2020届二轮复习二项式定理学案（全国通用）

二项式定理
学习目标　1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.

1.二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理.
二项式系数
C(k＝0,1，…，n)
通项
Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…n)
二项式定理
的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn

2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：C＝C；
(2)性质：C＝C＋C；
(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即最大；
(4)二项式系数之和C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法.

类型一　二项式定理的灵活应用
角度1　两个二项式积的问题
例1　(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.
答案　(1)120　(2)－1
解析　(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，
则10＋5a＝5，解得：a＝－1.
反思与感悟　两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，求和即得.
跟踪训练1　(x2＋2)5的展开式的常数项是________.
答案　3
解析　(x2＋2)5＝x25＋25，
对于x25的通项为，
Tr＋1＝x2C5－r·(－1)r＝(－1)rCx－8＋2r.
令－8＋2r＝0即r＝4，
即T5＝(－1)4C＝5.
对25的通项为，
T′r＋1＝2C5－r·(－1)r.
令5－r＝0即r＝5.T′6＝－2.
∴(x2＋2)5的展开式的常数项为5－2＝3.
角度2　三项展开式问题
例2　5的展开式中的常数项是________.
解析　方法一　5，
∴展开式的通项为Tr＋1＝C5－r()r(r＝0,1,2，…，5).
当r＝5时，T6＝()5＝4，
当0≤r<5时，5－r的展开式的通项公式为T′k＋1＝C5－r－kk＝C5－r－k·x5－r－2k(k＝0,1,2，…，5－r).
令5－r－2k＝0即r＋2k＝5.
∵0≤r<5且r∈Z，∴或，
∴常数项为4＋CC2＋CC×()3＝4＋＋20＝.
方法二　(化三项为二项)
原式＝5＝·[(x＋)2]5
＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
所以所求的常数项为＝.
答案　
反思与感悟　三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.
跟踪训练2　(x2－x－2)3的展开式中x3的系数为________.
解析　(x2－x－2)3＝[(x＋1)(x－2)]3＝(x＋1)3(x－2)3
∴(x2－x－2)3的展开式中x3的系数为CC(－2)3＋CC(－2)2＋CC(－2)1＋CC(－2)0＝11.
答案　11
角度3　整除和余数问题
例3　(1)233除以9的余数是________.
答案　8
解析　233＝(23)11＝811＝(9－1)11＝C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10＋C90×(－1)11.
分析易得：其展开式中C911×(－1)0＋C910×(－1)1＋…＋C91×(－1)10能被9整除，而最后一项为－1，则233除以9的余数是8.
(2)求证2n＋2·3n＋5n－4能被25整除(n∈N*).
证明　原式＝4(5＋1)n＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋C·5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n，以上各项均为25的整数倍，故得证.
反思与感悟　1.利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了.
2.解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.
跟踪训练3　设a∈Z，且0≤a<13，若512 015＋a能被13整除，则a＝________.
答案　1
解析　∵512 015＋a＝(52－1)2 015＋a＝C522 015－C522 014＋C522 013－…＋C521－1＋a，
能被13整除，0≤a<13.
故－1＋a能被13整除，故a＝1.
类型二　二项式系数性质的应用
例4　已知n展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.
解　依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0.解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.
依题意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120，
化简得x4(1＋lg x)＝1，
所以x＝1，或4(1＋lg x)＝0，
故所求x的值为1或.
反思与感悟　利用C＋C＋C＋…＋C＝2n列出方程，通过解指数方程求出n的值，然后，利用二项式系数的性质，列出含x的有关方程，求出x的值，另外，解决该类型的题目时，要注意灵活变形.
跟踪训练4　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值.
(1)求a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.
(2)令x＝1，
可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，
可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②
与①式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)由①②可得，
a0＋a2＋…＋a100＝，
∴(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100·(2＋)100＝1.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋)100.

1.在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3项的系数为(　　)
A.210 B.120 C.80 D.60
答案　B
解析　在(1＋x)6(2＋y)4的展开式中，含x4y3的项为Cx4C2·y3＝120x4y3.
故含x4y3项的系数为120.
2.3的展开式中常数项为(　　)
A.－8 B.－12 C.－20 D.20
答案　C
解析　3＝6展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)rx6－2r.令6－2r＝0解得：r＝3.
故展开式中的常数项为－C＝－20.
3.9192被100除所得的余数为________.
答案　81
解析　利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式.
方法一　(100－9)92＝C10092－C10091×9＋C·10090×92－…－C100×991＋C992.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数.
由992＝(10－1)92＝C1092－…＋C102－C10＋1.
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，
∴9192被100除可得余数为81.
方法二　(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C，
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
4.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________.
答案　1
解析　对二项展开式中的x赋值.当x＝1，x＝－1时，可分别得到(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，(－2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4，相乘即可得到(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋)4·(2－)4＝1.

1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，求和即得.
2.三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.
3.用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了.
4.求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.
5.确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质.

