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2020届二轮复习函数与基本初等函数（四）学案（全国通用）
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年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
函数与基本初等函数（四）
教学目的
教学内容
第七节 函数的图像
（一）高考目标
考纲解读
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表示、解析法表示函数．
2．会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．
3．会用数形结合的思想与转化与化归的思想解决数学问题．
考向预测
1．函数图像是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，是数形结合的基础和依据．
2．考查热点：(1)知式选图或知图定式；(2)利用图像研究函数的单调性、最值、零点；(3)利用图像研究方程、不等式问题．
（二）课前自主预习
2．利用基本函数图像的变换作图
①平移变换：
函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图像可以由y＝f(x)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移 个单位而得到；
函数y＝f(x)＋b，(b≠0)的图像可以由y＝f(x)的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移 个单位而得到．
②伸缩变换：
函数y＝Af(x)，(A>0，且A≠1)的图像可由y＝f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
③对称变换：
函数y＝－f(x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝f(－x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝－f(－x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝f－1(x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝|f(x)|的图像可通过作函数y＝f(x)的图像，然后把x轴下方的图像以x轴为对称轴 到x轴上方，其余部分保持不变而得到；
函数y＝f(|x|)的图像是：函数y＝f(x)在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分．
3．基本初等函数及图像(大致图像)
4.三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)
在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度 y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有 .
(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)
对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有 .
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有 .
（三）基础自测
1．函数y＝x|x|的图像大致是 ( )
[答案] A
2．(2018·山东文)函数y＝的图像大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.
3．(2018·成都一诊)函数y＝log2的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] A
[解析] 令f(x)＝log2，则f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.
故f(x)为奇函数，其图像关于原点对称．
4．为了得到函数y＝lg的图像，只需要把函数y＝lgx的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[答案] C
[解析] y＝lg＝lg(x＋3)－1.
则y＝lgx向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即得y＝lg的图像.
5．为了得到函数y＝3×x的图像，可以把函数y＝x的图像向________平移________个单位长度．
[答案] 右 1
[解析] y＝3×x＝x－1，因此只需将y＝x的图像向右平移1个单位即可得到y＝3×x的图像．
6．(2018·东北育才学校一模)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________.
[答案] 4
[解析] y1＝|4x－x2|，y2＝a，则函数图像恰有三个不同的交点．
如图所示，当a＝4时满足条件．
7．若1
作出函数y＝－x2＋5x－3(1
显然该图像与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解，
由图可知：当 3
（四）典型例题
1.命题方向：作函数图像
[例1] 作出下列函数的图像
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝|log2(x－1)|; (4)y＝2|x－1|.
[解析] (1)首先化简解析式，y＝利用二次函数的图像作出其图像，如下图(1)．
(2)因y＝1＋，先作出y＝的图像，将其图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝的图像，如图(2)．
(3)先作出y＝log2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y＝|log2 (x－1)|的图像，如图(3)．
(4)先作出y＝2x的图像，保留x≥0部分，再关于y轴对称得到y＝2|x|图像，然后右移一个单位，即得y＝2|x－1|的图像．
跟踪练习1：
已知P为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(原点O除外)，直线OP的倾斜角为θ弧度，记d＝|OP|.在图中的坐标系中，画出以(θ，d)为坐标的点的轨迹大致图形．
[解析] 依题意，设圆与y轴的另一交点为D，则D(0,2)．从而|OP|＝|OD|·sinθ，∴d＝2sinθ(θ∈(0，π))．其图像为正弦曲线一段．故作简图如右图.
2.命题方向：识图
[例2] (1)函数y＝的图像大致为( )
(2)设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C. D.
[解析] (1)∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除D.
又∵y＝＝＝＝1＋
在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，排除B，C.
(2)∵b>0，∴前两个图像不是给出的二次函数的图像．
又∵后两个图像的对称轴都在x轴右边，∴－>0，
∴a<0，即第3个图像是所给的二次函数的图像．
∵图像过原点，∴a2－1＝0.又a<0，∴a＝－1.
[答案] (1)A (2)B
[点评] 对于给定的函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图像与解析式中参数的关系．
跟踪练习2
已知函数y＝f(x)(0≤x≤1)的图像如图，若0
C.> D．以上都不正确
[答案] A
[解析] 如图，设P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，则、分别是直线OP和OQ的斜率，易知kOP
（五）思想方法点拨
1．作函数图像的一般步骤是：
(1)求出函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图像上的特殊点(如最高(低)点、拐点、端点等)、线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图像画出所给函数的图像．
2．要正确使用平移变换和对称变换作函数的图像．
3．函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题，尤其是较为繁琐的(如分类讨论、求参数的范围等)函数问题时要注意充分发挥图像的直观作用．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．设a
[答案] C
[解析] 当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
2．(2018·湖南文)函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
[答案] D
[解析] 本题考查二次函数和对数函数的图像．
对于选项A、B，对数函数单调递增，故>1，>1或<－1，－<－或－>，但A、B两项二次函数的对称轴都在内，故A、B都不对．
对于C、D两选项，对数函数单调递增，故0<<1，故－1<<1且≠0，－<－<且－≠0，选项C二次函数的对称轴在内，故C不正确．
3．设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是下面的( )
[答案] D
[解析] 由y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，
知y＝f(x)·g(x)为奇函数，且在x＝0处无定义．
4．(2018·安庆一模)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数图像的平移．利用函数的平移可画出所给函数的图像，函数f(x)＝1＋log2x的图像是由f(x)＝log2x的图像向上平移1个单位得到；而g(x)＝2－x＋1＝2－(x－1)的图像是由y＝2－x的图像右移1个单位而得．
5．使log2(－x)
[答案] A
[解析] 作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1,0)．
6．(2018·北京理)设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
[答案] A
[解析] 这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图像，联系指数函数y＝ax的图像，能够看出，当图像经过区域的边界点(2,9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图像必然经过区域内的点．
7．(文)函数f(x)＝·ax(a>1)的大致图像形状是( )
[答案] B
[解析] 该函数为一个分段函数，即为f(x)＝ax＝，∵a>1，∴当x>0时，函数y＝ax单调递增；当x<0时，函数y＝－ax单调递减．故选B.
(理)图像y＝|x|与y＝在同一直角坐标系中的图像为( )
[答案] A
[解析] y＝化为y2－x2＝1 (y≥1)可知，其渐近线为y＝±x，故选A.
