2020届二轮复习几类典型的随机分布3教案（全国通用）



二项分布











知识内容


1． 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表示．
如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量所有可能的取值与该取值对应的概率列表表示：



…

…




…

…

我们称这个表为离散型随机变量的概率分布，或称为离散型随机变量的分布列．

2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量的分布列为






其中，，则称离散型随机变量服从参数为的二点分布．
二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布．






两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为
，为和中较小的一个．
我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为．
2．二项分布
若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率是，其中．于是得到的分布列



…

…




…

…

由于表中的第二行恰好是二项展开式
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布，
记作．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则
，．
⑷正态分布
1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量，则这条曲线称为的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，．
②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则．
⑷若，为其概率密度函数，则称为概率分布函数，特别的，，称为标准正态分布函数．
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．

3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…，，这些值对应的概率是，，…，，则叫做这个离散型随机变量的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．为随机变量，为常数，则；
4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为，在次二点分布试验中，离散型随机变量的期望取值为．
⑵二项分布：若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则，．
⑶超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，
则，．

4．事件的独立性
如果事件是否发生对事件发生的概率没有影响，即，
这时，我们称两个事件，相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件，，…，相互独立，那么这个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立．


5．条件概率
对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号“”来表示．把由事件与的交（或积），记做（或）．




典例分析


二项分布的概率计算
【例1】 已知随机变量服从二项分布，，则等于 ．
【考点】二项分布
【难度】1星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】
【答案】；

【例2】 甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】甲获胜，表示只比赛了局，且第局为甲获胜，
前面局中甲胜了两局，乙胜了一局，因此所求概率为．
【答案】A；

【例3】 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值表示）
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】
【答案】；

【例4】 某人参加一次考试，道题中解对道则为及格，已知他的解题正确率为，
则他能及格的概率为_________（保留到小数点后两位小数）
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】他能及格则要解对道题中解对道或道：解对道的概率为，解对道的概率为，且与互斥，
他能及格的概率为．
【答案】；

【例5】 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 ．（精确到）
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年，湖北高考
【解析】设发热人数为，则，
．
【答案】；

【例6】 从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留位有效数字）．



【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】有放回地抽取5件，视为5重Bernoulli实验．
设A表示“一次实验中抽到次品”，．
记为抽到的次品数，则，于是．

【例7】 一台型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有台机床需要工人照看的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】所有可能的情况是有0，1，2台机床需要有工人照看，
于是
亦可考虑反面的情形求解．
【答案】D;

【例8】 设在4次独立重复试验中，事件发生的概率相同，若已知事件至少发生一次的概率等于，求事件在一次试验中发生的概率．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设所求概率为，为在4次试验中发生的次数，则，
依题意，解出．

【例9】 我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉．如果每枚鱼雷的命中率都是，当我舰上的个鱼雷发射器同是向敌舰各发射枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留位有效数字）．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设表示击中敌舰的鱼雷数，则，敌舰被击沉的概率为
．

【例10】 某厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中的任意连续取出2件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】的取值分别为0、1、2
=0表示抽取两件均为正品，．
=1表示抽取一件正品一件次品，．
=2表示抽取两件均为次品，．
∴的概率分布列为：

0
1
2




．

【例11】 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是．若某人获得两个“支持”，则给予万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：
⑴ 该公司的资助总额为零的概率；
⑵ 该公司的资助总额超过万元的概率．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】2009年，江西高考
【解析】略
【答案】⑴ 设表示资助总额为零这个事件，则．
⑵ 设表示资助总额超过万元这个事件，则
．

【例12】 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．
⑴ 求位购买该商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率；
⑵ 求位位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，则表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．
，．
⑵ 记表示事件：“位顾客每人购买件该商品，商场获得利润不超过元”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中无人采用分期付款”．
表示事件：“购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．
则．
，．
．

【例13】 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为，若中奖，则家具城返还顾客现金元．某顾客消费了元，得到3张奖券．
⑴求家具城恰好返还该顾客现金元的概率；
⑵求家具城至少返还该顾客现金元的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴家具城恰好返还给该顾客现金元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖．所求概率为．
⑵设家具城至少返还给该顾客现金元为事件，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件，这位顾客有且只有两张中奖为事件，这位顾客有且只有三张中奖为事件，则，且是互斥事件．
．
也可以用间接法求：．

