江苏省苏州市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题精校版
展开苏州市2019~2020学年度第一学期期末学业质量阳光指标调研卷
数 学 试 题 Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.
1.已知集合A＝，B＝{﹣1，0，1，4}，则AB＝ ．
2.已知i是虚数单位，复数z＝(1＋bi)(2 ＋i)的虚部为3，则实数b的值为 ．
3.从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为 ．
4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在[5，7)之间通过的车辆数是440辆，则在[8，9)之间通过的车辆数是 ．
5.如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为 ．
第4题 第5题 第9题
6.已知等比数列中，，则“＜”是“＜”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）
7.在平面直角坐标系xOy中，己知点F1，F2是双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P的坐标为(0，b)，若∠F1PF2＝120°，则该双曲线的离心率为 ．
8.若x，y满足约束条件，则z＝x＋3y的最大值为 ．
9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为cm的扇形，则该冰淇淋的体积是 cm3．
10.在平面直角坐标系xOy中，若直线x＋my＋m＋2＝0(mR)上存在点P，使得过点P向圆O：作切线PA（切点为A），满足PO＝PA，则实数m的取值范围为 ．
11.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：与函数(＞0)的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1，A2，…，若点A1的横坐标为1，则点A2的横坐标为 ．
12.如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝3，BC＝4，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 ．
13.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
14.已知函数（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
已知向量＝(sinx，)，＝(cosx，﹣1)．
（1）当∥时，求tan2x的值；
（2）设函数，且(0，)，求的最大值以及对应的x的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，D，E分别是AB，B1C的中点．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若DE⊥AB，求证：AB⊥B1C．
17.（本小题满分14分）
为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地(如图)租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜．已知扇形AOB中，∠AOB＝，OB＝(百米)，荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在上(C与A，B不重合)，在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区．设∠BDC＝，蜂果区的面积为S(平方百米)．
（1）求S关于的函数关系式；
（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值．
18.（本小题满分16分）
如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”．过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”．已知椭圆E：(a＞b＞0) 上的点(1，)的上辅点为(1，)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若△OPQ的面积等于，求上辅点Q的坐标；
（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E
的位置关系，并证明你的结论．
19.（本小题满分16分）
已知数列满足，，其中是数列的前n项和．
（1）求和的值及数列的通项公式；
（2）设()．①若，求k的值；②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．
20.（本小题满分16分）
已知函数(R)．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；
（3）证明：当(0，)时，函数有两个零点，，且满足．
