北师大版 (2019)必修 第一册2.1 函数概念精练

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§2 函数


2.1 函数概念


课时2 函数的定义域与值域


知识点1 函数的定义域


1.☉%#964*9￥@%☉(2020·南宁二中月考)函数f(x)=1x的定义域是( )。


A.RB.{x|x≥0}


C.{x|x>0}D.{x|x≠0}


答案：C


解析：要使解析式有意义,则x≥0,x≠0,所以x>0,故选C。


2.☉%#2#48#7#%☉(2020·兴安中学月考)函数y=x2-2-2-x2的定义域是( )。


A.[2,+∞)B.(-∞,-2]


C.[-2,2]D.{-2,2}


答案：D


解析：依题意,知x2-2≥0,2-x2≥0,解得x=±2,所以函数的定义域为{-2,2}。


3.☉%610*#8#￥%☉(2020·山东滨州第一中学期中)函数y=1-x2x2-3x-2的定义域为( )。


A.(-∞,1]


B.-∞,-12


C.(-∞,2]


D.-∞,-12∪-12,1


答案：D


解析：根据题意得1-x≥0,2x2-3x-2≠0,解得x∈-∞,-12∪-12,1。


4.☉%6￥5￥7#0￥%☉(2020·蒙阴第一中学开学摸底)f(x)=(x-1)0+2x+1的定义域是( )。


A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)


C.RD.(-1,1)∪(1,+∞)


答案：D


解析：要使函数有意义,需满足x-1≠0,2x+1>0,所以x>-1且x≠1,所以定义域为(-1,1)∪(1,+∞)。


知识点2 函数的值域


5.☉%8*#63@￥0%☉(2020·陕西三原南郊中学期中检测)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( )。


A.{-1,0,3}B.{0,1,2,3}


C.{y|-1≤y≤3}D.{y|0≤y≤3}


答案：A


解析：由对应关系y=x2-2x,得0→0,1→-1,2→0,3→3,所以值域为{-1,0,3}。


6.☉%15*@*53#%☉(2020·陕西兴平西郊中学月考)函数y=2x2-4x-3(0

A.(-3,3)B.(-5,-3)


C.[-5,3)D.(-5,+∞)


答案：C


解析： y=2(x-1)2-5∈[-5,3)。


7.☉%@0￥0#0#2%☉(2020·河北张家口高一联考)函数f(x)=1x2+1(x∈R)的值域是( )。


A.(0,1)B.(0,1]


C.[0,1)D.[0,1]


答案：B


解析：因为x∈R,所以x2+1≥1,0<1x2+1≤1,即0

8.☉%￥￥1￥48#8%☉(2020·河北衡水高一检测)函数y=8x2-4x+5的值域是( )。


A.(-∞,8]B.(0,+∞)


C.[8,+∞)D.(0,8]


答案：D


解析：因为x2-4x+5=(x-2)2+1≥1,所以8x2-4x+5∈(0,8]。


9.☉%#2#0*36@%☉(2020·江西樟树联考)函数y=x2-8x+15x2-x-6的值域是( )。


A.(-∞,1)


B.(-∞,1)∪(1,+∞)


C.-∞,-25∪-25,+∞


D.-∞,-25∪-25,1∪(1,+∞)


答案：D


解析：因为y=x2-8x+15x2-x-6=(x-5)(x-3)(x-3)(x+2)=x-5x+2=1-7x+2(x≠3),所以y∈-∞,-25∪-25,1∪(1,+∞)。


10.☉%*#*#3426%☉(2020·陕西周至中学高一月考)若函数f(x)=x2+ax+1的定义域为实数集R,则实数a的取值范围为( )。


A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)


C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.[-2,2]


答案：D


解析：函数f(x)的定义域是实数集R,则x2+ax+1≥0恒成立,即Δ=a2-4≤0,解得-2≤a≤2,即实数a的取值范围是[-2,2]。故选D。


题型1 复合函数的定义域


11.☉%3@@1￥#00%☉(2020·榆林中学月考)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=f(2x)x-1的定义域是( )。


A.[0,1]B.[0,1)


C.[0,1)∪(1,4]D.(0,1)


答案：B


解析：要使g(x)有意义,则0≤2x≤2,x-1≠0,解得0≤x<1,故定义域为[0,1),选B。


12.☉%70***01*%☉(2020·安徽黄山高一月考)若函数f(x)的定义域是12,1,则y=f(3-x)的定义域是( )。


A.[0,1]B.0,52


C.2,52D.(-∞,3)


答案：C


解析：函数f(x)的定义域是12,1,所以y=f(3-x)要有意义,则3-x∈12,1,解得x∈2,52。


13.☉%314*#￥*6%☉(2020·延安市实验中学期中测试)设函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(x+a)+f(2x+a)(0

A.-a2,1-a2B.-a2,1-a


C.-a,1-aD.-a,1-a2


答案：A


解析：由0≤x+a≤1,0≤2x+a≤1,0

14.☉%192*#@1@%☉(2020·西安第八十九中学高一检测)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )。


A.10个B.9个C.8个D.4个


答案：B


解析：由2x2-1=1,得x1=1,x2=-1;由2x2-1=7,得x3=-2,x4=2,所以定义域为2个元素的集合有4个,定义域为3个元素的集合有4个,定义域为4个元素的集合有1个,因此共有9个“孪生函数”。


15.☉%5##9*5*7%☉(2020·合肥中学高一期中)函数f(x)=x+1+12-x的定义域为 。


答案：{x|x≥-1且x≠2}


16.☉%58#**#23%☉(2020·陕西凤翔中学检测)设函数f(x)的定义域是[-2,1],则函数fx-1x的定义域是 。


答案：13,+∞


17.☉%#@05*1*2%☉(2020·四川雅安中学高一月考)若函数y=f(2x-1)的定义域是[0,2],则函数y=f(x+1)的定义域是 。


答案：[-2,2]