【例14】 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
⑴至少有1株成活的概率；
⑵两种大树各成活1株的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】2009年，重庆高考
【解析】略
【答案】设表示第株甲种大树成活，，2．表示第株乙种大树成活，，2．则，，，独立，且，．
⑴至少有1株成活的概率为
．
⑵由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为
．

【例15】 一个口袋中装有个红球（且）和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
⑴试用表示一次摸奖中奖的概率；
⑵若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为．当取多少时，最大？
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴一次摸奖从个球中任选两个，有种，其中两球不同色有种，
一次摸奖中奖的概率．
⑵若，一次摸奖中奖的概率，三次摸奖是独立重复试验，
三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是．
⑶设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为
求导得
不难知道在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值．
由，解得．

【例16】 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为．
⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布．
⑵若两个袋子中的球数之比为，将中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求的值．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年，浙江高考
【解析】略
【答案】⑴恰好摸5次停止，则第5次摸到的是红球，前面4次独立重复试验摸到两次红球，所求概率为：
随机变量的取值为．由次独立重复试验概率公式，得
，，
，．
⑵设袋子中有个球，则袋子中有个球，且中红球数为，中红球数为，由，解得．

【例17】 设飞机有两个发动机，飞机有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率是的函数，其中为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机与飞机哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】当的两个发动机都有故障时，才不能安全飞行，安全的概率为．
当的三或四个发动机有故障时，才不能安全飞行，安全的概率为：
，
．
∵，∴
当即时，，此时比较安全；
当即时，，此时与一样安全；
当即时，，此时比较安全．

【例18】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是，且各发动机互不影响．如果至少的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：台发动机中要有台（或、台）正常运行，而这台可以是任意的．故属次独立重复试验问题．台发动机的情形同理．建立不等式求解．
解：四发动机飞机成功飞行的概率为

二发动机飞机成功飞行的概率为
要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要
，解得．
答：当发动机不出故障的概率大于时，四发动机飞机比二发动机飞机安全．
注：计算飞机成功飞行的概率时可从反面考虑：四发动机为
，二发动机为，这样更简单．

【例19】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；
⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；
⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴，的分布列为
⑵由于表示该学生首次停车时经过的路口数，取值为．其中表示前个路口没遇红灯，但在个路口遇红灯，故，而表示一路上没遇红灯，；
⑶．

【例20】 一个质地不均匀的硬币抛掷次，正面向上恰为次的可能性不为，而且与正面向上恰为次的概率相同．令既约分数为硬币在次抛掷中有次正面向上的概率，求．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设正面向上的概率为，依题意：，解得：，
硬币在次抛掷中有次正面向上的概率为，
故．

【例21】 某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）
⑴5次预报中恰有次准确的概率；
⑵次预报中至少有次准确的概率；
⑶5次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确的概率；
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】2018年，江苏高考
【解析】略
【答案】设为5次预报中预测准确的次数，则．
⑴
⑵
⑶设为4次预报中预测准确的次数，则，所求概率为
．

【例22】 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，求至少有两位乘客在20层下的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】5位乘客在某一层楼下可看作5次独立重复试验，用表示在第20层下的人数，则，至少有两位乘客在20层下的概率为：
．

【例23】 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第次才取得次红球的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设A表示“取出一球为红球”的事件，易知．
由题意第次取得的是红球，设为前面次取得红球的次数，则．
于是．
题目要求的概率为．

【例24】 某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工．设各台设备发生的故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是．试求：
⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；
⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，并进行比较说明哪种效率高．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴设表示20台设备中发生故障的设备的数目，则，不能及时维修的概率为
⑵设表示80台设备中发生故障的设备的数目，则，不能及时维修的概率为


比较⑴⑵的结果知⑵的效率较高．

【例25】 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．观察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率．（结果保留四位有效数字）
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有只”，．
表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有只”，
依题意有：，，，．
于是试验组是甲类组的概率为：．
设表示3个试验组中甲类组的个数，则．
．

【例26】 已知甲投篮的命中率是，乙投篮的命中率是，两人每次投篮都不受影响，求投篮3次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】设甲、乙投篮3次命中的次数分别为，，则．所求概率为




．

【例27】 若甲、乙投篮的命中率都是，求投篮次甲胜乙的概率．（）
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】方法一：同样设甲、乙投篮次命中的次数分别为，，则．
按照例题中的思路有：
…………①
不难知道所求概率也可以“”为主：
…………②
的概率分布是相同的，．
①②相加得：


