2020届二轮复习极值计算先判断，单调原则不能撼学案（全国通用）

【题型综述】

函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

（2）求函数极值的方法：

①确定函数的定义域．

②求导函数．

③求方程的根．

④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．

（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围．

【典例指引】

例1．已知函数其中

⑴当时，求曲线处的切线的斜率；

⑵当时，求函数的单调区间与极值.

②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

&

例2．已知函数的图象在处的切线过点，.

（1）若，求函数的极值点；

（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）

【思路引导】

（1）求导，则.又，曲线在处的切线过点利用斜率相等，可得.，又，可得，则，可得函数的极值点.

（2）由题是方程的两个根，则， ，由，可得， ，∴是函数的极大值， 是函数的极小值，∴要证，只需，计算整理可得 ，令，则，设，利用导数讨论函数的性质即可得证.

（2）∵是方程的两个根，∴， ，∵，∴， ，∴是函数的极大值，是函数的极小值，∴要证，只需， ，令，则，设 ，则，函数在上单调递减，∴，∴ &

例3．已知函数在处有极值10.

（1）求实数的值；

（2）设，讨论函数在区间上的单调性.

【思路引导】

（1）根据题意得到关于m的方程组，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性．

（2）由（1）可知，

∴&

当变化时， 的变化情况如下表：

⑤当时，在区间上单调递增.

综上所述：

当或时， 在区间上单调递增；

当时， 在区间上上单调递增，在上单调递减；

当时， 在区间上单调递减；

当时， 在区间上单调递减，在上单调递增. &

点评：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误．（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况．