解析：函数f(2x-1)的定义域是[0,2],即x∈[0,2],则2x-1∈[-1,3],∴f(x)的定义域为[-1,3],从而x+1∈[-1,3],x∈[-2,2],函数y=f(x+1)的定义域是[-2,2]。


18.☉%95###7#2%☉(2020·武汉二中高一月考)已知函数y=1ax+1(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围。


答案：解:已知函数y=1ax+1(a<0且a为常数)有意义,


所以1ax+1≥0,a<0,所以x≤-a,


即函数的定义域为(-∞,-a]。


因为函数在区间(-∞,1]上有意义,


所以(-∞,1]⊆(-∞,-a],所以-a≥1,即a≤-1,


所以实数a的取值范围是(-∞,-1]。


19.☉%9@*￥#721%☉(2020·陕西西安铁一中学高一检测)已知函数f(x)=2kx2-4kx+k+3的定义域为R,求k的取值范围。


答案：解:由题意可得kx2-4kx+k+3>0恒成立。


①当k=0时,3>0恒成立,所以满足题意;


②当k≠0时,须使k>0,Δ=(4k)2-4k(k+3)<0,


解得0

综上可得,k的取值范围为0≤k<1。


题型2 求函数值域的常用方法


20.☉%53*￥0￥5#%☉(2020·北京育才学校期中)已知f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=2,f(3)=3,那么f(12)等于( )。


A.6B.7C.10D.12


答案：B


解析：由f(ab)=f(a)+f(b),可得f(12)=f(4)+f(3),f(4)=f(2)+f(2),所以f(12)=2f(2)+f(3)=4+3=7。故选B。


21.☉%#8@1**07%☉(2020·河北廊坊八中高一月考)A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},图2-2-1-2-1中能表示以A为定义域,B为值域的函数的是( )。





图2-2-1-2-1


答案：B


解析： A,C,D的值域都不是[1,2]。故选B。


22.☉%0￥1*4#￥2%☉(2020·海南临高二中月考)函数y=16-x2的值域是 。


答案：[0,4]


解析：因为0≤16-x2≤16,所以16-x2∈[0,4]。


23.☉%#1￥848￥*%☉(2020·郑州七校高一联考)函数f(x)=-x2-3x+4,x∈[-3,1],则该函数的值域为 。


答案：0,254


解析： f(x)=-x+322+254∈0,254。


24.☉%633#4***%☉(2020·杭州四中高一检测)定义域为R的函数y=f(x)的值域为[a,b],则函数y=f(x)+a的值域为 。


答案：[2a,a+b]


解析：依题意,a≤f(x)≤b,则2a≤f(x)+a≤a+b,即函数y=f(x)+a的值域为[2a,a+b]。


25.☉%#9￥8@63*%☉(2020·黑龙江大庆实验中学高一月考)函数y=3x+2x-2的值域为 。


答案：{y|y∈R,且y≠3}


解析：因为y=3x+2x-2=(3x-6)+8x-2=3+8x-2,又因为8x-2≠0,所以y≠3。所以函数y=3x+2x-2的值域是{y|y∈R,且y≠3}。


26.☉%#@@954#9%☉(2020·山东菏泽高一期中)已知实数m≠0,函数f(x)=4x-m(x≤4),-x-2m(x>4),若f(4-m)=f(4+m),则实数m的值为 。


答案：-5或10


解析：若m>0,则4+m>4,4-m<4,则由f(4-m)=f(4+m),得4(4-m)-m=-(4+m)-2m,即16-5m=-4-3m,则m=10;若m<0,则4-m>4,4+m<4,则由f(4-m)=f(4+m),得4(4+m)-m=-(4-m)-2m,即16+3m=-4-m,则m=-5。综上,实数m的值为-5或10。


27.☉%7@10**6#%☉(2020·吉林梅河口五中高一月考)函数y=x+2x-1的值域为 。


答案：12,+∞


解析：设μ=2x-1x≥12,则x=1+μ22(μ≥0),于是y=1+μ22+μ=(μ+1)22(μ≥0)。由μ≥0知(μ+1)2≥1,则y≥12。故函数y=x+2x-1的值域为12,+∞。


28.☉%357￥*@*6%☉(2020·兴安中学检测)完成下列题目。


(1)求函数y=-x2+x+2的值域;


答案：解:由-x2+x+2≥0,得函数的定义域为[-1,2]。


此时-x2+x+2=-x-122+94∈0,94。


故函数y=-x2+x+2的值域是0,32。


(2)求函数y=2x-x-1的值域。


答案：设t=x-1≥0,则x=t2+1。


原函数可转化为y=2(t2+1)-t=2t-142+158。


因为t≥0,所以y∈158,+∞。


所以函数y=2x-x-1的值域为158,+∞。


29.☉%*2*@6#29%☉(2020·北京四中月考)已知函数f(x)=x2x2+1。


(1)求f(1),f(2)+f12的值;


答案：解:f(1)=1212+1=12,


因为f(2)=2222+1=45,f12=122122+1=15,


所以f(2)+f12=45+15=1。


(2)证明:f(x)+f1x等于定值;


答案：因为f1x=1x21x2+1=1x2+1,


所以f(x)+f1x=x2x2+1+1x2+1=1,为定值。


(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)+f12+f13+…+f12 018的值。


答案：由(2)知,f(x)+f1x=1。


所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 018)+f12+f13+…+f12 018=f(1)+f(2)+f12+f(3)+f13+…+f(2 018)+f12 018=12+。