ξ≤3)=( )
A.0.89 B.0.78 C.0.22 D.0.11
答案 D
8.(2019江西南昌模拟,6)在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115分的概率为( )
A.0.25 B.0.1 C.0.125 D.0.5
答案 C
9.(2019山西运城一模,19)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位:小时)并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);
(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,则Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ,利用直方图得到的正态分布,求P(X≤10);
②从该高校的学生中随机抽取20名,记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的数学期望.
参考数据:178≈403,0.773 419≈0.007 6.若Y~N(0,1),则P(Y≤0.75)=0.773 4.
解析 (1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,
s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.
(2)①由题知μ=9,σ2=1.78,∴X~N(9,1.78),σ=1.78=178100≈43.
∴P(X≤10)=PY≤10-943=P(Y≤0.75)=0.773 4.
②由①知P(X>10)=1-P(X≤10)=0.226 6,
由题意得Z~B(20,0.226 6),P(Z≥2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)
=1-0.773 420-C201×0.226 6×0.773 419≈1-(0.773 4+20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.
Z的数学期望E(Z)=20×0.226 6=4.532.
【五年高考】
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)
答案 B
2.(2015课标Ⅰ,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
答案 A
3.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18
4.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= .
答案 13
5.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析 本题主要考查独立事件概率的求解.考查学生的逻辑推理及数据处理能力;考查的核心素养是数据分析和逻辑推理.
(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
思路分析 (1)X=2,即要么甲得2分,要么乙得2分,分类求出独立事件的概率,求和即可.
(2)X=4且甲获胜,即又打了4个球,且后两球甲得分,前两个球甲、乙各得1分,由独立事件的概率公式可求解.
6.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.
解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,重点考查数学建模、数学运算的核心素养.
(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故X~B3,23,从而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
127
29
49
827
随机变量X的数学期望E(X)=3×23=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.
由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立,
从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×29+49×127=20243.
思路分析 (1)观察关键词“均”“互不影响”“相互独立”,判断X~B(n,p),从而利用二项分布求出分布列与期望.(2)先将“天数恰好多2”用数学语言表示,即X=3,Y=1或X=2,Y=0.从而利用互斥与相互独立事件的概率计算公式求解.
7.(2016北京,16,13分)A,B,C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班
6
6.5
7
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
(1)试估计C班的学生人数;
(2)从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时).这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100×820=40.
(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,i=1,2,…,5,
事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”, j=1,2,…,8.
由题意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18, j=1,2,…,8.
P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=140,i=1,2,…,5, j=1,2,…,8.
设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.
因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15×140=38.
(3)μ1<μ0.
考点二 正态分布
8.(2015湖北,4,5分)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
9.(2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%
答案 B
10.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得x=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x)2=116(∑i=116xi2-16x2)≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),
则P(μ-3σ
解析 本题考查正态分布、二项分布的概念和性质、概率的计算以及数学期望的求法,考查学生逻辑推理能力、数据处理能力、运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.002 6,故X~B(16,0.002 6).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416≈0.040 8.
X的数学期望为EX=16×0.002 6=0.041 6.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为
115×(16×9.97-9.22)=10.02,
因此μ的估计值为10.02.
∑i=116xi2=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为
115×(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,
因此σ的估计值为0.008≈0.09.
教师专用题组
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布
1.(2014课标Ⅱ,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
答案 A
考点二 正态分布
2.(2014课标Ⅰ,18,12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
(i)利用该正态分布,求P(187.8
附:150≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.
(2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8
依题意知X~B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.
思路分析 (1)根据直方图求得样本平均数x和样本方差s2;
(2)(i)由(1)知Z~N(200,150),从而得出概率.
(ii)依题意知X~B(100,0.682 6),从而求得EX.