8．(文)函数f(x)＝的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[答案] B
[解析] 由图像易知有3个交点．
(理)已知f(x)是以2为周期的偶函数．当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)有四个根，则k的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(－，0) C．(－，0) D．(－，0)
[答案] C
[解析] 分别作出两个函数的图像，结合函数f(x)的周期性作出各个区间内的图像，而函数y＝kx＋k＋1的图像过点A(－1,1)，
∴当k∈(kAB，kAC)时，∵B(2,0)，C(1,1)，
∴k∈(－，0)，∴选C.
二、填空题
9．一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为__________(填入正确的图像的序号)．
[答案] ③
[解析] 因为x＋y＝V，所以y＝－x＋V，所以由y＝－x＋V图像可知应填③.
10．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)<0的解集是________________．
[答案] {x|－2
11．(2018·全国卷Ⅰ理)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] 如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，由图可知，a的取值必须满足，解得1
第八节 函数与方程
（一）高考目标
考纲解读
1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
考向预测
1．函数的零点及二分法是新增内容，是高考的重要考点，在近两年的高考中均有重要体现．
2．多以选择、填空的形式出现，属中、低档题．常与函数的图像、性质交汇命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
与x轴的交点
.
.
无交点
零点个数
.
.
.
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算 ．
①若 ，则x1就是函数的零点；
②若 ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．
（三）基础自测
1．(2018·天津理)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
[答案] B
[解析] ∵f(0)＝1>0，f(－1)＝－ <0，∴选B.
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．有唯一实数根
[答案] D
[解析] 利用函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，
又f(a)，f(b)异号．故选D.
3．(2009·福建文)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
[答案] A
[解析] 本小题主要考查函数零点等基础知识．作y＝4x和y＝2－2x的图像(如图)，
∴g(x)的零点在区间内，
而B，C，D中的函数的零点分别是1,0，，都不满足题意，故选A.
4．(2018·临沂质检)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( )
[答案] C
[解析] 用二分法求函数的零点，首先保证函数图像在[a，b]上是连续不断的，故A、D不符合题意；然后，保证f(a)·f(b)<0，故B不符合题意，因此选C.
5．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，1)
[解析] 函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致图像如图所示，于是有f(1)<0，即1＋(a－1)＋(a－2)<0，解得a<1.
6．函数f(x)＝x－的零点个数为________．
[答案] 2
[解析] 令f(x)＝0得x－ ＝0，
即x2＝4，∴x＝±2.故f(x)的零点有两个．
7．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．
[解析] 当m＝0时，x＝ 为函数的零点；
当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1，则x＝1是函数唯一的零点．
若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数的零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)<0，即m<0.
综上可知m∈(－∞，0]∪{1}．
（四）典型例题
1.命题方向：求函数的零点
[例1] 求下列函数的零点
(1)f(x)＝4x－3；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；
(3)f(x)＝x3－3x＋2；(4)f(x)＝x－ ＋2.
[分析] 根据函数零点与方程根之间的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根．
[解析] (1)由4x－3＝0，得x＝，
即f(x)＝4x－3的零点是.
(2)由－x2＋2x＋3＝0，得x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
即f(x)＝－x2＋2x＋3的零点为－1,3.
(3)由x3－3x＋2＝x3＋2x2－2x2－4x＋x＋2＝x2(x＋2)－2x(x＋2)＋(x＋2)＝(x－1)2(x＋2)＝0，得x1,2＝1，x3＝－2.
所以f(x)＝x3－3x＋2有两个零点1，－2，其中1是二重零点．
4)由x－＋2＝＝＝0，得x1＝1，x2＝－3，即函数f(x)＝x－＋2的两个零点分别为1，－3.
[点评] 求函数的零点就是求相应方程的根，一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根，即得函数的零点．
跟踪练习1：
(1)函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 解法一：函数f(x)＝log3x＋x－3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，
∴函数f(x)＝log3x＋x－3有惟一的零点且零点在区间(2,3)内．
解法二：方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图像如图所示，可观察判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内．
(2)函数f(x)＝log3x－x＋2的零点的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 解法一：方程log3x－x＋2＝0，
可化为log3x＝x－2
在同一坐标系中作出y＝log3x与y＝x－2的图像如下图所示，可观察出两图像有两个不同交点，故选C.
解法二：∵f′(x)＝容易知道f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．
又∵f＝－2－＋2＝－<0，
f(1)＝1>0，f(e2)＝4－e2<0
∴该函数分别在(0,1)和(1，＋∞)上各有一解．
(3)函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是 ( )
A．0 B．1 C．0和1 D．(0,0)和(1,0)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝0，即x3－2x2＋x＝0⇔x(x－1)2＝0，解得x1＝0，x2＝x3＝1.故函数f(x)的零点是0和1.
2.命题方向：利用函数零点的存在性求参数的取值范围
[例2] (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|－k有4个零点，求实数k的取值范围．
[分析] (1)二次项系数含有字母，分类讨论即可．
(2)利用函数图像求解．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝－x－1有唯一零点－1，符合题意；
当a≠0时，f(x)有唯一零点，即ax2－x－1＝0有惟一解．
由Δ＝1＋4a＝0得a＝－.
综上可知a的值为0或－.
(2)设g(x)＝|4x－x2|，画出其图像如图所示．
函数f(x)有4个零点，即方程g(x)－k＝0有4个不同的实数解，也就是y＝g(x)的图像与直线y＝k有4个不同的公
共点，由图可知0
[点评] 函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的根⇔函数f(x)的图像与x轴交点横坐标．这为我们研究函数零点个数和方程根的个数问题提供了两种解法：一是转化为直接研究方程根的个数；二是转化为图像交点个数．另外，还可推广为：函数y＝f(x)的k点⇔方程f(x)＝k的根⇔y＝f(x)的图像与直线y＝k的交点横坐标．
跟踪练习2
(2009·江西文)设函数f(x)＝＋6x－a.
(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
[解析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．
(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．
因为x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当12时f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a，
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.
故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.