故．
方法二：由对称性知，于是有

．

【例28】 省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的饮料的合格率为，现有甲，乙，丙人聚会，选用瓶饮料，并限定每人喝瓶，求：
⑴甲喝瓶合格的饮料的概率；
⑵甲，乙，丙人中只有人喝瓶不合格的饮料的概率（精确到）．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴记“第一瓶饮料合格”为事件，“第二瓶饮料合格”为事件，与是相互独立事件，“甲喝瓶饮料都合格就是事件同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：．
⑵记“一人喝合格的瓶饮料”为事件，三人喝瓶饮料且限定每人瓶相当于次独立重复试验．
根据次独立重复试验中事件发生次的概率公式，人喝瓶饮料只有人喝瓶不合格的概率：．

【例29】 在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号．若某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；
⑵正确解答不少于4道的概率；
⑶至少答对道题的概率．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由已知可知每个题解答正确的概率为，并且每次解答是相互独立事件．
⑴ 全部正确的概率是．
⑵“正确解答不少于道”即“有道题、道题或道题正确”，故所求概率为
．
⑶“至少答对2道题”的对立事件为“有道题或道题正确”，故所求概率为．

【例30】 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为．
现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出人；⑵双方各出人；⑶双方各出人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：进行几场比赛相当于进行几次独立重复试验，可以用次独立重复试验中某事件发生次的概率方式解题．
解：记一场比赛系队获胜为事件，事件的对立事件为校队获胜，所以
用方案⑴，发生两次为系队胜，发生次也为系队胜，所以系队胜的概率为：
用方案⑵，发生、、次为系队胜．
所以系队胜的概率为：
用方案⑶，发生、、、次为系队胜．
所以系队胜的概率为：
比较可以看出，双方各出个人对系队更有利，获胜概率为．
评：实际上，对弱队而言，比赛场数越少，对弱队越有利，侥幸取胜的可能性越大．奥运会上乒乓球比赛从分制改成分制对我们这个乒乓强国来说，是不利的；但从三局改为七局对我们来说是有利的．

二项分布的期望与方差
【例31】 已知，求与．
【考点】二项分布
【难度】1星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】由二项分布的期望与方差公式得．

【例32】 已知，，，则与的值分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】，解得．
【答案】A；

【例33】 已知随机变量服从参数为的二项分布，则它的期望 ，
方差 ．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】．

【例34】 已知随机变量服从二项分布，且，，则二项分布的参数，的值分别为 ， ．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】略
【答案】．

【例35】 一盒子内装有个乒乓球，其中个旧的，个新的，每次取一球，取后放回，取次，则取到新球的个数的期望值是 ．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】二项分布，．
【答案】；

【例36】 同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】抛掷一次，枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率是，故，因此数学期望为，选C．
【答案】C；

【例37】 某服务部门有个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】B；

【例38】 一个袋子里装有大小相同的个红球和个黄球，从中同时取出个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题意知，此问题满足参数为的二项分布，故．
【答案】；

【例39】 同时抛掷枚均匀硬币次，设枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】抛掷一次，枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率是，故，因此数学期望为，选C．
【答案】C；

【例40】 某批数量较大的商品的次品率是，从中任意地连续取出件，为所含次品的个数，求．
【考点】二项分布
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是，可能取值是：．次抽取看成次独立重复试验，所以抽到次品数服从二项分布，由公式可得解．
解：由题意知，，所以．
说明：随机变量的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题，应觉察到这是．

【例41】 甲、乙、丙人投篮，投进的概率分别是．
⑴ 现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
⑵ 用表示乙投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 记"甲投篮1次投进"为事件，"乙投篮1次投进"为事件，"丙投篮1次投进"为事件，"3人都没有投进"为事件．
则，
∴
，
∴人都没有投进的概率为．
⑵ 随机变量的可能值有0，1，2，3，且，
，．

【例42】 抛掷两个骰子，当至少有一个点或点出现时，就说这次试验成功．
⑴ 求一次试验中成功的概率；
⑵ 求在次试验中成功次数的分布列及的数学期望与方差．
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 一次试验中，设事件表示“试验成功”，则．
⑵ 依题意得：，其概率分布列为












