2020届二轮复习离散型随机变量的期望与方差3教案（全国通用）
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1． 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．
如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：
… | … | |||||
… | … |
我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．
2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量的分布列为
其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．
二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．
两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．
我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列
… | … | |||||
… | … |
由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
⑷正态分布
1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．为随机变量，为常数，则；
4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．
⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，
则，．
4．事件的独立性
如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，
这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．
5．条件概率
对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．
【例1】 已知随机变量的分布列为
1 | 2 | 3 | |
则等于（ ）
A． B． C．2 D．1
【考点】期望与方差
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】，
．
【答案】B；
【例2】 同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则 ，__________．
【考点】期望与方差
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】同时抛掷两枚相同的均匀硬币，有种可能：正正、正负、负正、负负，
于是易知，
有正面向上的概率，没有正面向上的概率，
从而，
．
【例3】 袋中编号为，，，，的五只小球，从中任取只球，以表示取出的球的最大号码，则_________，_________．
【考点】期望与方差
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】的可能取值为．
，，，
于是，
．
【例4】 已知离散型随机变量的分布列如下表．若，，则 ， ．
【考点】期望与方差
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2009年，广东高考
【解析】由题知，，，解得．
【答案】；
【例5】 两封信随机投入三个空邮箱，求邮箱的信件数的数学期望与方差．
【考点】期望与方差
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由题意知，且，
，；
故的分布列为：
故，
．
【例6】 编号的三位学生随意入座编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是．
⑴ 求随机变量的概率分布；
⑵ 求随机变量的数学期望和方差．
【考点】期望与方差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ ，，．
∴随机变量的概率分布为
⑵ ．．
【例7】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下：
0 | 1 | 2 | 0 | 1 | 2 | ||
则比较两名工人的技术水平的高低．
【考点】期望与方差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；
二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．
工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：
，；
工人乙生产出次品数的期望和方差分别为：
，
由知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术比较稳定．
【例8】 甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
乙保护区：
试评定这两个保护区的管理水平．
【考点】期望与方差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】甲保护区的违规次数的数学期望和方差为：
乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：
；
因为，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．
（标准差这两个值在科学计算器上容易获得，显然，）
【例9】 现有甲、乙两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强度指数如下
和分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度．在使用材料时，要求抗拉强度平均不低于的条件下，试比较甲、乙两种材料哪一种的质量更好些．
【考点】期望与方差
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】先看期望是否合格，然后再比较它们的方差．
可见甲、乙两种材料的平均抗拉强度相同，并且都合格．再比较方差．
可见，因此乙材料的质量更好些．
【例10】 袋中有个大小相同的球，其中记上号的有个，记上号的有个（）．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．
⑴求的分布列，期望和方差；
⑵若，，，试求的值．
【考点】期望与方差
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】略
【答案】⑴的分布列为：
|
|
∴
⑵由，得，即．又，所以
当时，由，得；当时，由，得．
∴或即为所求．
【例11】 某射手进行射击练习，每射击发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望与方差（保留两位小数）．
【考点】期望与方差
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为．
，表示一发即中，故概率为；
，表示第一发未中，第二发命中，故；
，表示第一、二发未中，第三发命中，
故；
，表示第一、二、三发未中，第四发命中，
故；
，表示第五发命中，故；
因此，的分布列为
；
．
【例12】 有把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．
【考点】期望与方差
【难度】5星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：求时，由题知前次没打开，恰第k次打开．
不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．
的可能取值为1，2，3，…，n．
；
，……；
；
所以的分布列为：
1 | 2 | … | k | … | n | |
… | … |
；
．
【例13】 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
⑴ 采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
⑵ 采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
【考点】期望与方差
【难度】发星
【题型】解答
【关键字】2018年，北京市海淀区高三统一练习
【解析】略
【答案】⑴ 记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件，
摸出一球得白球的概率为，摸出一球得黑球的概率为，
∴．
⑵ 由题知可取0，1，2，依题意得
，，
则，
．