3.命题方向：根的分布
[例4] 已知函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)．
问当m取何值时，函数的零点满足下列性质，通过求解，探求此类问题的一般解法．
(1)均为正数；(2)一正一负；(3)一根大于2，另一根小于2；(4)两根都在(0,2)内．
[分析] 本题的实质就是二次函数对应的方程的根的讨论，结合二次函数图像与x轴的交点位置的有关条件即可求解．
[解析] 设f(x)＝0的两根为x1，x2，
(1)解法一：方程两根均为正数，即
∴
解之得7
即
解得7
解法二：由图知f(0)<0，即m<7.
(3)解法一：方程有两根，一根大于2，另一根小于2，则
解之得m>27.
解法二：如上图，由f(2)<0知8×4－2(m－1)＋(m－7)<0，∴m>27.
(4)两根在(0,2)之间，即
即
解之得∴7
(2)函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法．
(3)一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问题
研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：
1．一元二次方程根的判别式；
2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
3．对应二次函数图像的对称轴x＝－ 与区间端点的位置关系．
设x1、x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，
如下表所示．
（五）思想方法点拨
1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数的零点，注意以下几点：
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．
(3)一般我们只讨论函数的实数零点．
(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
2．对函数零点存在的判断中，必须强调：
(1)f(x)在[a，b]上连续；
(2)f(a)·f(b)<0；
(3)在(a，b)内存在零点．
事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要．
3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．
4．要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．(2018·天津文)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，
又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
解法二：∵f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)．故选C.
2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a>1 C．－1
[解析] f(x)＝2ax2－x－1
∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a－2
∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a＝1时，
2x2－x－1＝0的两根为x1＝1，x2＝－不适合题意．故选B.
3．(2018·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(2,4)
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．
4．关于方程3x＋x2＋2x－1＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两不相等的负实根
B．方程有两个不相等的正实根
C．方程有一正实根，一零根
D．方程有一负实根，一零根
[答案] D
[解析] 令y1＝3x
y2＝－x2－2x＋1＝2－(x＋1)2
则方程的根即为两函数图像交点横坐标
由图像知方程有一负根，一零根．
5．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a
[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，
f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A.
6．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．
7．(2018·浙江理)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4]
[答案] A
[解析] 本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，有交点，故选A.
8．(2018·山东济南)若方程x＝x的解为x0，则x0属于以下区间( )
A. B. C. D．(1,2)
[答案] B
[解析] 构造函数f(x)＝x－x，易知该函数是R上的减函数．
又f＝－>0， f＝－<0.
∴x0∈
二、填空题
9．已知方程f(x)＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________．
[答案] 4
[解析] 每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的，设n次后达到精确度，则只需<0.1，即n≥4.
10．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
[答案]
[解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3.
因此解得a＝－1，b＝－6，
故f(x)＝x2－x－6.
所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0，
解得－
间是____ ____．
[答案] (－∞，－1)，(1，＋∞)
[解析] f(x)在[－1,1]上的图像是线段，若方程f(x)＝0在[－1,1]上无实根，
则f(－1)f(1)>0，即(－5a＋1)(a＋1)>0，
解得－1
第九节 函数模型及其应用
（一）高考目标
考纲解读
1．了解指数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
考向预测
1．函数模型及其应用历年来一直是高考的热点，主要考查现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长率、最优化问题．
2．多以解答题为主，考查建模能力，综合性强，属中高档题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
3．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
（三）基础自测
1．当x→＋∞时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝2x B．y＝100x2 C．y＝100x D．y＝ex
[答案] D
[解析] ∵2
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
[答案] D
[解析] 由题意知t＝5时，y1＝＝am5；即m5＝.设t分钟后，桶A中的水只有，则＝amt.解得t＝20.故再经过15分钟．
3．(2018·青岛二中期中)某宾馆有n(n∈N*)间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价
220元
200元
180元
160元
每天的入住率
50%
60%
70%
75%
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 ( )
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
[答案] C
4．2018年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2018年7月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)6元 C．a＋(1＋x)5元 D．a(1＋x5)元
[答案] A
[解析] 因为年利率按复利计算，所以到2018年7月1日可取款a(1＋x)5.
5．鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有30元、50元和80元三种，且票价30元和50元的张数的积为0.6万．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y＝lg2x，则这三种门票分别为________万张时为失学儿童募捐纯收入最大．
[答案] 0.6,1,0.8
[解析] 该函数模型y＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．
设30元、50元、80元门票的张数分别为a、b、c，则
把①代入③有x＝192－(50a＋30b)≤192－20＝132(万元)
当且仅当时等号成立，解得
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．
故三种门票分别为0.6,1,0.8万张时为失学儿童募捐纯收入最大．
6．下图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条线路亏损，公司有关人员分别将图移动为图1和图2，从而提出两种扭亏为盈的建议．
请你根据图像用简练的语言叙述出：
建议(1)是：______________________；
建议(2)是：______________________.
[答案] (1)不改变车票价格，减少支出费用
(2)不改变支出费用，提高车票价格
7．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成
三个面积相等的矩形(如图所示)，求围成的矩形最大面积．(围墙厚度不计)．
[解析] 设矩形的长为xm，宽为m，
则S＝x·＝(－x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2500m2.
故围成矩形最大面积为2500m2
（四）典型例题
1.命题方向：一次函数与分段函数模型
[例1] 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[分析] (1)分段写出y关于x的函数解析式；(2)求出x再分别确定甲、乙的水量和水费．
[解析] (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，
即3x≤4且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
[点评] 本题所列出的函数为分段函数，要注意结合题意明确各段的自变量的取值范围．
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
(3)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏．
跟踪练习1
电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[解析] 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则
fA(x)＝，
fB(x)＝
(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3元(n>500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图可知，当0≤x≤60时，fA(x)
当60fB(x)得
x>，即当通话时间在时，方案B较方案A优惠.
2.命题方向：二次函数模型
[例2] 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝ －48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[分析] 解应用题一般要根据题意建立函数关系式，利用配方、基本不等式、导数或函数的单调性研究函数的最值等，从而解决实际问题．
[解析] (1)每吨平均成本为(万元)，
则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8000
＝－＋88x－8000
＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1680＝1660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
[点评] (1)“对号”函数问题及二次函数是我们比较熟悉的两种函数，对“对号”函数问题通常采用基本不等式，但要注意等号成立的条件，当等号不成立时，采用函数的单调性解决．
(2)二次函数一般看函数图像的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易错解．
跟踪练习2
某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
[解析] 设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好销售完的进货量为×40＋400，即400(9－2x)瓶．
此时所得的利润为f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)．根据函数性质，当x＝时，f(x)取最大值450.这时的进货量为400(9－2x)＝400＝600(瓶)．所以销售价应定为每瓶3.75元，以及从工厂购进600瓶时，才能获利最大.
