2020届二轮复习命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件学案（全国通用）

2020届二轮复习    命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件  学案（全国通用）

知识点1．命题及其关系

（1）命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

（2）四种命题及相互关系

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

【典例1】【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末】设是方程的两个不等实根，记.下列两个命题：

①数列的任意一项都是正整数；

②数列第5项为10.                                              (  )

A．①正确，②错误    B．①错误，②正确

C．①②都正确    D．①②都错误

【答案】A

【解析】因为是方程的两个不等实根，所以1，，

因为，

所以，即当时，数列中的任一项都等于其前两项之和，

又1，，所以，，，以此类推，即可知：数列的任意一项都是正整数，故①正确；②错误；因此选A.

【规律方法】

1.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

2. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．

【变式1】【山东省枣庄市2019届高三上期末】有如下命题：①函数，，，中有三个在上是减函数；②函数有两个零点；③若，则其中真命题的个数为 （  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】由题①函数，，，中，根据函数的单调性易知，，，三个函数在上是减函数，在R上递增的，故①正确；

②令函数=0

化简：=x+2，作出图像

有两个交点，故由两个零点；②正确；

③若，因为 为单调递减函数，所以

故③正确.

故选D

知识点2．逻辑联结词

（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．

（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．

（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．

（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断

【典例2】【2017山东】已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是（   ）

A．        B.         C.        D.

【答案】B

【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.

【重点总结】

1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假．

3．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）pq真⇔p,q至少一个真⇔(p)(q)假.

（2）pq假⇔p,q均假⇔(p)(q)真.

（3）pq真⇔p,q均真⇔(p)(q)假.

（4）pq假⇔p,q至少一个假⇔(p)(q)真.

（5）p真⇔p假; p假⇔p真.

4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假．

【变式2】【新疆乌鲁木齐市2018届高三第二次质量监测】命题若，则，是的逆命题，则（   ）

A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假

【答案】C

【解析】由题意，，所以，得，

所以命题为假命题，

又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.

知识点3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

【典例3】【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，

综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

故选A.

【规律方法】

充要关系的几种判断方法

(1)定义法：若 ，则是的充分而不必要条件；若  ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件.

(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

【变式3】【2019年高考天津理】设，则“”是“”的（   ）

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由可得，由可得，

易知由推不出，

由能推出，

故是的必要而不充分条件，

即“”是“”的必要而不充分条件.

故选B.

考点1  四种命题的关系及真假判断

【典例4】【黑龙江省海林市朝鲜族中学2019届复习】以下命题为假命题的是(　　)

A．“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆命题

B．“面积相等的三角形全等”的否命题

C．“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题

D．“若A∪B＝B，则A⊆B”的逆否命题

【答案】A

【解析】A．“若m＞0，则方程x2+x-m=0有实数根”的逆命题是“若方程x2+x-m=0有实数根，则m＞0”，
由判别式△=1+4m≥0得 ，故A是假命题，
B．“面积相等的三角形全等”的逆命题是“全等的三角形面积相等”为真命题，根据逆命题和否命题为逆否命题，则命题“面积相等的三角形全等”的否命题是真命题，
C．“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．
D．“若A∪B=B，则A⊆B”为真命题，则“若A∪B=B，则A⊆B”的逆否命题为真命题．，
故选：A．

【思路点拨】

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；

（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题.

2.本题解答思路：

A．求出命题的逆命题，进行判断即可，
B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题
C．根据逆命题的定义进行判断
D．根据逆否命题的等价性判断原命题的真假即可．

【变式4】【甘肃省酒泉市敦煌中学2019届高三一诊】在下列四个命题中,其中真命题是(  )

①“若,则”的逆命题;

②“若,则”的否命题;

③“若,则方程有实根”的逆否命题;

④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题.

A．①②    B．①②③④    C．②③④    D．①③④

【答案】B

【解析】逐一考查所给命题的真假：

①“若,则”的逆命题为“若，则”该命题为真命题;

②“若,则”的否命题为“若,则不垂直”，

由可得：，据此可知：不垂直”，该命题为真命题;

③若,则方程的判别式，方程有实根为真命题，则其逆否命题为真命题;

④“等边三角形的三个内角均为”的逆命题为“三个内角均为的三角形为等边三角形”，该命题为真命题;

综上可得：真命题是①②③④.

本题选择B选项.

考点2  含有逻辑联结词的命题

【典例5】【山东省2018年普通高校招生（春季）】设命题，命题，则下列命题中为真命题的是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】因为命题为真，命题为真，所以为真，  、为假，

选A.

【总结提高】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.

【变式5】【河北省唐山市2018届三模】已知命题在中，若，则；命题，.则下列命题为真命题的是（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

命题，当时，不成立，故为假命题，故选B.

考点3  充分必要条件的判定

【典例6】【2018年浙江卷】已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的（   ）

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.

由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，

故选A.

【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m平行于平面内任一直线，即必要性不成立．

【变式6】【2018年理数天津卷】设，则“”是“”的（   ）

A. 充分而不必要条件  B. 必要而不重复条件   C. 充要条件          D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】绝对值不等式 ，由 .据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.

考点4  充分条件与必要条件的应用

【典例7】【江西省新八校2019届高三第二次联考】若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，

所以是的真子集，所以，

故答案为.

【规律方法】

1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面

(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；

(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；

(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．

【变式7】【安徽省江南片2019届高三开学联考】设：实数满足，：实数满足．

（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（Ⅰ）当时，：，：或.

因为为真，所以，中至少有一个真命题.

所以或或，

所以或，

所以实数的取值范围是.

（Ⅱ）当时，：，

由得：：或，

所以：，

因为是的必要条件，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围是.