（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题二不等式2.2基本不等式与不等式的综合应用试题（含解析）

§2.2　基本不等式与不等式的综合应用

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一　基本不等式及其应用

1.下列结论正确的是　(　　)

A.当x>0且x≠1时,lg x+≥2

B.当x∈时,sin x+的最小值为4

C.当x>0时,+≥2

D.当0<x≤2时,x-无最大值

答案　C

2.若正数m,n满足2m+n=1,则+的最小值为(　　)

A.3+2　　　B.3+　　　C.2+2　　　D.3

答案　A

3.已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为(　　)

A.5　　　B.　　　C.　　　D.2

答案　C

4.设0<m<,若+≥k2-2k恒成立,则k的取值范围为(　　)

A.[-2,0)∪(0,4]　　　　　B.[-4,0)∪(0,2]

C.[-4,2]　　　　　D.[-2,4]

答案　D

考点二　不等式的综合应用

5.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是(　　)

A.0≤k≤1　　　　　B.0<k≤1

C.k<0或k>1　　　　　D.k≤0或k≥1

答案　A

6.已知函数f(x)=x2+(2m-1)x+1-m,若对任意m∈[-1,0],都有f(x)>0成立,则实数x的取值范围为(　　)

A.(-1,2)　　　　　           B.(1,2)

C.(-∞,-1)∪(2,+∞)　　　　　D.(-∞,1)∪(2,+∞)

答案　D

7.已知a>b>0,则a2+的最小值为　　　　. 

答案　32

8.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是　　　　. 

答案　

综合篇知能转换

【综合集训】

考法一　利用基本不等式求最值

1.(2018黑龙江七台河测试)已知m=8-n,m>0,n>0,则mn的最大值为(　　)

A.4　　　B.8　　　C.16　　　D.32

答案　C

2.(2019新疆第一次毕业诊断,10)函数y=loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在一次函数y=mx+n的图象上,其中m>0,n>0,则+的最小值是(　　)

A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9

答案　C

3.(2019河南信阳一模,8)已知正项等比数列{an}满足:a2a8=16a5,a3+a5=20,若存在两项am,an,使得=32,则+的最小值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　A

考法二　一元二次不等式恒成立问题的解法

4.(2018安徽安庆模拟,9)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈恒成立,则a的最小值是(　　)

A.0　　　B.-2　　　C.-　　　D.-3

答案　C

5.(2019福建厦门3月联考,9)对任意m,n∈R+,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为(　　)

A.　　　B.2　　　C.4　　　D.

答案　B

6.(2018山西太原一模,12)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时, f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是(　　)

A.-1　　　B.-　　　C.-　　　D.

答案　C

7.(2018江苏南京金陵中学月考,12)已知当0≤x≤2时,不等式-1≤tx2-2x≤1恒成立,则t的取值范围是　　　　. 

答案　

应用篇知行合一

【应用集训】

1.(2019广东汕头达濠华侨中学、东厦中学第三次联考,10)已知点A,B是函数y=2x图象上的相异两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1)　　　B.(-∞,-2)　　　C.(-1,+∞)　　　D.(-2,+∞)

答案　B

2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 

答案　30

3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为　　　　辆/小时; 

(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加　　　　辆/小时. 

答案　(1)1 900　(2)100

【五年高考】

考点一　基本不等式及其应用

1.(2019天津,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　. 

答案　4

2.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　. 

答案　

3.(2017天津,12,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　. 

答案　4

考点二　不等式的综合应用

4.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是(　　)

A.　　　　　  B.

C.[-2,2]　　　　　D.

答案　A

5.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元; 

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　. 

答案　①130　②15

教师专用题组

考点一　基本不等式及其应用

1.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是　　　　. 