3.命题方向：函数模型的综合应用
[例4] 某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1m旧墙费用是元；(3)拆去1m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：①利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；②矩形厂房利用旧墙的一边边长x≥14，问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？
[分析] 利用旧墙为一面建立平面矩形，设此面边长为xm，则另一面边长为m.
[解析] (1)利用旧墙的一段xm(x<14)，则修墙费用为x·元，
将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为(14－x)·元，
其余建新墙的费用为·a元．
总费用y＝a＋a＋a＝a＝7a(0
当且仅当＝，即x＝12m时，ymin＝35a.
(2)利用旧墙的一面，矩形边长x≥14，则修旧墙费用为×14＝a元，建新墙费用为a元．
总费用y＝a＋a元
＝a＋2a(x≥14)．
由t＝x＋在[，＋∞)上为增函数，
得y1＝x＋在[14，＋∞)上为增函数．
∴当x＝14m时，ymin＝a＋2a＝35.5a.
综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省．
跟踪练习3
某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择.
项目
A
B
C
D
E
F
投资额(亿元)
5
2
6
4
6
1
利润(亿元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
0.1
设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是________(只需写出项目的代号)．
[答案] A、B、E或B、D、E、F
[解析] 当投资为13亿元且利润大于1.6亿元时，有以下两种投资选择方案：
f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(亿元)；
f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(亿元)．
（五）思想方法点拨
常见函数模型的理解
(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”
注意：指数函数y＝ax(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大的惊人，因此常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随xn中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．
(5)“对号”函数模型，形如f(x)＝x＋(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝x2 D．y＝x2
[答案] D
[解析] y＝·x·x·sin60°＝x2.
2．(2018长春模拟)某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)( )
A．6.9m B．7.0m C．7.1m D．6.8m
[答案] A
[解析] 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2(a<0)．
设点A点的坐标为(4，－h)，则
C(3,3－h)．
将这两点的坐标代入y＝ax2，
可得解得
所以厂门的高约为6.9m.
3．某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款．某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是( )
A．不能确定 B．①②同样省钱 C．②省钱 D．①省钱
[答案] D
[解析] ①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元．
故①种方法省钱．
4．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于( )
A．200 B．220 C．240 D．260
[答案] A
[解析] 由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分．
5．(2018·商丘一模)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和
L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
[答案] B
[解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
6．某市2018年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )
A．2018年 B．2018年 C．2018年 D．2018
[答案] C
[解析] 设第n年新建住房面积为an＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为bn＝25＋10n，由2bn>an得：2(25＋10n)>100(1＋5%)n利用已知条件解得n>3，所以在2018年时满足题意．
7．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )
A．600元 B．900元 C．1600元 D．1700
[答案] D
[解析] ∵k(18)＝200(元)，
∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．
又∵k(21)＝300(元)，
∴f(21)＝300×(21－10)＝3300(元)，
∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700(元)．
8．(2018·长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
[答案] A
[解析] 当开放一个窗口时，N＋40M＝40K；①
当开放两个窗口时，N＋15M＝30K.②
由①、②得N＝60M，K＝M.
设8分钟后不出现排队现象需同时开放x个窗口，
则N＋8M≤8x·K，
∴60M＋80M≤8x·M，即68M≤20Mx.
∴x≥3.8，又∵x∈N*，
∴至少需同时开放4个窗口．
二、填空题
9．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
[答案] 30cm,20cm
[解析] 设书的长为a，宽为b，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，Smax＝486.
10．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．
[答案] 2400
[解析] 设经过3个5年，产品价格为y，则y＝8100×3＝8100×＝2400(元)．
11．(2018·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
[答案] 2500
[解析] 总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－(Q－300)2＋2500.
故当Q＝300时，总利润最大，为2500万元．
年 级： 辅导科目：数学 课时数：
课 题
函数与基本初等函数（四）
教学目的
教学内容
第七节 函数的图像
（一）高考目标
考纲解读
1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图像法、列表示、解析法表示函数．
2．会运用函数图像理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．
3．会用数形结合的思想与转化与化归的思想解决数学问题．
考向预测
1．函数图像是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，是数形结合的基础和依据．
2．考查热点：(1)知式选图或知图定式；(2)利用图像研究函数的单调性、最值、零点；(3)利用图像研究方程、不等式问题．
（二）课前自主预习
2．利用基本函数图像的变换作图
①平移变换：
函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图像可以由y＝f(x)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移 个单位而得到；
函数y＝f(x)＋b，(b≠0)的图像可以由y＝f(x)的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移 个单位而得到．
②伸缩变换：
函数y＝Af(x)，(A>0，且A≠1)的图像可由y＝f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0
③对称变换：
函数y＝－f(x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝f(－x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝－f(－x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝f－1(x)的图像可通过作函数y＝f(x)的图像关于 对称的图形而得到；
函数y＝|f(x)|的图像可通过作函数y＝f(x)的图像，然后把x轴下方的图像以x轴为对称轴 到x轴上方，其余部分保持不变而得到；
函数y＝f(|x|)的图像是：函数y＝f(x)在y轴右侧的部分及其该部分关于y轴对称的部分．
3．基本初等函数及图像(大致图像)
4.三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)
在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度 y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有 .
(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)
对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有 .
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有 .
（三）基础自测
1．函数y＝x|x|的图像大致是 ( )
[答案] A
2．(2018·山东文)函数y＝的图像大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查了函数图像的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A.
3．(2018·成都一诊)函数y＝log2的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
[答案] A
[解析] 令f(x)＝log2，则f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.
故f(x)为奇函数，其图像关于原点对称．
4．为了得到函数y＝lg的图像，只需要把函数y＝lgx的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[答案] C
[解析] y＝lg＝lg(x＋3)－1.
则y＝lgx向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度即得y＝lg的图像.
5．为了得到函数y＝3×x的图像，可以把函数y＝x的图像向________平移________个单位长度．
[答案] 右 1
[解析] y＝3×x＝x－1，因此只需将y＝x的图像向右平移1个单位即可得到y＝3×x的图像．
6．(2018·东北育才学校一模)函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________.
