2020届二轮复习 空间角、空间距离 教案（全国通用）
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【典型例题】
类型一、利用空间向量求空间角
【例1】如图所示，已知点P在正方体ABCD—A′B′C′D′的对角线
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP与CC′所成角的大小;
(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小.
【解析】如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.
则=（1，0，0），=(0,0,1).
连接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,
延长DP交B′D′于H.
设=(m,m,1) (m＞0),由已知〈,〉=60°,
由·=||||cos〈, 〉,
可得2m=.
解得m=,所以=（,,1）.
(1)因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=45°,
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).
因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
【总结升华】求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量求。
举一反三：
【变式】如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.
（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.
【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.
又EF平面PAC，而PC平面PAC，
∴EF∥平面PAC.
（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则P（0，0，1），B（0，1，0），
F（0，，），D（，0，0）.
设BE=x，则E（x，1，0），
·=（x，1，-1）·（0，，）=0，
∴PE⊥AF. （3）设平面PDE的法向量为=(p,q,1),
由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）
由，得=.
而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,
∴sin45°==，
∴=,
得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.
故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°.
【例2】ID 401043 【高清视频空间角、空间距离例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2，BC=2，E,F分别是AD，PC的中点。
（1） 证明：PC⊥平面BEF；
（2） 求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
举一反三：
【变式】如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．
(I) 求证：AB平面PCB；
(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值．
【解析】(1) ∵PC⊥平面ABC,平面ABC，
∴PCAB.∵CD平面PAB，平面PAB，
∴CDAB．又，∴AB平面PCB．
(2) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，
又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，
如图建立坐标系．则Ａ（０,,０），Ｂ（0,0,0）， C（,０,0），P（,０,2）．
=(,－,2)，=(,0,0)．
则=×+0+0=2．
=== ．
∴异面直线AP与BC所成的角为．
（3）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)．=(0, －,0),=(,－,2)，
则 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1)．
设平面PAC的法向量为n=(x, y, z).＝(0,0,－2), =(,－,0)，
则 即解得 令x=1, 得 n= (1，1，0)．
=. ∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为．
类型二、利用空间向量求空间距离
【例3】已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1.
(1)求证：AC1⊥平面A1BC；
(2)求点C1到平面A1AB的距离；
(3)求二面角A-A1B-C的余弦值.
【解析】(1)如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC,
所以DE⊥AC,
且A1D⊥平面ABC,
以射线DE,DC,DA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),
设A1(0,0,t),C1(0,2,t),
则=(0,3,t),
=(-2,-1,t), =(2,0,0),
∴AC1⊥CB,BA1⊥AC1,∴AC1⊥平面A1BC.
(2)由(1)知AC1⊥平面A1BC,∴=-3+t2=0,
得t=.[来源:]
设平面A1AB的一个法向量为n=(x,y,z), =(0,1,),
=(2,2,0),
所以设z=1,
则.
所以点C1到平面A1AB的距离.
(3)设平面A1BC的一个法向量为m=(x1,y1,z1),
=(0,-1,), =(2,0,0),
所以设z1=1，则m=(0,,1),
故,
由题意知二面角A-A1B-C为锐角.
∴二面角A-A1B-C的余弦值为.
【总结升华】利用向量法求点面距，其步骤如下：
（1）求出该平面的一个法向量；
（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；
（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：
点P到平面α的距离。
举一反三：
【变式】在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示.
求点B到平面CMN的距离.
【解析】取AC的中点O，连接OS、OB.
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO，AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC，
平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.
如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz，
则B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），
M（1，，0），N（0，，）.
∴=（3，，0），=（-1，0，），=（-1，，0）.
设=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，
则，取z=1，
则x=,y=-,∴=（，-，1）.
∴点B到平面CMN的距离d=.
