江苏省无锡市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题精校版
展开无锡市2019~2020学年度高三年级第一次质量检测
数 学 试 题 Ⅰ
考试时间120分钟，全卷满分160分.
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.
1.集合，，则_______.
2.已知复数，且满足（其中为虚数单位），则______.
3.某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为_______分钟.
4.函数过定点________.
5.等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.
6.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三 道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
7.在长方体中，,，，为的中点，则点到平面的距离是______.
8.如图所示的流程图中，输出的值为______.
9.圆关于直线的对称圆的方程为______
10.正方形的边长为2，圆内切与正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.
11.双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接角圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_______.
12.对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_______.
13.在直角三角形中，为直角，，点在线段上，且,若，则的正切值为_______.
14.函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_______.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在中，角所对的分别为，向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值.
16.（本小题满分14分）
在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
17.（本小题满分14分）
已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不行与坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.
（1）求的周长；
（2）求面积的最大值.
18.（本小题满分16分）
一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD(如图所示) ,其中AD≥AB.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD边长的范围;
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆古地面积最小.
19.（本小题满分16分）
已知，均为正项数列，其前项和分别为，，且，，，当，时，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.（本小题满分16分）
设函数，，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，（）.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求证：随着的增大而增大.