[答案] 4
[解析] y1＝|4x－x2|，y2＝a，则函数图像恰有三个不同的交点．
如图所示，当a＝4时满足条件．
7．若1
作出函数y＝－x2＋5x－3(1
显然该图像与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解，
由图可知：当 3
（四）典型例题
1.命题方向：作函数图像
[例1] 作出下列函数的图像
(1)y＝； (2)y＝；
(3)y＝|log2(x－1)|; (4)y＝2|x－1|.
[解析] (1)首先化简解析式，y＝利用二次函数的图像作出其图像，如下图(1)．
(2)因y＝1＋，先作出y＝的图像，将其图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y＝的图像，如图(2)．
(3)先作出y＝log2x的图像，再将其图像向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y＝|log2 (x－1)|的图像，如图(3)．
(4)先作出y＝2x的图像，保留x≥0部分，再关于y轴对称得到y＝2|x|图像，然后右移一个单位，即得y＝2|x－1|的图像．
跟踪练习1：
已知P为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(原点O除外)，直线OP的倾斜角为θ弧度，记d＝|OP|.在图中的坐标系中，画出以(θ，d)为坐标的点的轨迹大致图形．
[解析] 依题意，设圆与y轴的另一交点为D，则D(0,2)．从而|OP|＝|OD|·sinθ，∴d＝2sinθ(θ∈(0，π))．其图像为正弦曲线一段．故作简图如右图.
2.命题方向：识图
[例2] (1)函数y＝的图像大致为( )
(2)设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C. D.
[解析] (1)∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除D.
又∵y＝＝＝＝1＋
在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，排除B，C.
(2)∵b>0，∴前两个图像不是给出的二次函数的图像．
又∵后两个图像的对称轴都在x轴右边，∴－>0，
∴a<0，即第3个图像是所给的二次函数的图像．
∵图像过原点，∴a2－1＝0.又a<0，∴a＝－1.
[答案] (1)A (2)B
[点评] 对于给定的函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图像与解析式中参数的关系．
跟踪练习2
已知函数y＝f(x)(0≤x≤1)的图像如图，若0
C.> D．以上都不正确
[答案] A
[解析] 如图，设P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，则、分别是直线OP和OQ的斜率，易知kOP
（五）思想方法点拨
1．作函数图像的一般步骤是：
(1)求出函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图像上的特殊点(如最高(低)点、拐点、端点等)、线(如渐近线、对称轴等)；(4)利用基本函数的图像画出所给函数的图像．
2．要正确使用平移变换和对称变换作函数的图像．
3．函数的图像和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题，尤其是较为繁琐的(如分类讨论、求参数的范围等)函数问题时要注意充分发挥图像的直观作用．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．设a
[答案] C
[解析] 当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
2．(2018·湖南文)函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是( )
[答案] D
[解析] 本题考查二次函数和对数函数的图像．
对于选项A、B，对数函数单调递增，故>1，>1或<－1，－<－或－>，但A、B两项二次函数的对称轴都在内，故A、B都不对．
对于C、D两选项，对数函数单调递增，故0<<1，故－1<<1且≠0，－<－<且－≠0，选项C二次函数的对称轴在内，故C不正确．
3．设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是下面的( )
[答案] D
[解析] 由y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，
知y＝f(x)·g(x)为奇函数，且在x＝0处无定义．
4．(2018·安庆一模)函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数图像的平移．利用函数的平移可画出所给函数的图像，函数f(x)＝1＋log2x的图像是由f(x)＝log2x的图像向上平移1个单位得到；而g(x)＝2－x＋1＝2－(x－1)的图像是由y＝2－x的图像右移1个单位而得．
5．使log2(－x)
[答案] A
[解析] 作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1,0)．
6．(2018·北京理)设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3] C．(1,2] D．[3，＋∞)
[答案] A
[解析] 这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图像，联系指数函数y＝ax的图像，能够看出，当图像经过区域的边界点(2,9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图像必然经过区域内的点．
7．(文)函数f(x)＝·ax(a>1)的大致图像形状是( )
[答案] B
[解析] 该函数为一个分段函数，即为f(x)＝ax＝，∵a>1，∴当x>0时，函数y＝ax单调递增；当x<0时，函数y＝－ax单调递减．故选B.
(理)图像y＝|x|与y＝在同一直角坐标系中的图像为( )
[答案] A
[解析] y＝化为y2－x2＝1 (y≥1)可知，其渐近线为y＝±x，故选A.
8．(文)函数f(x)＝的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[答案] B
[解析] 由图像易知有3个交点．
(理)已知f(x)是以2为周期的偶函数．当x∈[0,1]时，f(x)＝x，那么在区间[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R且k≠－1)有四个根，则k的取值范围是( )
A．(－1,0) B．(－，0) C．(－，0) D．(－，0)
[答案] C
[解析] 分别作出两个函数的图像，结合函数f(x)的周期性作出各个区间内的图像，而函数y＝kx＋k＋1的图像过点A(－1,1)，
∴当k∈(kAB，kAC)时，∵B(2,0)，C(1,1)，
∴k∈(－，0)，∴选C.
二、填空题
9．一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系可以表示为__________(填入正确的图像的序号)．
[答案] ③
[解析] 因为x＋y＝V，所以y＝－x＋V，所以由y＝－x＋V图像可知应填③.
10．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图像如图，则不等式f(x)<0的解集是________________．
[答案] {x|－2
11．(2018·全国卷Ⅰ理)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] 如图，在同一直角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，由图可知，a的取值必须满足，解得1
第八节 函数与方程
（一）高考目标
考纲解读
1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．
考向预测
1．函数的零点及二分法是新增内容，是高考的重要考点，在近两年的高考中均有重要体现．
2．多以选择、填空的形式出现，属中、低档题．常与函数的图像、性质交汇命题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图像与 有交点⇔函数y＝f(x)有 ．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个 也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
与x轴的交点
.
.
无交点
零点个数
.
.
.
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证 ，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点x1；
第三步，计算 ．
①若 ，则x1就是函数的零点；
②若 ，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若 ，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．
（三）基础自测
1．(2018·天津理)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
[答案] B
[解析] ∵f(0)＝1>0，f(－1)＝－ <0，∴选B.
2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]内( )
A．至少有一实数根 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．有唯一实数根
[答案] D
[解析] 利用函数f(x)在[a，b]上是单调减函数，
又f(a)，f(b)异号．故选D.
