2020届二轮复习二项式定理学案（全国通用）

二项式定理
学习目标　1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.

1.二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理.
二项式系数
C(k＝0,1，…，n)
通项
Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…n)
二项式定理
的特例
(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn

2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：C＝C；
(2)性质：C＝C＋C；
(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即最大；
(4)二项式系数之和C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是赋值法.

类型一　二项式定理的灵活应用
角度1　两个二项式积的问题
例1　(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.
(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.
答案　(1)120　(2)－1
解析　(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)
＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.
(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，
则10＋5a＝5，解得：a＝－1.
反思与感悟　两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，求和即得.
跟踪训练1　(x2＋2)5的展开式的常数项是________.
答案　3
解析　(x2＋2)5＝x25＋25，
对于x25的通项为，
Tr＋1＝x2C5－r·(－1)r＝(－1)rCx－8＋2r.
令－8＋2r＝0即r＝4，
即T5＝(－1)4C＝5.
对25的通项为，
T′r＋1＝2C5－r·(－1)r.
令5－r＝0即r＝5.T′6＝－2.
∴(x2＋2)5的展开式的常数项为5－2＝3.
角度2　三项展开式问题
例2　5的展开式中的常数项是________.
解析　方法一　5，
∴展开式的通项为Tr＋1＝C5－r()r(r＝0,1,2，…，5).
当r＝5时，T6＝()5＝4，
当0≤r