2020届二轮复习空间角、空间距离教案（全国通用）

2020届二轮复习  空间角、空间距离   教案（全国通用）

类型一、利用空间向量求空间角

【例1】已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点.

（Ⅰ）求证：底面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）若是上的一点，且，

求的值．

（Ⅰ）证明：因为为菱形，所以为的中点

因为,所以

所以底面              

（Ⅱ）因为为菱形，所以 

建立如图所示空间直角坐标系

又得，所以　　

,,

设平面的法向量

　有 ，所以　，解得

所以  ，

，与平面所成角的正弦值为                           

（Ⅲ）因为点在上,所以

所以,　

　因为

所以　,　　得　 解得，所以                                  

【总结升华】求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。而用向量法求解时，只需利用公式。通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。求二面角时，可以利用法向量求。

举一反三：

【变式】如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；

（2）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；

（3）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°.

【解析】（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC.

又EF平面PAC，而PC平面PAC，

∴EF∥平面PAC.               

（2）以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系

则P（0，0，1），B（0，1，0），

F（0，，），D（，0，0）.

设BE=x，则E（x，1，0），

·=（x，1，-1）·（0，，）=0，

∴PE⊥AF.           （3）设平面PDE的法向量为=(p,q,1),

由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）

由，得=.           

而=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°,

∴sin45°==，

∴=,            

得BE=x=-或BE=x=+＞（舍去）.

故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°.      

【例2】ID 401043【高清视频空间角、空间距离例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2，BC=2，E,F分别是AD，PC的中点。

（1）       证明：PC⊥平面BEF；

（2）       求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

举一反三：

【变式】如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（Ⅰ）设中点为，连结，，

因为，所以.

又，所以. 

因为，所以平面.

因为平面，所以.  

（Ⅱ）由已知，，

所以，.

又为正三角形，且，所以.

因为，所以.

所以.

由（Ⅰ）知是二面角的平面角.

所以平面平面.       

（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知平面.

过作于，连结，则.

所以是二面角的平面角.

在中，易求得.

因为，所以. 

所以.

即二面角的余弦值为.  

方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知，，两两垂直.    

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知，，，.

所以，. 

设平面的法向量为，

则 即

令，则，.

所以平面的一个法向量为. 

易知平面的一个法向量为.

所以. 

由图可知，二面角为锐角.

所以二面角的余弦值为. 

类型二、利用空间向量求空间距离

【例3】如图3中，三棱锥中，是边长为4的正三角形，，,、分别为、的中点．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求二面角的一个三角函数值；

（3）求点到平面的距离．

【解析】（1）取中点，

连结,则,,

，,

∵,∴,∴,

又，∴平面,

∵平面,∴平面平面

（2）如图所示建立空间直角坐标系．

则，，，

,,．

∵=（3，，0），=（-1，0，）．

设为平面的一个法向量，则

     ·，

  ·，

   取，∴=（，-，1），

又=（0，0，2）为平面的一个法向量，

∴==．

由图知的夹角即为二面角的大小，其余弦值为。

（3）由（2）得=（-1，，0），=（，-，1）为平面的一个法向量，

∴点到平面的距离即为上射影的绝对值= 。

【总结升华】利用向量法求点面距，其步骤如下：

（1）求出该平面的一个法向量；

（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；

（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：

点P到平面α的距离。

举一反三：

【变式】如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.

(1) 求和点G的坐标；

(2) 求GE与平面ABCD所成的角；

(3) 求点C到截面AEFG的距离．

【解析】(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，

E(1，4，3)，F(0，4，4)   ∴

又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)

＝(－1，0，1)   ∴z＝1   ∴G(0，0，1)

(2)平面ABCD的法向量

，设GE与平面ABCD成角为，则

∴

(3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)

∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)

∴

取z0＝4，则＝(4，－3，4)

∵

即点C到截面AEFG的距离为．