2020届二轮复习离散型随机变量的分布列1学案（全国通用）

　离散型随机变量的分布列(一)
学习目标　1.在对具体问题的分析中，理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；认识分布列对于刻画随机现象的重要性.2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.

知识点　离散型随机变量的分布列
思考　掷一枚骰子，所得点数为x，则x可取哪些数字？x取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示x与p的对应关系吗？
答案　(1)x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
(2)
x
1
2
3
4
5
6
P







1.离散型随机变量的分布列的概念
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
(2)i＝1.

类型一　离散型随机变量的分布列的性质的应用
例1　设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1,2,3,4)，求：
(1)P({X＝1}∪{X＝3})；
(2)P.
解　题中所给的分布列为
X
1
2
3
4
P
a
2a
3a
4a
由离散型随机变量分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝.
(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)
＝＋＝.
(2)P＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝.
反思与感悟　1.本例利用方程的思想求出常数a的值.
2.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的.
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练1　(1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的分布列.
X
－1
0
1
P




试说明该同学的计算结果是否正确.
(2)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
ξ
－1
0
1
P

1－2q
q2
①求q的值；
②求P(ξ<0)，P(ξ≤0).
解　(1)因为P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确.
(2)①由分布列的性质得，1－2q≥0，q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
∴q＝1－.
②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2＝－.
类型二　求离散型随机变量的分布列
例2　一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列.
解　随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC，
从而有P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
P





反思与感悟　求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义.
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率.
(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.
跟踪训练2　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列.
解　X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
所以X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P






类型三　离散型随机变量的分布列的综合应用
例3　袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数.
(1)求袋中原有的白球的个数.
(2)求随机变量ξ的分布列.
(3)求甲取到白球的概率.
解　(1)设袋中原有n个白球，由题意知＝＝＝.
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球.
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P






(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，
则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
反思与感悟　求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.
跟踪训练3　北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1

从中随机地选取5只.
(1)求选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率.
(2)若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推，设X表示所得的分数，求X的分布列.
解　(1)选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率P＝＝＝.
(2)X的取值为100,80,60,40.
P(X＝100)＝＝，
P(X＝80)＝＝，
P(X＝60)＝＝＝，
P(X＝40)＝＝.
X的分布列为
X
100
80
60
40
P





1.已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P









m

则P(X＝10)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.
2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由<ξ<知ξ＝1,2.P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，∴P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
3.将一枚硬币扔三次，设X为正面向上的次数，则P(0 答案　0.75
解析　P(0 ＝1－－＝0.75.
4.将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.
解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝＝；
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P








1.离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.
2.一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

一、选择题
1.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a的值为(　　)
A. B. C.110 D.55
答案　B
解析　∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝.
2.若随机变量X的概率分布列为：P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝a＝1，
∴a＝.
∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝a＝×＝.
3.若随机变量η的分布列如下：
η
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(η A.x≤1 B.1≤x≤2
C.1 答案　C
解析　由分布列知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故1 4.随机变量ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知解得b＝.
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得：ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝.
5.已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　)
A. B.
C.[－3,3] D.[0,1]
答案　B
解析　设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，
故a＝，由，解得－≤d≤.
6.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4).抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1,1)，X＝3对应(1,2)，(2,1)，X＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以P(X≤4)＝＋＋＝.
二、填空题
7.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P＝________.
答案　
解析　设二级品有k个，∴一级品有2k个，三级品有个，总数为k个.
∴分布列为
ξ
1
2
3
P



P＝P(ξ＝1)＝.
8.由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失，以□代替，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.□5
0.10
0.1□
0.20

根据该表可知X取奇数值时的概率是________.
答案　0.6
解析　由离散型随机变量的分布列的性质可求得P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15，故X取奇数值时的概率为P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.
9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道题，比赛规则：对于每道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题，并回答正确的得1分，抢到题目但回答错误的扣1分(即－1分)，若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能值为________.
答案　－1,0,1,2,3
解析　X＝－1表示甲抢到1题但答错了，
若乙两题都答错，则甲获胜；
甲获胜还有以下可能：
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时1对1错.
X＝1时，甲抢到1题，且答对或甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对.
X＝3时，甲抢到3题均答对.
10.将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
答案　
X
1
2
3
P



解析　由题意知X＝1,2,3.
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
P



三、解答题
11.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分ξ的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab.
ξ
0
2
3
P
a
b
c
求这名运动员投中3分的概率.
解　由题中条件知，2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以投中3分的概率是.
12.设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列.
解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}.
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0).
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
4
9
P





13.某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
解　(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝＋＋＝.
故X的分布列为

X
2
3
P