数学第二十二章 二次函数综合与测试课后作业题

这是一份数学第二十二章 二次函数综合与测试课后作业题，共24页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
二次函数综合题


一．选择题


1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO＝2AO，CO＝BO，AB＝3．则下列判断中正确的是（ ）





A．此抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2


B．当x＞0时，y随着x的增大而增大


C．此抛物线与直线y＝只有一个交点


D．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个


2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO＝，CO＝BO，AB＝3．则下列判断中正确的是（ ）





A．此抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2


B．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个


C．此抛物线与直线y＝﹣只有一个交点


D．当x＞0时，y随着x的增大而增大


3．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）





A．B．


C．D．


4．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：


①当x＜0时，M＝y1；


②当x＞0时，M随x的增大而增大；


③使得M大于1的x值不存在；


④使得M＝的值是﹣或，


其中正确的个数有（ ）





A．1B．2C．3D．4


5．已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x轴、y轴的交点分别为A、B，点P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b＝0；②x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根；③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（ ）





A．仅有①②B．仅有②③C．仅有①③D．①②③


二．填空题


6．已知抛物线y＝x2+mx+n经过点（2，﹣1），且与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，若点P为该抛物线的顶点，则使△PAB面积最小时抛物线的解析式为 ．


7．已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，在移动过程中CD最大值为 ．





8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ．





9．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．则a＝ ，点E的坐标是 ．





10．已知：直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为（0，2），同时这条直线与x轴相交于点A，且相交所成的角为45°．


（1）点A的坐标为 ；


（2）若抛物线y＝ax2﹣bx+c与x轴交于点M、N（点M在点N左边），将此抛物线作关于y轴对称，M的对应点为E，两抛物线相交于点F，连接NF，EF得△NEF，P是轴对称后的抛物线上的点，使得△NEP的面积与△NEF的面积相等，则P点坐标为 ．


三．解答题


11．已知抛物线y＝x2上一点A的纵坐标是1，过点F（0，1）与A作直线与抛物线交于另一点B．


（1）求点B的坐标；


（2）已知O为坐标原点，判断△AOB是否为直角三角形？请说明理由．


12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，4）与B（5，0），C（﹣1，0）．


（1）求该二次函数的解析式；


（2）点D是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（1＜x＜5），写出四边形ACBD的面积S关于点D的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值；


（3）点E是该二次函数图象上的点，点F是x轴上的点，如果以A、C、E、F为顶点的四边形是以AC为一边的平行四边形，直接写出E的坐标．





13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．


（1）若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；


（2）若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？


（3）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．





14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），与X轴交于点A（﹣1，0）和点B（点B在点A的右边），且OB＝OC．





（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；


（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．


（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．


15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．


（1）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，当△PAC的面积最大时，求此时P点的坐标；


（2）若点Q是抛物线对称轴上的动点，点M是抛物线上的动点，当以点M、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时Q点的坐标．





16．如图1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC，且抛物线的对称轴为直线x＝．


（1）求二次函数的解析式；


（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，且点P在对称轴的右侧，连接PB、PC，是否存在点P，使S△PBC＝S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；


（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，且满足∠QBC＝45°﹣∠ACO，请直接写出点Q坐标．





17．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．





（1）求抛物线的表达式；


（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；


（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．


18．已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），


（1）求二次函数的表达式及A点坐标；


（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；


（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．























参考答案


一．选择题


1．解：∵CO＝2AO，而CO＝BO，AB＝3，


∴AO＝1，BO＝OC＝2，即A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），


∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2，故A错误．


∵二次函数的对称轴为x＝，


∴当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故B错误．


∵此二次函数的最小值为﹣，


∴此抛物线与直线y＝﹣只有一个交点，C正确．


∵要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误．


故选：C．


2．解：根据题意易得CO＝2AO，而CO＝BO，AB＝3，故AO＝1，BO＝OC＝2，


即A（﹣1，0）B（2，0）C（0，﹣2），进而可得此二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2，故A错误．


