高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性课后测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性课后测评，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．已知函数f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )


A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44


B [∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.]


2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )


A．0 B．1 C．3 D．Δx


A [eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(1－1,Δx)＝0.]


3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于( )


A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq \f(9,Δt)


C．12＋2Δt D．12


C [eq \f(Δs,Δt)＝eq \f([23＋Δt2＋5]－2×32＋5,Δt)＝12＋2Δt.]


4．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝( )


A．－3 B．2 C．3 D．－2


C [根据平均变化率的定义，可知


eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3，故选C.]


5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＞0，则( )


A．f(x)在这个区间上为增函数


B．f(x)在这个区间上为减函数


C．f(x)在这个区间上的增减性不确定


D．f(x)在这个区间上为常数函数


A [①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.]


二、填空题


6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．


3－Δx [eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－－1＋Δx2＋－1＋Δx＋－12－－1,Δx)


＝3－Δx.]


7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为eq \x\t(v1)，eq \x\t(v2)，eq \x\t(v3)，则三者的大小关系为________．





eq \x\t(v1)＜eq \x\t(v2)＜eq \x\t(v3) [eq \x\t(v1)＝eq \f(st1－st0,t1－t0)＝kOA，eq \x\t(v2)＝eq \f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq \x\t(v3)＝eq \f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，


∴eq \x\t(v1)＜eq \x\t(v2)＜eq \x\t(v3).]


8．函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．


6x0＋3Δx 12.3 [函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq \f(fx0＋Δx－fx0,x0＋Δx－x0)


＝eq \f([3x0＋Δx2＋2]－3x\\al(2,0)＋2,Δx)


＝eq \f(6x0·Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.


当x0＝2，Δx＝0.1时，


函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.]


三、解答题


9．判断函数g(x)＝eq \f(k,x)(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．


[解] 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝eq \f(k,x1)－eq \f(k,x2)＝eq \f(kx2－x1,x1x2)，


eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(gx1－gx2,x1－x2)＝－eq \f(k,x1x2).


∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(k,x1x2)＞0，


∴g(x)＝eq \f(k,x)(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．


10．已知函数f(x)＝eq \f(2x－1,x＋1)，x∈[3,5]．


(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；


(2)求该函数的最大值和最小值．


[解] (1)函数f(x)在[3,5]上是增函数．


证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则


f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1－1,x1＋1)－eq \f(2x2－1,x2＋1)


＝eq \f(2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1,x1＋1x2＋1)


＝eq \f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，


所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx1－fx2,x1－x2)＝eq \f(3,x1＋1x2＋1).


因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，


所以eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(3,x1＋1x2＋1)＞0，


所以f(x)＝eq \f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是增函数．


(2)f(x)min＝f(3)＝eq \f(2×3－1,3＋1)＝eq \f(5,4)，


f(x)max＝f(5)＝eq \f(2×5－1,5＋1)＝eq \f(3,2).


[等级过关练]


1．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(31,4)))及邻近一点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，则eq \f(Δy,Δx)＝( )


A．3 B．－3


C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3


D [∵Δy＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋Δx))－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，


∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－3Δx－Δx2,Δx)＝－3－Δx，


故选D.]


2.函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )


A．k1＞k2 B．k1＜k2


C．k1＝k2 D．不确定


D [k1＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq \f(fx0－fx0－Δx,Δx)＝2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小关系不确定．]


3．已知曲线y＝eq \f(1,x)－1上两点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq \f(1,2)＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．


－eq \f(1,6) [∵Δy＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－1))


＝eq \f(1,2＋Δx)－eq \f(1,2)＝eq \f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq \f(－Δx,22＋Δx)，


∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝eq \f(－1,22＋Δx)，


即k＝eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(1,22＋Δx).


∴当Δx＝1时，k＝－eq \f(1,2×2＋1)＝－eq \f(1,6).]


4．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．





eq \f(3,4) [由函数f(x)的图像知，


f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1＜x≤3.))


所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为eq \f(f2－f0,2－0)＝eq \f(3－\f(3,2),2)＝eq \f(3,4).]


5．已知函数f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．


(1)当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；


(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．


[解] (1)当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝x＋eq \f(1,2x)＋2.


设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2x1x2)))，


∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(2x1x2－1,2x1x2).


∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，


∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2x1x2－1,2x1x2)＞0，


∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，


∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝eq \f(7,2).


(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立．


设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．


所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，


于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，


故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).