2020届二轮复习回归分析学案（全国通用）

回归分析
学习目标　1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤.

知识点一　线性回归模型
思考　某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5

请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？
答案　画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系.

设所求的线性回归方程为＝x＋，
则＝＝＝0.5，
＝－＝0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为
＝0.5x＋0.4.
1.函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系.
2.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
3.对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－ ，其中(，)称为样本点的中心.
4.线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和b是模型的未知参数，e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量.
知识点二　线性回归分析
具有相关关系的两个变量的回归直线方程＝x＋.
思考1　预报变量与真实值y一样吗？
答案　不一定.
思考2　预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？
答案　越小越好.
1.残差平方和法
(1)i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)称为相应于点(xi，yi)的残差.
(2)残差平方和(yi－i)2越小，模型拟合效果越好.
2.残差图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域宽度越窄，说明模型的精确度越高.
3.利用相关指数R2刻画回归效果
其计算公式为：R2＝1－，
其几何意义：R2越接近于1，表示回归效果越好.
知识点三　建立回归模型的基本步骤
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.
(2)画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等).
(3)由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性相关关系，则选用线性回归方程＝x＋).
(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法).
(5)得出结果后分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.

类型一　求线性回归方程
例1　某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6

(1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗)
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.
(相关公式：＝，＝－)
解　(1)如图：

(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
反思与感悟　1.求线性回归方程的基本步骤：
(1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系.
(2)计算：，，，，iyi.
(3)代入公式求出＝x＋中参数，的值.
(4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计.
2.需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练1　某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9

(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－ .
解　(1)由所给数据计算得
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6十7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－ ＝4.3－0.5×4＝2.3.
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.
将2016年的年份代号t＝10代入(1)中的回归方程，得＝0.5×10＋2.3＝7.3，
故预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入为7.3千元.
类型二　线性回归分析
例2　假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2

(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求相关指数R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？
解　(1)散点图如下.

(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系.
设回归方程为＝x＋，＝30.36，＝43.5，
＝5 101.56，＝9 511.43.
＝1 320.66，2＝1 892.25，2＝921.729 6，
iyi＝6 746.76.
由＝≈0.29，
＝－ ＝43.5－0.29×30.36≈34.70.
故所求的线性回归方程为＝34.70＋0.29x.
当x＝56.7时，＝34.70＋0.29×56.7＝51.143.
估计成熟期有效穗为51.143.
(3)由于y＝bx＋a＋e，
可以算得i＝yi－i分别为1＝0.35，
2＝0.718，3＝－0.5，4＝－2.214，5＝1.624，
残差平方和：≈8.43.
(4)(yi－)2＝50.18，∴R2＝1－≈0.832.
所以解释变量小麦基本苗数对有效穗约贡献了83.2%.残差变量贡献了约1－83.2%＝16.8%.
反思与感悟　1.该类题属于线性回归问题，解答本题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析.
2.刻画回归效果的三种方法
(1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适.
(2)残差平方和法：残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好.
(3)相关指数法：R2＝1－越接近1，表明回归的效果越好.
跟踪训练2　关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好.
解　由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－＝1－＝0.845.
由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－1
－5
8
－9
－3
yi－
－20
－10
10
0
20

∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.
∴R＝1－＝1－＝0.82.
由于R＝0.845，R＝0.82,0.845>0.82，
∴R>R.
∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果.
类型三　非线性回归分析
例3　下表为收集到的一组数据：
x
21
23
25
27
29
32
35
y
7
11
21
24
66
115
325

(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；
(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；
(3)利用所得模型，预报x＝40时y的值.
解　(1)作出散点图如图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y＝的周围，其中c1、c2为待定的参数.

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a，a＝ln c1，b＝c2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程，数据可以转化为：
x
21
23
25
27
29
32
35
z
1.946
2.398
3.045
3.178
4.190
4.745
5.784

求得回归直线方程为
＝0.272x－3.849，
∴＝e0.272x－3.849.
残差列表如下：
yi
7
11
21
24
66
115
325
i
6.443
11.101
19.125
32.950
56.770
128.381
290.325
i
0.557
－0.101
1.875
－8.950
9.23
－13.381
34.675

(3)当x＝40时，＝e0.272x－3.849≈1 131.
反思与感悟　非线性回归问题的处理方法
(1)指数函数型y＝ebx＋a
①函数y＝ebx＋a的图象：

②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(2)对数函数型y＝bln x＋a
①函数y＝bln x＋a的图象：

②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，
再根据线性回归模型的方法求出a，b.
(3)y＝bx2＋a型
处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
跟踪训练3　某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误.
5.根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0

得到的回归方程为＝x＋，则(　　)
A.>0，0，>0
C.