要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误．


C中，此二次函数的最小值为﹣，故此抛物线与直线y＝﹣只有一个交点，C正确．


当x＞0时，y随着x的增大而先减小再增大，故D错误．


故选：C．


3．解：设正方形的边长为m，则m＞0，


∵AE＝x，


∴DH＝x，


∴AH＝m﹣x，


∵EH2＝AE2+AH2，


∴y＝x2+（m﹣x）2，


y＝x2+x2﹣2mx+m2，


y＝2x2﹣2mx+m2，


＝2[（x﹣m）2+]，


＝2（x﹣m）2+m2，


∴y与x的函数图象是A．


故选：A．


4．解：∵当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．


∴①当x＜0时，由图象可得y1＜y2，故M＝y1；故此选项正确；


②当1＞x＞0时，y1＞y2，M＝y2，直线y2＝﹣x+1中y随x的增大而减小，故M随x的增大而减小，此选项错误；


③由图象可得出：M最大值为1，故使得M大于1的x值不存在，故此选项正确；


④当﹣1＜x＜0，M＝时，即y1＝﹣x2+1＝，


解得：x1＝﹣，x2＝（不合题意舍去），


当0＜x＜1，M＝时，即y2＝﹣x+1＝，


解得：x＝，


故使得M＝的值是﹣或，此选项正确．


故正确的有3个．


故选：C．





5．解：①根据图象知，对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，即2a+b＝0．


故①正确；


②根据图象知，点A的坐标是（﹣1，0），对称轴是x＝1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，故②正确；


③如图所示，点A关于x＝1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．


连接BA′与直线x＝1的交点即为点P，


则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．


∵B（0，3），A′（3，0），


∴BA′＝3．即△PAB周长的最小值是3+．


故③正确．


综上所述，正确的结论是：①②③．


故选：D．





二．填空题


6．解：由题意知4+2m+n＝﹣1，即n＝﹣2m﹣5，


∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+mx+n上，


∴a+b＝﹣m，ab＝n，


又∵|AB|＝|a﹣b|＝x2+mx+n经过（2，﹣1），代入得，n＝﹣2m﹣5，


∴|AB|＝，P点纵坐标为﹣m2﹣2m﹣5，


S△PAB＝＝，


所以，当m＝﹣4时，S△PAB最小，


此时，该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3．


故答案是：y＝x2﹣4x+3．


7．解：根据题意得，CD＝2x+1﹣x2＝﹣x2+2x+1＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣（x2﹣2x+1）+2＝﹣（x﹣1）2+2，


可见函数最大值为2．


故答案为2．


8．解：如图，





在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，即点C（0，3），


∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，


∴对称轴为x＝1，顶点D（1，4），


则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），


作点D关于y轴的对称点D′（﹣1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，﹣3），


连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，


四边形EDFG的周长＝DE+DF+FG+GE


＝DE+D′F+FG+GE′


＝DE+D′E′


＝+＝+，


∴四边形EDFG的周长的最小值为：+．


故答案是：+．


9．解：把点A（3，0）代入抛物线，


解得a＝；


∵四边形OABC为正方形，


∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，


代入y＝x2﹣x﹣，


解得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意，舍去），


因此正方形BDEF的边长B为1+﹣3＝﹣2，


所以AF＝3+﹣2＝1+，


由此可以得出点E的坐标为（1+，1+）；


故答案为：，（1+，1+）．


10．解：（1）设直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2﹣bx+c的一个交点为B（0，2），