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共35分)
1.(2020届福建南安侨光中学第一次阶段考,3)已知随机变量ξ~B3,12,则E(ξ)=( )
A.3 B.2 C.32 D.12
答案 C
2.(2019安徽安庆二模,7)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A为“4名同学所报项目各不相同”,事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则P(A|B)=( )
A.14 B.34 C.29 D.59
答案 C
3.(2018广东茂名一模,6)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
A.7 539 B.6 038 C.7 028 D.6 587
答案 D
4.(2019福建宁德二模,6)某校有1 000人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布N(105,σ2)(σ>0),试卷满分150分,统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15,则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( )
A.150 B.200 C.300 D.400
答案 C
5.(2020届山西大学附中第二次诊断,9)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0
A.0,12 B.0,712 C.12,1 D.712,1
答案 A
6.(2020届广东深圳七中第二次月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 B
7.(2020届广东广州执信中学10月月考,5)社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为35和23,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A.35 B.215 C.1315 D.815
答案 C
二、多项选择题(每题5分,共10分)
8.(改编题)下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427
B.甲、乙、丙三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为15,13,14,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为25
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为12
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是29
答案 AC
9.(改编题)已知随机变量X~B(2,p),Y~N(2,σ2),若P(X≥1)=0.64,P(0
C.P(Y>4)=0.1 D.P(Y>4)=0.3
答案 AC
三、填空题(每题5分,共15分)
10.(2020届湖北十堰二中月考,13)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.88,则P(0
11.(2019上海金山二模,9)若生产某种零件需要经过两道工序,在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02,每道工序生产废品相互独立,则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 .(结果用小数表示)
答案 0.970 2
12.(2020届广东珠海9月摸底测试,15)研究珠海市农科奇观的某种作物,其单株生长果实个数x服从正态分布N(90,σ2),且P(x<70)=0.1,从中随机抽取10株,果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X,假设X服从二项分布,则X的方差为 .
答案 2.4
四、解答题(共35分)
13.(2020届广东湛江9月调研考试,18)某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛,学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练.每队四名运动员,并统计了以往多次比赛成绩,按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名.比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗,每场对抗赛都互不影响,当甲、乙两队的四名队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次.按以往多次比赛统计的结果,甲、乙两队同名次进行对抗时,甲队队员获胜的概率分别为12,23,13,12.
(1)进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果?
(2)计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分,失败一方所在的队得0分.设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X,求X的分布列及数学期望.
解析 (1)因为甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生,
所以进行一个轮次对抗赛后一共有24=16种对抗结果.
(2)X的可能取值分别为4,3,2,1,0,
P(X=4)=12×23×13×12=236=118;
P(X=3)=12×23×13×12+12×13×13×12+12×23×23×12+12×23×13×12=936=14;
P(X=2)=12×13×13×12+12×13×23×12+12×23×23×12+12×23×23×12+12×23×13×12+12×13×13×12=1436=718;
P(X=1)=12×13×23×12+12×23×23×12+12×13×13×12+12×13×23×12=936=14;
P(X=0)=12×13×23×12=236=118.
所以X的分布列为
X
4
3
2
1
0
P
118
14
718
14
118
E(X)=4×118+3×14+2×718+1×14+0×118=2.
14.(2019江西红色七校第二次联考,19)当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区2018年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图所示的频率分布直方图,且规定计分规则如下表.
每分钟
跳绳个数
[155,165)
[165,175)
[175,185)
[185,+∞)
得分
17
18
19
20
(1)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率;
(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时增加10个,现利用所得正态分布模型:
①预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ
所以所求概率P=C62+C61C121C1002=291 650.
(2)X=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08=185(个),
用样本方差s2≈169估计σ=13,所以正式测试时,μ=195,σ=13,
设正式测试时,学生每分钟跳绳个数为Y,
则Y服从正态分布N(195,132).
①P(Y>182)=P(Y>195-13)=1-1-0.682 62=0.841 3,
0.841 3×2 000=1 682.6≈1 683(人).
∴预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683.
②由Y服从正态分布N(195,132)知,全年级所有学生中任意选取1人,每分钟跳195个以上的概率为0.5,
易得ξ~B(3,0.5),∴P(ξ=0)=C30(1-0.5)3=0.125,P(ξ=1)=C310.5×(1-0.5)2=0.375,
P(ξ=2)=C320.52×(1-0.5)=0.375,P(ξ=3)=C330.53=0.125,
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.125
0.375
0.375
0.125
E(ξ)=3×0.5=1.5.
15.(2019北京朝阳二模,16)某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分,场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表:
专家
A
B
C
D
E
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7
场外有数万名观众参与评分,将评分按照[7,8),[8,9),[9,10]分组,绘成频率分布直方图如图.
(1)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9分的概率;
(2)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数;从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率,Y表示评分不小于9分的人数;试求E(X)与E(Y)的值;
(3)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分:
方案一:用所有专家与观众的评分的平均数x作为该选手的最终得分;
方案二:分别计算专家评分的平均数x1和观众评分的平均数x2,用x1+x22作为该选手的最终得分.
请直接写出x与x1+x22的大小关系.
解析 (1)由题图知a=1-0.2-0.5=0.3,某场外观众评分不小于9分的概率是12.
(2)X的可能取值为2,3.P(X=2)=C42C11C53=35;P(X=3)=C43C53=25.
所以X的分布列为
X
2
3
P
35
25
所以E(X)=2×35+3×25=125.由题意可知,Y~B3,12,所以E(Y)=np=32.(3)x
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