3．(2009·福建文)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln
[答案] A
[解析] 本小题主要考查函数零点等基础知识．作y＝4x和y＝2－2x的图像(如图)，
∴g(x)的零点在区间内，
而B，C，D中的函数的零点分别是1,0，，都不满足题意，故选A.
4．(2018·临沂质检)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( )
[答案] C
[解析] 用二分法求函数的零点，首先保证函数图像在[a，b]上是连续不断的，故A、D不符合题意；然后，保证f(a)·f(b)<0，故B不符合题意，因此选C.
5．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的根一个比1大，另一个比1小，则a的取值范围是________．
[答案] (－∞，1)
[解析] 函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)的大致图像如图所示，于是有f(1)<0，即1＋(a－1)＋(a－2)<0，解得a<1.
6．函数f(x)＝x－的零点个数为________．
[答案] 2
[解析] 令f(x)＝0得x－ ＝0，
即x2＝4，∴x＝±2.故f(x)的零点有两个．
7．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围．
[解析] 当m＝0时，x＝ 为函数的零点；
当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1，则x＝1是函数唯一的零点．
若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数的零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)<0，即m<0.
综上可知m∈(－∞，0]∪{1}．
（四）典型例题
1.命题方向：求函数的零点
[例1] 求下列函数的零点
(1)f(x)＝4x－3；(2)f(x)＝－x2＋2x＋3；
(3)f(x)＝x3－3x＋2；(4)f(x)＝x－ ＋2.
[分析] 根据函数零点与方程根之间的关系，求函数的零点，就是求相应方程的实数根．
[解析] (1)由4x－3＝0，得x＝，
即f(x)＝4x－3的零点是.
(2)由－x2＋2x＋3＝0，得x2－2x－3＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
即f(x)＝－x2＋2x＋3的零点为－1,3.
(3)由x3－3x＋2＝x3＋2x2－2x2－4x＋x＋2＝x2(x＋2)－2x(x＋2)＋(x＋2)＝(x－1)2(x＋2)＝0，得x1,2＝1，x3＝－2.
所以f(x)＝x3－3x＋2有两个零点1，－2，其中1是二重零点．
4)由x－＋2＝＝＝0，得x1＝1，x2＝－3，即函数f(x)＝x－＋2的两个零点分别为1，－3.
[点评] 求函数的零点就是求相应方程的根，一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根，即得函数的零点．
跟踪练习1：
(1)函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] 解法一：函数f(x)＝log3x＋x－3的定义域为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，
∴函数f(x)＝log3x＋x－3有惟一的零点且零点在区间(2,3)内．
解法二：方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图像如图所示，可观察判断出两图像交点横坐标在区间(2,3)内．
(2)函数f(x)＝log3x－x＋2的零点的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] 解法一：方程log3x－x＋2＝0，
可化为log3x＝x－2
在同一坐标系中作出y＝log3x与y＝x－2的图像如下图所示，可观察出两图像有两个不同交点，故选C.
解法二：∵f′(x)＝容易知道f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．
又∵f＝－2－＋2＝－<0，
f(1)＝1>0，f(e2)＝4－e2<0
∴该函数分别在(0,1)和(1，＋∞)上各有一解．
(3)函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是 ( )
A．0 B．1 C．0和1 D．(0,0)和(1,0)
[答案] C
[解析] 令f(x)＝0，即x3－2x2＋x＝0⇔x(x－1)2＝0，解得x1＝0，x2＝x3＝1.故函数f(x)的零点是0和1.
2.命题方向：利用函数零点的存在性求参数的取值范围
[例2] (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|－k有4个零点，求实数k的取值范围．
[分析] (1)二次项系数含有字母，分类讨论即可．
(2)利用函数图像求解．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝－x－1有唯一零点－1，符合题意；
当a≠0时，f(x)有唯一零点，即ax2－x－1＝0有惟一解．
由Δ＝1＋4a＝0得a＝－.
综上可知a的值为0或－.
(2)设g(x)＝|4x－x2|，画出其图像如图所示．
函数f(x)有4个零点，即方程g(x)－k＝0有4个不同的实数解，也就是y＝g(x)的图像与直线y＝k有4个不同的公
共点，由图可知0
[点评] 函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的根⇔函数f(x)的图像与x轴交点横坐标．这为我们研究函数零点个数和方程根的个数问题提供了两种解法：一是转化为直接研究方程根的个数；二是转化为图像交点个数．另外，还可推广为：函数y＝f(x)的k点⇔方程f(x)＝k的根⇔y＝f(x)的图像与直线y＝k的交点横坐标．
跟踪练习2
(2009·江西文)设函数f(x)＝＋6x－a.
(1)对于任意实数x, f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
[解析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题．
(1)f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)．
因为x∈(－∞，＋∞)．f′(x)≥m，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立．
所以Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－，即m的最大值为－.
(2)因为当x<1时，f′(x)>0；当1
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a，
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.
故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.
3.命题方向：根的分布
[例4] 已知函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)．
问当m取何值时，函数的零点满足下列性质，通过求解，探求此类问题的一般解法．
(1)均为正数；(2)一正一负；(3)一根大于2，另一根小于2；(4)两根都在(0,2)内．
[分析] 本题的实质就是二次函数对应的方程的根的讨论，结合二次函数图像与x轴的交点位置的有关条件即可求解．
[解析] 设f(x)＝0的两根为x1，x2，
(1)解法一：方程两根均为正数，即
∴
解之得7
即
解得7
解法二：由图知f(0)<0，即m<7.
(3)解法一：方程有两根，一根大于2，另一根小于2，则
解之得m>27.
解法二：如上图，由f(2)<0知8×4－2(m－1)＋(m－7)<0，∴m>27.
(4)两根在(0,2)之间，即
即
解之得∴7
(2)函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法．
(3)一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的区间根问题
研究一元二次方程的区间根，一般情况下需要从以下三个方面考虑：
1．一元二次方程根的判别式；
2．对应二次函数区间端点函数值的正负；
3．对应二次函数图像的对称轴x＝－ 与区间端点的位置关系．
设x1、x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，
如下表所示．
（五）思想方法点拨
1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数的零点，注意以下几点：
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．
(3)一般我们只讨论函数的实数零点．
(4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
2．对函数零点存在的判断中，必须强调：
(1)f(x)在[a，b]上连续；
(2)f(a)·f(b)<0；
(3)在(a，b)内存在零点．
事实上，这是零点存在的一个充分条件，但不必要．
3．二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值．
4．要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的选取和最后精确度的判断．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．(2018·天津文)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
[答案] C
[解析] 解法一：本题考查了函数的零点定理和导数．
∵f′(x)＝ex＋1>0，∴函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，
又∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．
解法二：∵f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)．故选C.
