2020届二轮复习解三角形题型的解法教案（全国通用）
展开【例1】在中，已知，，，求．
【点评】（1）利用正弦定理和余弦定理时，注意使用的数情景，知道两边和其中一边的对角一般利用正弦定理解答；（2）已知两边和其中一边的对角，一般要讨论，利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系定理检验. @
【反馈检测1】在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求，的值．
题型二 | 求三角形的面积 |
使用情景 | 解三角形 |
解题步骤 | 利用公式解答. |
【例2】 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的值；
（2）若角，边上的中线，求的面积.
【点评】求三角形的面积一般利用公式解答，注意灵活选用公式.
【反馈检测2】在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
题型三 | 判断三角形的形状 |
使用情景 | 解三角形 |
解题步骤 | 一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边. |
【例3】在中，若，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
【点评】（1）判断三角形的形状，一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.（2）得到或，不要漏了.
【反馈检测3】已知分别是 中角的对边.
（1）求的值；
（2）圆为的外接圆（在内部）, 的面积为,判断的形状, 并说明理由.
题型四 | 解三角形的应用 |
使用情景 | 解三角形的应用 |
解题步骤 | 先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数问题来解. |
【例4】已知甲船正在大海上航行，当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达.（供参考使用：）.
(1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度).
【解析】依题意画出的方位图，如下
【点评】（1）解三角形的应用题，一般先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数问题来解.（2）解三角形的一般规律：必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解.
【反馈检测4】在海岸处，发现北偏西75°的方向，与距离2海里的处有一艘走私船，在处北偏东45°方向，与距离(－1)海里的处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从向北偏西30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
题型五 | 取值范围或最值问题 |
使用情景 | 求变量的取值范围或最值. |
解题步骤 | 一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质求函数的取值范围或最值. |
【例5】在锐角中，内角A，B，C的对边，已知，.
（1）若的面积等于，求；
（2）求的取值范围.
【点评】本题第2问，利用正弦定理建立三角函数模型后，要注意角的范围，不能简单地根据“锐
角”，把角A的范围定为,锐角三角形指的是每一个内角都是锐角，所以要考虑
,才能得到角A的准确范围.
【反馈检测5】在中，三个内角A,B,C的对边分别为，，，其中，且
(1)求证：是直角三角形；
(2)设圆过三点，点位于劣弧上，，用的三角函数表示三角形的面积，并求面积最大值.
高中数常见题型解法归纳及反馈检测第31讲：
解三角形问题的处理参考答案
【反馈检测1答案】（1）；（2），.
【反馈检测2答案】（1），; （2）
【反馈检测2详细解析】（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，
又因为的面积等于，所以，得．
联立方程组解得，．
（Ⅱ）由题意得，
即，
当时，，，，，
当时，得，由正弦定理得，
联立方程组解得，．
所以的面积．
【反馈检测3答案】（1）；（2）等边三角形. @
【反馈检测4答案】缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
【反馈检测4详细解析】由已知条件得，，
∴.
在中，，解得，∴，
∴为水平线，设经过时间小时后，缉私船追上走私船，则在中，
，
，
∴，∴缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．
【反馈检测5答案】（1）证明略；（2）时， 最大值等于.
【反馈检测5详细解析】(1)证明：由正弦定理得，整理为，即sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π,即A＝B或A＋B＝∵，∴A＝B舍去.由A＋B＝可知c＝，∴ΔABC是直角三角形