一、选择题
1.二项式6的展开式中不含x3项的系数之和为(　　)
A.20 B.24 C.30 D.36
答案　A
解析　由二项式的展开式的通项公式Tr＋1＝C·(－1)rx12－3r，令12－3r＝3，解得，r＝3，故展开式中x3项的系数为C·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，不含x3项的系数之和为20.
2.已知(x＋2y)n(x＋y)的展开式中的系数和为162，则n展开式中常数项为(　　)
A.－1 B.－4 C.1 D.4
答案　B
解析　∵(x＋2y)n(x＋y)的展开式中系数和为162，
∴(1＋2)n(1＋1)＝162，
解得：n＝4.
∴4的展开式中通项公式为
Tr＋1＝Cx4－rr＝C(－1)rx4－r，
令4－r＝0，
解得r＝3，
∴展开式中常数项为C(－1)3＝－4.
3.(1－x)2(1＋y)3的展开式中xy2的系数为(　　)
A.6 B.3 C.－3 D.－6
答案　D
解析　(1－x)2展开式中x的系数为－2，(1＋y)3的展开式中y2的系数为3，∴(1－x)2(1＋y)3的展开式中xy2的系数是－6.
4.若n为奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C7被9除所得的余数是(　　)
A.0 B.2 C.7 D.8
答案　C
解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9·(－1)n－1＋(－1)n－1.因为n为奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
5.已知(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7等于(　　)
A.32 B.－32
C.－33 D.－31
答案　D
解析　令x＝0，得a0＝1；
令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝32，
∴a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝a0－32＝1－32＝－31.
6.(x2－3x＋2)5的展开式中，含x项的系数为(　　)
A.－240 B.－120 C.0 D.120
答案　A
解析　由于(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5
所以含x项的系数为C(－1)4·C(－2)5＋C(－1)5·C·(－2)4＝－32×5－5×16＝－240.
二、填空题
7.已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.
答案　1
解析　(a－x)5展开式通项公式为
Tr＋1＝(－1)ra5－rCxr
令r＝2得a2＝a3C＝80，
知a＝2，
令二项展开式的x＝1得：
15＝1＝a0＋a1＋…＋a5.
8.在(a＋b)n的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为128，则二项式系数的最大值为________.
答案　70
解析　由题意知，2n－1＝128，解得n＝8.
展开式共n＋1＝8＋1＝9项.
据中间项的二项式系数最大，
故展开式中系数最大的项是第5项，最大值为C＝70.
9.(x2－2)5的展开式中x－1的系数为________.
答案　60
解析　(x2－2)5＝(x2－2)[C＋C·＋C·2＋C·3＋C·4＋C5]，
故展开式中x－1的系数为23C－2·2C＝60.
10.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m＝________.
答案　－3或1
解析　在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中，
令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9，
令x＝0可得：(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9.
∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，
∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，
∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，
可得：2m＋m2＝3，解得：m＝1或－3.
11.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7的值是________.
答案　－2
解析　在(1－2x)7的二项展开式中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，所以a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
三、解答题
12.若等差数列{an}的首项为a1＝C－A(m∈N*)，公差是k展开式中的常数项，其中k为7777－15除以19的余数，求通项公式an.
解　由题意可得
解得≤m≤，
又∵m∈N*，∴m＝2，∴a1＝C－A＝100，
又7777－15＝(19×4＋1)77－15＝C＋C(19×4)＋…＋C(19×4)77－15＝(19×4)[C＋C(19×4)＋…＋C(19×4)76]－19＋5
∴7777－15除以19的余数为5，即k＝5.
又Tr＋1＝C5－rr

令5r－15＝0可解得r＝3，
∴d＝C5－6(－1)3＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝104－4n.
13.已知f(x)＝(1＋x)m，g(x)＝(1＋5x)n(m，n∈N*)
(1)若m＝4，n＝5时，求f(x)·g(x)的展开式中含x2的项；
(2)若h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，那么当m，n为何值时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值？
(3)若(1＋5x)n(n≤10，n∈N*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数成等差数列，求(1＋5x)n的展开式中系数最大的项.
解　(1)当m＝4，n＝5时，f(x)＝(1＋x)4＝Cx0＋Cx1＋Cx2＋Cx3＋Cx4，
g(x)＝(1＋5x)5＝C(5x)0＋C(5x)1＋…＋C(5x)5，
则f(x)·g(x)的展开式中含x2的项为
(C·50C＋C·5C＋C·52C)x2，
即f(x)·g(x)的展开式中含x2的项为356x2.
(2)因为h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)的展开式中含x的项的系数为24，则C＋5C＝24，
即m＝24－5n(其中1≤n≤4，n∈N*)，
又h(x)的展开式中含x2的项的系数为
C＋52C＝＋
＝＋
＝25n2－130n＋276
＝252＋107(其中1≤n≤4，n∈N*)，
又因为>，
所以当n＝3时(此时m＝9)，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得最小值为111.
(3)在(1＋5x)n(n≤10，n∈N*)的展开式中，倒数第2、3、4项的系数分别为C·5n－1，C·5n－2，C·55－3，
又因为倒数第2、3、4项的系数成等差数列，所以
2C·5n－2＝C·5n－1＋C·5n－3，
整理得：n2－33n＋182＝0，解之得：n＝7或n＝26，
又因为n≤10，n∈N*，所以n＝7，n＝26(不合题意舍去)
设二项式(1＋5x)7的展开式中系数最大的项为第r＋1项(即Tr＋1＝C(5x)r)，
则
整理并解之得：≤r≤，
又因为n≤10，n∈N*，所以r＝6，
即(1＋5x)n的展开式中系数最大的项为
T7＝C(5x)6＝109 375x6.