2．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为( )
A．a<－1 B．a>1 C．－1
[解析] f(x)＝2ax2－x－1
∵f(0)＝－1<0 f(1)＝2a－2
∴由f(1)>0得a>1，又当f(1)＝0，即a＝1时，
2x2－x－1＝0的两根为x1＝1，x2＝－不适合题意．故选B.
3．(2018·山东临沂)已知函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中g(x)是定义域为R的函数，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(2,4)
[答案] B
[解析] ∵f(1)＝0×g(x)－1<0，f(2)＝0×g(x)＋2>0，故在(1,2)上必有实根．
4．关于方程3x＋x2＋2x－1＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两不相等的负实根
B．方程有两个不相等的正实根
C．方程有一正实根，一零根
D．方程有一负实根，一零根
[答案] D
[解析] 令y1＝3x
y2＝－x2－2x＋1＝2－(x＋1)2
则方程的根即为两函数图像交点横坐标
由图像知方程有一负根，一零根．
5．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a
[解析] 本题考查函数性质，主要是函数的零点、单调性．如图，
f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，结合图形知，选A.
6．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
[答案] A
[解析] 本题考查了函数零点的判断方法及一元二次方程根与系数的关系．由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．
7．(2018·浙江理)设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是( )
A．[－4，－2] B．[－2,0] C．[0,2] D．[2,4]
[答案] A
[解析] 本题判断f(x)＝0在区间内是否成立，即4sin(2x＋1)＝x是否有解．如图：
显然在[2,4]内曲线y＝4sin(2x＋1)，当x＝π－时，y＝4，而曲线y＝x，当x＝π－<4，有交点，故选A.
8．(2018·山东济南)若方程x＝x的解为x0，则x0属于以下区间( )
A. B. C. D．(1,2)
[答案] B
[解析] 构造函数f(x)＝x－x，易知该函数是R上的减函数．
又f＝－>0， f＝－<0.
∴x0∈
二、填空题
9．已知方程f(x)＝0在(1,2)内有唯一解，用二分法求方程的近似解时，若要使精确度为0.1，则使用二分法的最多次数为________．
[答案] 4
[解析] 每一次使用二分法，区间长度为原区间长度的，设n次后达到精确度，则只需<0.1，即n≥4.
10．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________．
[答案]
[解析] 由于函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，即方程x2＋ax＋b＝0的两个根是－2和3.
因此解得a＝－1，b＝－6，
故f(x)＝x2－x－6.
所以不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0，
解得－
间是____ ____．
[答案] (－∞，－1)，(1，＋∞)
[解析] f(x)在[－1,1]上的图像是线段，若方程f(x)＝0在[－1,1]上无实根，
则f(－1)f(1)>0，即(－5a＋1)(a＋1)>0，
解得－1
第九节 函数模型及其应用
（一）高考目标
考纲解读
1．了解指数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
考向预测
1．函数模型及其应用历年来一直是高考的热点，主要考查现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长率、最优化问题．
2．多以解答题为主，考查建模能力，综合性强，属中高档题．
（二）课前自主预习
知识梳理
1．几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
3．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定性的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
（三）基础自测
1．当x→＋∞时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝2x B．y＝100x2 C．y＝100x D．y＝ex
[答案] D
[解析] ∵2
A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟
[答案] D
[解析] 由题意知t＝5时，y1＝＝am5；即m5＝.设t分钟后，桶A中的水只有，则＝amt.解得t＝20.故再经过15分钟．
3．(2018·青岛二中期中)某宾馆有n(n∈N*)间标准相同的客房，客房的定价将影响入住率．经调查分析，得出每间客房的定价与每天的入住率的大致关系如下表：
每间客房的定价
220元
200元
180元
160元
每天的入住率
50%
60%
70%
75%
对每间客房，若有客住，则成本为80元；若空闲，则成本为40元．要使此宾馆每天的住房利润最高，则每间客房的定价大致应为 ( )
A．220元 B．200元 C．180元 D．160元
[答案] C
4．2018年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2018年7月1日可取款( )
A．a(1＋x)5元 B．a(1＋x)6元 C．a＋(1＋x)5元 D．a(1＋x5)元
[答案] A
[解析] 因为年利率按复利计算，所以到2018年7月1日可取款a(1＋x)5.
5．鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有30元、50元和80元三种，且票价30元和50元的张数的积为0.6万．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y＝lg2x，则这三种门票分别为________万张时为失学儿童募捐纯收入最大．
[答案] 0.6,1,0.8
[解析] 该函数模型y＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．
设30元、50元、80元门票的张数分别为a、b、c，则
把①代入③有x＝192－(50a＋30b)≤192－20＝132(万元)
当且仅当时等号成立，解得
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．
故三种门票分别为0.6,1,0.8万张时为失学儿童募捐纯收入最大．
6．下图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像(收支差额＝车票收入－支出费用)．由于目前本条线路亏损，公司有关人员分别将图移动为图1和图2，从而提出两种扭亏为盈的建议．
请你根据图像用简练的语言叙述出：
建议(1)是：______________________；
建议(2)是：______________________.
[答案] (1)不改变车票价格，减少支出费用
(2)不改变支出费用，提高车票价格
7．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成
三个面积相等的矩形(如图所示)，求围成的矩形最大面积．(围墙厚度不计)．
[解析] 设矩形的长为xm，宽为m，
则S＝x·＝(－x2＋200x)．
当x＝100时，Smax＝2500m2.
故围成矩形最大面积为2500m2
（四）典型例题
1.命题方向：一次函数与分段函数模型
[例1] 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[分析] (1)分段写出y关于x的函数解析式；(2)求出x再分别确定甲、乙的水量和水费．
[解析] (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，
即3x≤4且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
[点评] 本题所列出的函数为分段函数，要注意结合题意明确各段的自变量的取值范围．
(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型．
(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
(3)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏．
跟踪练习1
电信局为了配合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：
(1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[解析] 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则
fA(x)＝，
fB(x)＝
(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝(n＋1)＋18－n－18＝＝0.3元(n>500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图可知，当0≤x≤60时，fA(x)
当60
x>，即当通话时间在时，方案B较方案A优惠.