答案　8

考点二　不等式的综合应用

2.(2013课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,0]　　　B.(-∞,1]　　　C.[-2,1]　　　D.[-2,0]

答案　D

【三年模拟】

一、单项选择题(每题5分,共40分)

1.(2020届山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是(　　)

A.lg>lg x(x>0)　　　　　B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)

C.x2+1≥2|x|(x∈R)　　　　　  D.>1(x∈R)

答案　C

2.(2020届西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

答案　C

3.(2020届山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+(x>0)的最小值为(　　)

A.4+2　　　B.4　　　C.8　　　D.+2

答案　A

4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是(　　)

A.3　　　B.2　　　C.3　　　D.2

答案　B

5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.-

答案　D

6.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当+取最小值时,n的值为(　　)

A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.9

答案　D

7.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=+x+sin x,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则+的最小值是(　　)

A.1　　　B.　　　C.9　　　D.18

答案　A

8.(2018河北衡水金卷(一),12)已知数列{an}中,a1=2,n(an+1-an)=an+1,n∈N*,若对于任意的a∈[-2,2],n∈N*,不等式<2t2+at-1恒成立,则实数t的取值范围为(　　)

A.(-∞,-2]∪[2,+∞)　　　　　B.(-∞,-2]∪[1,+∞)

C.(-∞,-1]∪[2,+∞)　　　　　D.[-2,2]

答案　A

二、多项选择题(共5分)

9.(2020届山东烟台期中,11)下列结论正确的是(　　)

A.若a>b>0,c<d<0,则一定有>

B.若x>y>0,且xy=1,则x+>>log2(x+y)

C.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>

D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-x2

答案　AC

三、填空题(每题5分,共15分)

10.(2020届上海复旦大学附中9月综合练,8)已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

答案　[-3,1]

11.(2019福建三明第一中学期中,16)设a+2b=4,b>0,则+的最小值为　　　　. 

答案　

12.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sin x≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案　

四、解答题(共45分)

13.(2020届黑龙江哈尔滨六中第一次调研,17)已知函数f(x)=2|x+1|-|x-a|(a∈R).

(1)当a=2时,求不等式f(x)≤x+2的解集;

(2)设函数g(x)=f(x)+3|x-a|,当a=1时,函数g(x)的最小值为t,且+=t(m>0,n>0),求m+n的最小值.

解析　(1)当a=2时, f(x)=2|x+1|-|x-2|,∴2|x+1|-|x-2|≤x+2,可化为①或②或③

由①得即-3≤x≤-1;

由②得即-1<x≤1;

由③得此时无解.

综上可知,不等式的解集为[-3,1].

(2)当a=1时,g(x)=2|x+1|-|x-1|+3|x-1|=2(|x+1|+|x-1|)≥4,当且仅当-1≤x≤1时,取“=”,∴g(x)min=4,即t=4,由+=4(m>0,n>0)可得+=1,

∴m+n=(m+n)·1=(m+n)=+++≥+2=+=,当且仅当=且+=4,即m=,n=时,取“=”,∴(m+n)min=.

14.(2020届福建泉州实验中学第一次月考,19)已知函数f(x)=9x-m·3x+1-4.

(1)若m=1,求方程f(x)=0的根;

(2)若对任意x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,求m的取值范围.

解析　本题主要考查指数型函数及不等式恒成立问题,同时考查了分离参数的方法,考查的核心素养是数学抽象及数学运算.

(1)当m=1时, f(x)=9x-3x+1-4=9x-3·3x-4=(3x-4)(3x+1),令f(x)=0,可得3x=4或3x=-1(舍去),则x=log34,因此m=1时,方程f(x)=0的根是log34.

(2)由已知∀x∈[-1,1], f(x)≥-8恒成立,即9x-3m·3x-4≥-8恒成立,将3m分离出来可得,3m≤3x+,令g(x)=3x+,x∈[-1,1],设3x=t,则t∈,g(x)=h(t)=t+,t∈,而函数y=h(t)在上为减函数,在[2,3]上为增函数,∴h(t)min=h(2)=2+=4,由已知可得3m≤h(t)min,∴3m≤4,即m≤,∴实数m的取值范围是.

15.(2019江西九江高三第一次十校联考,22)已知函数f(x)=x2-x+1.

(1)若f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围;

(2)若∃x∈[1,2], f(x)≥2成立,求实数a的取值范围.

解析　(1)由题意得Δ=-4≤0,解得-4≤a≤4,∴实数a的取值范围为[-4,4].

(2)由题意得∃x∈[1,2],使≤x-成立.

令g(x)=x-,x∈[1,2],则g(x)在区间[1,2]上单调递增,∴g(x)max=g(2)=,又∵∃x∈[1,2],≤g(x)成立,

∴≤,解得a≤3,∴实数a的取值范围为(-∞,3].