∵直线y＝ax+b过点（0，2），同时这条直线与x轴相交于点A，且相交所成的角为45°，


∴OA＝OB，


∴当a＞0时，A（﹣2，0），当a＜0时，A（2，0）；


故答案是：（﹣2，0）或（2，0）；


（2）把B（0，2），A（﹣2，0）代入直线y＝ax+b得，，


解得：，


把B（0，2），A（2，0）代入直线y＝ax+b得，


解得：，


∵抛物线y＝ax2﹣bx+c过B（0，2），


∴c＝2，


故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+2或y＝﹣x2﹣2x+2．


存在．


如图，抛物线为y＝x2﹣2x+2时，b2﹣4ac＝4﹣4×1×2＜0，抛物线与x轴没有交点，


抛物线为y＝﹣x2﹣2x+2时，b2﹣4ac＝4﹣4×（﹣1）×2＞0，抛物线与x轴有两个交点；





∵y轴反射后的像与原像相交于点F，则F点即为B点，


∴F（0，2）


∵△NEP的面积与△NEF的面积相等且同底，


∴P点的纵坐标为2或﹣2，


当y＝2时，﹣x2﹣2x+2＝2，解得：x＝﹣2或x＝0（与点F重合，舍去）；


当y＝﹣2时，﹣x2﹣2x+2＝﹣2，解得：x＝﹣1+，x＝﹣1﹣，


故存在满足条件的点P，点P坐标为：（﹣2，2），（﹣1+，﹣2），（﹣1﹣，﹣2）．


故答案是：（﹣2，2）或（﹣1+，﹣2）或（﹣1﹣，﹣2）．


三．解答题


11．解：（1）∵抛物线y＝x2上一点A的纵坐标是1，


∴x2＝1，


解得x＝±2，


∴点A的坐标为（﹣2，1）或（2，1），


设直线AF的解析式为y＝kx+b，则


，


解得，


或


解得．


故直线AF的解析式为y＝1，


与抛物线联立得，


解得，．


故点B的坐标为（﹣2，1）或（2，1）；


（2）OA＝OB＝＝，


AB＝2﹣（﹣2）＝4，


∵（）2+（）2≠42，


∴△AOB不是直角三角形．


12．解：（1）把点A（1，4）与B（5，0），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：，


解得：，


∴该二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+；


（2）如图1，过A作x轴的垂直，垂足为E（1，0），连接ED、DB，过D作DF⊥AE，DG⊥x轴，垂足分别为F，G，


S△ACE＝CE•AE＝×2×4＝4；


S△ADE＝AE•DF＝×4×（x﹣1）＝2x﹣2；


S△BDE＝BE•DG＝×4×（﹣x2+2x+）＝﹣x2+4x+5，


则S＝S△ACE+S△ADE+S△BDE＝4+2x﹣2﹣x2+4x+5＝﹣x2+6x+7，


∴S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+6x+7（1＜x＜5），


∵S＝﹣x2+6x+7＝﹣（x﹣3）2+16，


∴当x＝3时，四边形ACBD的面积S有最大值，最大值为16；


（3）∵AC为平行四边形的一边，则AC∥EF，AE∥CF，A，E到x轴的距离相等，


∴|yE|＝|yA|＝4，


∴yE＝±4．


当yE＝4时，解方程﹣x2+2x+＝4得，


x1＝1，x2＝3，


∴点E的坐标为（3，4）；


当yE＝﹣4时，解方程﹣x2+2x+＝﹣4得，


x1＝2﹣，x2＝2+，


∴点E的坐标为（2﹣，﹣4），（2+，﹣4）．





13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点B（﹣1，0）、E（3，0），


∴抛物线的对称轴为x＝1，


∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点A（0，﹣3），


∴C（2，﹣3），


抛物线表达式为y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），


故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，


∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；


（2）如图，过点P作y轴的平行线交AE于点H，





由点A，E的坐标得直线AE的表达式为y＝x﹣3，


设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），


∴PAE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t）＝﹣，


∴当t＝时，S有最大值；


（3）直线AE表达式中的k值为1，则与之垂直的直线表达式中的k值为﹣1，


①当∠PEA＝90°时，


直线PE的表达式为y＝﹣x+b，将点E的坐标代入并解得b＝3，


∴直线PE的表达式为y＝﹣x+3，


联立得，


解得x＝﹣2或3（不合题意，舍去）


故点P的坐标为（﹣2，5），


②当∠PAE＝90°时，同理可得，点P（1，﹣4），


综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（1，﹣4）．


14．解：（1）∵点C（0，3），OB＝OC，


∴B（3，0），


把A、B、C三点坐标代入y＝ax2+bx+c，得


，解得，，


∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，


∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，


∴顶点坐标为（1，4）；


（2）把C向下移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E═C″E，


∵C（0，3），


∴C′（0，2），


∵对称轴是直线x＝1，


∴C″（2，2），


∵A（﹣1，0），


∴AC＝，


AC″＝，


AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1+的值最小，


∴四边形ACDE的周长的最小值为1+；





（3）如图，设直线CP交x轴于点E，





直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，


又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，


则BE：AE＝3：5或5：3，


则AE＝2.5或1.5，


即点E的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），


将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，


解得：k＝﹣6或﹣2，


故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3，


联立方程组或，


解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），


故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．


15．解：（1）∵物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A，B两点，


∴0＝﹣x2﹣x+，


∴x1＝1，x2＝﹣3，


∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），


∵抛物线y＝﹣x2﹣x+与y轴交于点C，


∴点C的坐标为（0，），


∵点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，），


∴直线AC解析式为：y＝x+，


如图，过点P作PE⊥AB，交AC于点E，





设点P（a，﹣a2﹣a+），则点E（a，a+），


∴PE＝﹣a2﹣a+﹣（a+）＝﹣a2﹣a，


∵△PAC的面积＝×PE×3＝﹣（a+）2+，