2.命题方向：二次函数模型
[例2] 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝ －48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[分析] 解应用题一般要根据题意建立函数关系式，利用配方、基本不等式、导数或函数的单调性研究函数的最值等，从而解决实际问题．
[解析] (1)每吨平均成本为(万元)，
则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8000
＝－＋88x－8000
＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为－(210－220)2＋1680＝1660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
[点评] (1)“对号”函数问题及二次函数是我们比较熟悉的两种函数，对“对号”函数问题通常采用基本不等式，但要注意等号成立的条件，当等号不成立时，采用函数的单调性解决．
(2)二次函数一般看函数图像的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易错解．
跟踪练习2
某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
[解析] 设销售价为x元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好销售完的进货量为×40＋400，即400(9－2x)瓶．
此时所得的利润为f(x)＝400(9－2x)(x－3)＝400(－2x2＋15x－27)．根据函数性质，当x＝时，f(x)取最大值450.这时的进货量为400(9－2x)＝400＝600(瓶)．所以销售价应定为每瓶3.75元，以及从工厂购进600瓶时，才能获利最大.
3.命题方向：函数模型的综合应用
[例4] 某工厂有一段旧墙长14m，现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件是：(1)建1m新墙费用为a元；(2)修1m旧墙费用是元；(3)拆去1m旧墙，用所得材料建1m新墙费用为元，经过讨论有两种方案：①利用旧墙的一段xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；②矩形厂房利用旧墙的一边边长x≥14，问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？
[分析] 利用旧墙为一面建立平面矩形，设此面边长为xm，则另一面边长为m.
[解析] (1)利用旧墙的一段xm(x<14)，则修墙费用为x·元，
将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为(14－x)·元，
其余建新墙的费用为·a元．
总费用y＝a＋a＋a＝a＝7a(0
当且仅当＝，即x＝12m时，ymin＝35a.
(2)利用旧墙的一面，矩形边长x≥14，则修旧墙费用为×14＝a元，建新墙费用为a元．
总费用y＝a＋a元
＝a＋2a(x≥14)．
由t＝x＋在[，＋∞)上为增函数，
得y1＝x＋在[14，＋∞)上为增函数．
∴当x＝14m时，ymin＝a＋2a＝35.5a.
综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12m为矩形的一面边长时，建墙费用最省．
跟踪练习3
某公司欲投资13亿元进行项目开发，现有以下6个项目可供选择.
项目
A
B
C
D
E
F
投资额(亿元)
5
2
6
4
6
1
利润(亿元)
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
0.1
设计一个投资方案，使投资13亿元所获利润大于1.6亿元，则应选的项目是________(只需写出项目的代号)．
[答案] A、B、E或B、D、E、F
[解析] 当投资为13亿元且利润大于1.6亿元时，有以下两种投资选择方案：
f(A，B，E)＝0.55＋0.4＋0.9＝1.85(亿元)；
f(B，D，E，F)＝0.4＋0.5＋0.9＋0.1＝1.9(亿元)．
（五）思想方法点拨
常见函数模型的理解
(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”
注意：指数函数y＝ax(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大的惊人，因此常称之为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随xn中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．
(5)“对号”函数模型，形如f(x)＝x＋(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．
(六)课后强化作业
一、选择题
1．(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为( )
A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝x2 D．y＝x2
[答案] D
[解析] y＝·x·x·sin60°＝x2.
2．(2018长春模拟)某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1m)( )
A．6.9m B．7.0m C．7.1m D．6.8m
[答案] A
[解析] 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2(a<0)．
设点A点的坐标为(4，－h)，则
C(3,3－h)．
将这两点的坐标代入y＝ax2，
可得解得
所以厂门的高约为6.9m.
3．某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款．某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是( )
A．不能确定 B．①②同样省钱 C．②省钱 D．①省钱
[答案] D
[解析] ①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元．
故①种方法省钱．
4．某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于( )
A．200 B．220 C．240 D．260
[答案] A
[解析] 由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分．
5．(2018·商丘一模)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和
L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51
[答案] B
[解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
6．某市2018年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住面积比上一年增加5%，其经济适用房每年增加10万平方米．按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055＝1.28)( )
A．2018年 B．2018年 C．2018年 D．2018
[答案] C
[解析] 设第n年新建住房面积为an＝100(1＋5%)n，经济适用房面积为bn＝25＋10n，由2bn>an得：2(25＋10n)>100(1＋5%)n利用已知条件解得n>3，所以在2018年时满足题意．
7．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f(n)＝k(n)(n－10)，n>10(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而k(n)＝
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )
A．600元 B．900元 C．1600元 D．1700
[答案] D
[解析] ∵k(18)＝200(元)，
∴f(18)＝200×(18－10)＝1600(元)．
又∵k(21)＝300(元)，
∴f(21)＝300×(21－10)＝3300(元)，
∴f(21)－f(18)＝3300－1600＝1700(元)．
8．(2018·长沙质检)某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
[答案] A
[解析] 当开放一个窗口时，N＋40M＝40K；①
当开放两个窗口时，N＋15M＝30K.②
由①、②得N＝60M，K＝M.
设8分钟后不出现排队现象需同时开放x个窗口，
则N＋8M≤8x·K，
∴60M＋80M≤8x·M，即68M≤20Mx.
∴x≥3.8，又∵x∈N*，
∴至少需同时开放4个窗口．
二、填空题
9．如图，书的一页的面积为600cm2，设计要求书面上方空出2cm的边，下、左、右方都空出1cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．
[答案] 30cm,20cm
[解析] 设书的长为a，宽为b，则ab＝600，则中间文字部分的面积S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2＝486，当且仅当2a＝3b，即a＝30，b＝20时，Smax＝486.
10．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年的价格应降为________元．
[答案] 2400
[解析] 设经过3个5年，产品价格为y，则y＝8100×3＝8100×＝2400(元)．
11．(2018·南京模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
[答案] 2500
[解析] 总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－(Q－300)2＋2500.
故当Q＝300时，总利润最大，为2500万元．
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