2020届二轮复习圆的一般方程教案（全国通用）
展开2020届二轮复习 圆的一般方程 教案（全国通用）
重点难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定方程中的系数D、E、F.
教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.①说出圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程.
②学生练习:将以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程展开并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.
④能不能说方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内容,教师板书课题:圆的一般方程.
思路2.问题：求过三点A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式.教师板书课题:圆的一般方程.
推进新课
新知探究
提出问题
①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?
②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?
③给出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含x和y的一次项的式子.
④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2与x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比较,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.
⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?
讨论结果：①以前学习过直线,我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式,最后学习一般式.大家知道,我们认识一般的东西,总是从特殊入手.如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、…)展开整理而得到的.
②我们想求圆的一般方程,可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程,把标准形式展开,整理得到,也是从特殊到一般.
③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.
④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0时表示圆,r=0时表示点(a,b),r＜0时不表示任何图形.
因此式子(x+)2+(y+)2=.
(ⅰ)当D2+E2-4F＞0时,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆；
(ⅱ)当D2+E2-4F=0时,方程只有实数解x=-,y=-,即只表示一个点(-,-);
(ⅲ)当D2+E2-4F＜0时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形.
综上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有当D2+E2-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.
我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.
⑤圆的一般方程形式上的特点:
x2和y2的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.
圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确定了.
与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.
应用示例
思路1
例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.
(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;
(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,
而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(,-),半径为；
(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得
D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0,
所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圆的方程.
点评:对于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判断其方程是否表示圆,要化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用条件D2+E2-4F与0的大小判断,不能直接套用.另外,直接配方也可以判断.
变式训练
求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.
解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圆心坐标为(4,-3),半径为5；
(2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圆心坐标为(0,-b),半径为|b|.
例2 求过三点O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.
解:方法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圆上,则有
解得D=-8,E=6,F=0,
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圆心坐标为(4,-3),半径为5.
方法二：先求出OM1的中点E(,),M1M2的中点F(,),
再写出OM1的垂直平分线PE的直线方程y-=-(x-), ①
AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-), ②
联立①②得得则点P的坐标为(4,-3),即为圆心.OP=5为半径.
方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|,
即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5为半径.
方法四：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2,因为O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即
解此方程组得所以所求圆的方程为(x－4)2＋(y+3)2=52,圆心坐标为(4,-3),半径为5.
点评：请同学们比较,关于何时设圆的标准方程,何时设圆的一般方程.一般说来,如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程；如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系,往往设圆的一般方程.
例3 已知点P(10,0),Q为圆x2+y2=16上一动点.当Q在圆上运动时,求PQ的中点M的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ交x轴于N,
则N为OP的中点,即N(5,0).
因为|MN|=|OQ|=2(定长).
所以所求点M的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M的运动情况,探求它是由什么样的点控制的.
解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).
因为M是PQ的中点,所以 (*)
又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得
(2x-10)2+(2y)2=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x0,y0).
②求出点M与点Q坐标间的关系 (Ⅰ)
③从(Ⅰ)中解出 (Ⅱ)
④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程),化简得被动点的轨迹方程.
这种求轨迹方程的方法也叫相关点法,以后要注意运用.
变式训练
已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设点M的坐标是(x,y),
点A的坐标是(x0,y0).
由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3. ①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.
所以点M的轨迹是以(,)为圆心,半径长为1的圆.
思路2
例1 求圆心在直线l：x+y=0上,且过两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.
活动:学生审题,教师引导,强调应注意的问题,根据题目特点分析解题思路,确定解题方法.由于两圆的交点可求,圆心在一直线上,所以应先求交点再设圆的标准方程.
解:解两圆方程组成的方程组得两圆交点为(0,2),(-4,0).
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为两点在所求圆上,且圆心在直线l上,所以得方程组
解得a=-3,b=3,r=.故所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题,往往设圆的标准方程.
例2 已知圆在x轴上的截距分别为1和3,在y轴上的截距为-1,求该圆的方程.
解法一:利用圆的一般方程.
设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,该圆经过点(1,0),(3,0)和(0,-1),则有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圆的方程为x2+y2-4x+4y+3=0.
解法二:利用圆的标准方程.
由题意该圆经过P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),
设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)在PQ的垂直平分线上,故a=2.
因为|PC|=|RC|,所以.将a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).
而r=|PC|=,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=5.
例3 试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C′的方程.
活动：学生先思考,然后解答,教师引导学生抓住本质的东西,即圆的圆心坐标变化、半径不变,另外可利用相关点法来求.
解法一:设P′(x,y)为所求曲线C′上任意一点,P′关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.
由题意可得解得 (*)
因为P(x0,y0)在圆C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.将(*)代入
得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,
化简得x2+y2+4x-3y+5=0,即为C′的方程.
解法二:(特殊对称)圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C′,即求(,-1)关于直线l:x-y+1=0的对称点C′(-2,),因此所求圆C′的方程为(x+2)2+(y-)2=.
点评：比较解法一与解法二看出,利用几何性质解题往往较简单.
知能训练
课本练习1、2、3.
拓展提升
问题：已知圆x2+y2-x-8y+m=0与直线x+2y-6=0相交于P、Q两点,定点R(1,1),若PR⊥QR,求实数m的值.
解:设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
由消去y得5x2+4m-60=0. ①
由题意,方程①有两个不等的实数根,所以60-4m＞0,m＜15.
由韦达定理
因为PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,
即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0. ②
因为y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,
y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.
所以m=10,适合m＜15.所以实数m的值为10.
课堂小结
1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,只有D2+E2-4F＞0时,方程表示圆心为(-,-),半径为r=的圆.
2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.
3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.
作业
习题4.1 A组1、6,B组1、2、3.
设计感想
这是一节介绍新知识的课,而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程.因此,在设计这节课时,力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.
在展现知识的形成过程中,尽量避免学生被动接受,引导学生探索,重视探索过程.一方面,把直线一般方程探求过程进行回顾、类比,学生从中领会探求方法；另一方面,“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方法.同时,通过类比进行条件的探求——“D2+E2－4F”与“Δ”(判别式)类比.在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”,并用它探求新知识.这样的过程,既是学生获得新知识的过程,更是培养学生能力的过程.
