2020届二轮复习解密函数零点相关问题学案（全国通用）

专题03  解密函数零点相关问题

一．方法综述

新课标下的高考越来越注重对生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。近几年的数高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分.

根据函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点。围绕三者之间的关系，在高考数中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题.

二．解题策略

类型一：函数零点的分布问题

例1、(2014·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(　　)

A．(0,1)               B．(1,2)             C．(2,4)              D．(4，＋∞)

【答案】C

【举一反三】函数f(x)＝ln x＋x－，则函数的零点所在区间是(　　)

A.         B.            C.            D．(1，2)

【答案】C

【解析】函数f(x)＝ln x＋x－的图象在(0，＋∞)上连续，且＝ln＋－＝ln＋＜0，f(1)＝ln 1＋1－＝＞0，故f(x)的零点所在区间为.*

类型二  函数零点的个数问题

【例2】【2017课标3】已知函数有唯一零点，则（   ）   

A．     B．      C．      D．1

【答案】C

【举一反三】已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．

【答案】

【解析】函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0<a<.*

类型三  函数零点与简易逻辑交汇问题

例3.【2018广东省化州市模拟】已知函数，则“函数有两个零点”成立的充分不必要条件是（    ）

A.                   B.           C.                 D.

【答案】C

【举一反三】已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p∧(q)为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)       B．(－∞，2]        C．(1，2]            D．(－∞，1]

【答案】C

【解析】由题意可得，对命题p，令f(0)f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，得a>1；对命题q，令2－a<0，即a>2，则q对应的a的取值范围是a≤2.∵p∧(q)为真命题，

∴实数a的取值范围是(1，2]．*