2020届二轮复习空间几何体教案（全国通用）
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1．柱体、锥体、台体、球的结构特征
名称 | 几何特征 |
棱柱 | ①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)； ②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行 |
棱锥 | ①有一个面是多边形(底面)； ②其余各面是有公共顶点的三角形． |
棱台 | ①底面互相平行； ②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点) |
圆柱 | ①有两个互相平行的圆面(底面)； ②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直 |
圆台 | ①底面互相平行； ②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的 |
球 | ①有一个曲面是球面； ②有一个球心和一条半径长R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的 |
2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称 | 体积 | 表面积 |
棱柱 | V棱柱＝Sh(S为底面积，h为高) | S棱柱＝2S底面＋S侧面 |
棱锥 | V棱锥＝Sh(S为底面积，h为高) | S棱锥＝S底面＋S侧面 |
棱台 | V棱台＝h(S＋＋S′) (S、S′为底面积，h为高) | S棱台＝S上底＋S下底＋S侧面 |
圆柱 | V圆柱＝πr2h(r为底面半径，h为高) | S圆柱＝2πrl＋2πr2(r为底面半径，l为母线长) |
圆锥 | V圆锥＝πr2h(r为底面半径，h为高) | S圆锥＝πrl＋πr2(r为底面半径，l为母线长) |
圆台 | V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2) (r、r′为底面半径，h为高) | S圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2 |
球 | V球＝πR3(R为球的半径) | S球＝4πR2(R为球的半径) |
3.空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”．
(2)空间几何体的直观图
空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”． 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．
【变式探究】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.
【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.＋π B.＋π C.＋2π D.＋2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×12×2＋××1＝π＋，选A.
答案 A
1. （2018年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C。 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
B． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．
3.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）3 （B）2 （C）2 （D）2
【答案】B
【解析】几何体是四棱锥，如图.
最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度，故选B.
4.【2017山东，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .
【答案】
【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为2，1，1，圆柱的高为1，底面圆半径为1，所以
.
5.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
【答案】
【解析】如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则.
，
，
三棱锥的体积.
设，x>0，则，
令，即，得，易知在处取得最大值.
∴.
【考点】简单几何体的体积
1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】该几何体直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和
故选A．
2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为，故选C.
3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
- B. C.D.
【答案】A
【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.
4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
（A） （B） （C）90 （D）81
【答案】B
【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积
，故选B．
5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
1．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 由题意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2.
答案 B
2．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V＝2×π×12×1＋π×12×2＝π m3.
答案 π
3．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
解析 如图，要使三棱锥O－ABC即C－OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C－OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO－ABC最大＝VC－OAB最大＝×S△OAB×R＝××R2×R＝R3＝36，所以R＝6，得S球O＝4πR2＝4π×62＝144π，选C.
答案 C
4．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A－A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝＝
＝，选D.
答案 D
5．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝)( )
A. B.
C. D.
解析 易知原工件为一圆锥，V1＝πr2h＝π，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，欲令体积最大，则a＝b.由截面图的相似关系知，c＋＝2，即c＋a＝2，
∴V长方体＝abc＝a2c＝a2(2－a)，
设g(a)＝2a2－a3，则g′(a)＝4a－3a＝0，令g′(a)＝0，解得a＝，所以令a＝时，V长方体最大为，
∴＝＝.故选A.
答案 A
1. 【2014高考安徽卷理第7题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A.21+ B.18+ C.21 D.18
【答案】A
【解析】由题意，该多面体的直观图是一个正方体挖去左下角三棱锥和右上角三棱锥，如下图，则多面体的表面积
.故选A.
【考点定位】多面体的三视图、表面积.
2. 【2014高考福建卷第2题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
圆柱 圆锥 四面体 三棱柱
【答案】A
【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选A.
【考点定位】三视图.学-科网
3. 【2014高考广东卷理第7题】若空间中四条直线两两不同的直线、、、，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置关系不确定
【答案】D
【解析】 如下图所示，在正方体中，取为，为，取为，为，
；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此、的位置关系不确定，故选D.
【考点定位】空间中直线的位置关系
4. 【2014高考湖南卷第7题】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱
