（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（44）第七章立体几何第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

 [练案44]第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

A组基础巩固

一、单选题

1．在空间中，下列命题正确的是(　D　)

A．经过三个点有且只有一个平面

B．经过一个点和一条直线有且只有一个平面

C．经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个

D．经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个

2．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为(　A　)

A．4　 B．3　

C．2　 D．1

[解析]　首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．

3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　C　)

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

[解析]　若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.

4．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　C　)

A．直线AC　　 B．直线AB

C．直线CD　　 D．直线BC

[解析]　由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，

又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以点D在平面ABC与平面β的交线上．

又因为C∈平面ABC，C∈β，

所以点C在平面β与平面ABC的交线上，

所以平面ABC∩平面β＝CD.

5．(2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　D　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　

连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.

6．(2018·陕西榆林模拟)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，则BM与AN所成的角的余弦值为(　B　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　

如图，取B1C1的中点P，连接BP，MP.∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1D1的中点，∴AN∥BP，∴∠MBP是BM与AN所成的角(或所成角的补角)．BM＝BP＝＝，MP＝＝，∴cos∠MBP＝＝＝.∴BM与AN所成的角的余弦值为.故选B.

7．(2019·江西高安期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　A　)

①CC1与B1E是异面直线；

②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；

③AC⊥平面ABB1A1；

④A1C1∥平面AB1E.

A．②　 B．①③　

C．①④　 D．②④

[解析]　对于①，CC1，B1E都在平面BB1CC1内，故错误；可排除B、C，对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误，选A项．

8．(2019·福建长汀、连城一中等六校联考)已知正三棱锥S－ABC的底面边长为2、侧棱长为2，D、E分别是AB、SC的中点，则异面直线DE与BC所成的角的大小为(　B　)

A．90°　 B．60°　

C．45°　 D．30°

[解析]　

作SO⊥平面ABC于O，则C、O、D共线，由题意可知CO＝，∴cos∠SCD＝，取SB的中点H，连HE，HD，则HE∥BC，从而∠HED即为异面直线DE与BC所成的角，且HE＝1，DH＝，又DE2＝DC2＋CE2－2DC·CE·cos∠DCS＝4，∴∠EHD＝90°，又EH＝DE，∴∠HED＝60°，故选B.

9．(2019·福建漳州二模)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点，则异面直线AD1与OC1所成角的余弦值为(　C　)

A．　 B．　

C．　 D．

[解析]　

由题意知O∈BD，连BC1，则BC1∥AD1，

∴∠OC1B即为AD1与OC1所成的角，

设正方体棱长为a，

则BO＝a，BC1＝a，

又BC1＝DC1，∴C1O⊥BD，∴sin∠OC1B＝，

从而cos∠OC1B＝，故选C.

10．(2019·内蒙古包头模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　D　)

A．(0，)　　　　 B．(0，]

C．[0，]　　　　 D．(0，]

二、多选题

11．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的是(　ABC　)

[解析]　

在A图中分别连接PS，QR，易证PS∥QR，∴P，Q，R，S共面；在C图中分别连接PQ，RS，易证PQ//RS，∴P，Q，R，S共面；如图所示，在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，故四点共面；D图中PS与 QR为异面直线，∴四点不共面，故选ABC.

12.(原创)三个平面可将空间分成(　　)部分(　ACD　)

A．4　 B．5　

C．7　 D．8

[解析]　三个平面可将空间分成4或6或7或8部分．

13．(2020·湖北名师联盟模拟改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论错误的是(　ABD　)

A．直线EF，AO是异面直线

B．直线EF，BB1是相交直线

C．直线EF与BC1所成角为30°

D．直线EF与BB1所成角的余弦值为

[解析]　OF綊AE，EF、AO是相交直线，A错；

EF、BB1是异面直线，B错；

如图，OF綊BE，

∴EF∥BO，

∴∠C1BO为EF与BC1所成的角，

设正方体棱长为2，

则BC1＝2，OC1＝，BO＝，

∴BC＝OC＋BO，即BO⊥OC1，

∴∠OBC1＝30°，C对；

EF与BB1所成角的余弦值为，D错；故选ABD.

三、填空题

14．(2020·郑州质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为　　.

[解析]　

如图所示，取AB的中点E，连接B1E，则AM∥B1E，取EB的中点F，连接FN，则B1E∥FN，因此AM∥FN，则直线FN与CN所夹的锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角，设AB＝1，连接CF，在△CFN中，CN＝，FN＝，CF＝.由余弦定理，得cos∠CNF＝＝.

15．(2019·云南模拟)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则异面直线AB1与C1B所成的角是__90°__.

[解析]　将正三棱柱补成四棱柱，如图，设BB1＝，则AB＝2，连接AD1，BD1，则BC1∥AD1，∴∠D1AB1即为异面直线AB1与BC1所成的角，又由题意易知AB1＝AD1＝，B1D1＝2，∴B1D＝AB＋AD，∴∠B1AD1＝90°.

另解1：本题若取A1B1的中点D，连DC1，易证AB1⊥平面BDC1，从而AB1⊥BC1.

另解2：可建立空间直角坐标系，用向量法求解．

B组能力提升

1．(2020·甘肃诊断)直三棱柱ABC－A′B′C′中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BB′＝，则异面直线AC′与B′C所成角的余弦值为　　.

[解析]　连接BC′，交CB′于E，则E为BC′为中点，取AB中点F，连接EF，故EF∥AC′，则∠FEC或其补角为所求，又EF＝AC′＝，FC＝＝2，CE＝B′C＝，在三角形EFB中，cos∠FEC＝，故答案为.

2. (2020·河北衡水中学调研)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　D　)

A．　 B．

C.　 D．

[解析]　

由题意可知AD∥BC，∴∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角，设圆柱上、下底面圆心为O，O1，连OE、OA、ED，不妨设正方形ABCD的边长为2，则AO＝，从而AE＝ED＝，则cos∠EAD＝＝，即AE与BC所成角的余弦值为，故选D.

3．(多选题)如图是侧棱长和底面边长都相等的正四棱锥的平面展开图，M，N，P，Q分别是边BF，AB，CD，DH的中点，则在这个正四棱锥，下列四个结论正确的为(　BD　)

A．MN和CD平行

B．CE和PQ平行

C．MN和PE所成的角为60°

D．EP和AB垂直

[解析]　正棱锥直观图如图，显然MN与CD异面，A错；B对；连AP，由MN∥AE知，∠AEP为异面直线MN与PE所成的角，设四棱锥的棱长为2a，则AP＝a，PE＝a，∴cos∠AEP＝＝，C错；∵PE⊥CD，CD∥AB，∴PE⊥AB，D对．故选B、D.

4．(2019·西安模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为__60°__.

[解析]　将图形补成正方体，如图，连BH，HD，则∠HBD即为异面直线AP与BD所成的角，又BH＝BD＝HD，∴∠HBD＝60°.

5.

如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

(1)求证：AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；

(3)求三棱锥A－EBC的体积．

[解析]　(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，

∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，

∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，

∴AE与PB是异面直线．

(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．

∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，

∴AF＝，AE＝，EF＝，

cos∠AEF＝＝，

∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为.

(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为PA＝1，

VA－EBC＝VE－ABC＝×(×2×)×1＝.