∴

【例43】 某寻呼台共有客户人，若寻呼台准备了份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析：可能来多少人，是一个随机变量．而显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．
设来领奖的人数，
所以，可见，
所以，（人）（人）．
答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．

【例44】 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
⑵任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布和期望．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．
任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是：
．
所以该人参加过培训的概率是．
⑵因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布．
，．
的期望是．

【例45】 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年，四川高考
【解析】略
【答案】记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．
则；
，故的分布
；；
；；
所以．

【例46】 某班级有人，设一年天中，恰有班上的（）个人过生日的天数为，求的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．
【考点】二项分布
【难度】5星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】个人在哪天过生日可看成次独立重复试验，设某天过生日的人数为，则，因此，
天每天有多少人过生日，又可看作次独立重复试验，因此．
由二项分布的期望值公式知：
．
没有人过生日的天数期望值为．
恰有一人过生日的天数期望值为．
因此至少有两人过生日的天数的期望值为：．

【例47】 购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得元的赔偿金．假定在一年度内有人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金元的概率为．
⑴求一投保人在一年度内出险的概率；
⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为元，为保证盈利的期望不小于，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年，全国高考
【解析】略
【答案】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的人中出险的人数为，则．
⑴记表示事件：保险公司为该险种至少支付元赔偿金，则发生当且仅当，
，
又，故．
⑵该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出，盈利，
盈利的期望为，
由知，，
．
（元）．

【例48】 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算（结果精确到）．
⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率；
⑵平均有多少家煤矿必须整改；
⑶至少关闭一家煤矿的概率．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年，湖南高考
【解析】略
【答案】⑴每家煤矿必须整改的概率是，且每家煤矿是否整改是相互独立的．
设需要整改的煤矿数为，则．所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是：
．
⑵的数学期望是，即平均有家煤矿必须整改．
⑶某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以某煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是．由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是．

【例49】 设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（精确到）
【考点】二项分布
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】以表示一周5天内机器发生故障的天数，则，
于是有概率分布．
以表示一周内所获利润，则Y的概率分布为：
．
．
．

故一周内的期望利润为：（万元）．


【例50】 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
⑴求油罐被引爆的概率；
⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴设命中油罐的次数为，则当或时，油罐不能被引爆．
，．
所以油罐被引爆的概率为；
⑵射击次数的取值为．
，，
，．
所以的分布列为：










．

【例51】 某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从种服装商品，种家电商品，种日用商品中，选出种商品进行促销活动．
⑴试求选出的种商品中至少有一种是日用商品的概率；
⑵商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高元，同时，若顾客购买该商品，则允许有次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利?
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴从种服装商品，种家电商品，种日用商品中，选出种商品一共有种选法，选出的种商品中没有日用商品的选法有种，所以选出的种商品中至少有一种日用商品的概率为．
⑵顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，设为，其所有可能值为．
表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以．
同样的可得，，
．
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
．
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，因此应有，所以．
故商场应将中奖奖金数额最高定为元，才能使促销方案对商场有利．

【例52】 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是．
⑴ 求小球落入袋中的概率；
⑵ 在容器入口处依次放入个小球，记为落入袋中的小球个数，试求的概率和的数学期望．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 记“小球落入袋中”为事件，“小球落入袋中”为事件，
则事件的对立事件为，而小球落入袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下，故，
从而；
⑵ 显然，随机变量，故，．




【例53】 一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号．若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分．
⑴ 求拿4次至少得2分的概率；
⑵ 求拿4次所得分数的分布列和数学期望．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 设拿出球的号码是的倍数的为事件，则，，
拿次至少得分包括分和分两种情况．
，，∴．
⑵ 的可能取值为，则
；；
；；；
所以的分布列为












．
或者本问中，得分的次数，，
故．

【例54】 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中的各位数中，，出现的概率为，出现的概率为．记，当程序运行一次时，
⑴ 求的概率；
⑵ 求的概率分布和期望．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 已知，要使，只需后四位中出现个和个．
∴；
⑵ 的可能取值为．
，，
，，
．
∴的概率分布为












．

【例55】 某学生在上学路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min．
⑴ 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
⑵ 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望．
【考点】二项分布
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2009年，北京高考
【解析】略
【答案】⑴ 设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件．
因为事件等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件的概率为．
⑵ 由题意可得，可能取的值为（单位：）．
事件“”等价于事件“该学生在上学路上遇到次红灯”，
所以．
即的分布列是：












所以的期望是．