∴当a＝﹣时，△PAC的面积有最大值，


∴点P（﹣，1+）；


（2）设点M坐标为（x，y），


∵点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），


∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，


∵点Q是抛物线对称轴上的动点，


∴设点Q坐标为（﹣1，b），


当AC为边时，则四边形ACMQ是平行四边形或四边形ACQM是平行四边形，


若四边形ACMQ是平行四边形，


∴AM与CQ互相平分，


∴，＝，


∴x＝﹣4，b＝y+，


∴y＝﹣×16+×4+＝﹣，


∴b＝﹣，


∴点Q坐标为（﹣1，﹣）；


若四边形ACQM是平行四边形，


∴AQ与CM互相平分，


∴，，


∴x＝2，b＝y﹣，


∴y＝﹣×4﹣×2+＝﹣，


∴b＝﹣，


∴点Q坐标为（﹣1，﹣）；


当AC为对角线时，


∵以点M、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，


∴AC与MQ是互相平分，


∴＝，＝，


∴x＝﹣2，b＝﹣y，


∴y＝﹣×4+×2+＝，


∴b＝0，


∴点Q坐标为（﹣1，0）；


综上所述：点Q的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣）或（﹣1，0）．


16．解：（1）根据题意得，，∴，


∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；


（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4，


令y＝0，则﹣x2+3x+4＝0，


∴x＝1或x＝4，


∴B（4，0），


∵A（﹣1，0），C（0，4），


∴AB＝5，OC＝4，


∴S△ABC＝AB•OC＝×5×4＝10，


∴S△PBC＝S△ABC＝6，


设P（t，﹣t2+3t+4）（＜t＜4），


过点P作PK∥OC交BC于K，


∵B（4，0），C（0，4），


∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，


∴K（t，﹣t+4），


∴PK＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，


∴S△PBC＝PK•（xB﹣xC）＝（﹣t2+4t）×4＝6，


∴t＝3或t＝1（舍），


∴P（3，4）；


（3）如图2，


Ⅰ、当点Q在直线BC上方时，过点C作CQ∥AB交抛物线于Q，


由抛物线的对称性得，四边形ABQC是等腰梯形，


∴∠BQC＝∠ACQ＝90°+∠ACO，


∠BQC＝180°﹣∠ABQ＝180°﹣∠ABC﹣CBQ＝180°﹣45°﹣∠CBQ＝135°﹣∠CBQ，


∴90°+∠ACO＝135°﹣∠CBQ，


∴∠ACO+∠CBQ＝45°，此时，符合条件，


∴Q（3，4），


Ⅱ、当点Q在直线BC下方时，


∵∠OBC＝45°，


∴∠CBQ'+∠ABQ'＝45°，


∵∠QBC＝45°﹣∠ACO，


∴∠ACO＝∠ABQ'，


∵∠BON＝∠COA＝90°，OB＝OC＝4，


∴△BON≌△COA（AAS），


∴ON＝OA＝1，


∴直线BN的解析式为y＝﹣x+1③，


联立①③解得，（舍）或，


∴Q'（﹣，），


即满足条件的点Q（3，4）或（﹣，）．








17．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，


∴，解得：，


∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；


（2）∵点B（3，0），点C（0，3），


∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，


如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，





设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），


∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，


∵S△PBC＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，


∴当m＝时，S△PBC有最大值，


∴点P（，）；


（3）存在N满足条件，


理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，


∴点A（﹣1，0），


∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，


∴顶点M为（1，4），


∵点M为（1，4），点C（0，3），


∴直线MC的解析式为：y＝﹣x+3，


如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，





∴点E（﹣3，0），


∴DE＝4＝MD，


∴∠NMQ＝45°，


∵NQ⊥MC，


∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，


∴MQ＝NQ，


∴MQ＝NQ＝MN，


设点N（1，n），


∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，


∴NQ＝AN，


∴NQ2＝AN2，


∴（MN）2＝AN2，


∴（|4﹣n|）2＝4+n2，


∴n2+8n﹣8＝0，


∴n＝﹣4±2，


∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．


18．解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c


则有，


解得


∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，


令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，


∴A（﹣3，0）．


如图1中连接AD，CD．





∵点D到直线AC的距离取得最大，


∴此时△DAC的面积最大


设直线AC解析式为：y＝kx+b，


∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），


∴，


解得，，


∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，


过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），


则G（x，﹣x﹣3），


∵点D在第三象限，


∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，


∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，


∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），


∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．


（3如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），





当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，


x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，


∴N″（2，5）．


综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．