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2020届二轮复习选择题解题方法与技巧教案（全国通用）
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2020届二轮复习 选择题解题方法与技巧 教案（全国通用）
解题方法一 定义法
定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
例1．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝ ( )学-科网
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
【解析】由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.
【答案】A
【感悟提升】利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF1|·|PF2|的值．
【变式探究】已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为 ( )
A． B．4 C． D．5
【解析】由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
【答案】D
解题技巧二 数形结合法
数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
例2、(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2
C. D．2
解析：选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
因为P在圆C上，
所以P.
又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
【变式探究】已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是 ( )
A．(1,2 017) B．(1,2 018)
C．(2,2 019) D．[2,2 019]
【答案】C
【反思领悟】数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中结合y＝f(x)的图象求范围．
解题技巧三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．
例3、设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
【解析】选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；选项C，取x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x＋y]>[x]＋[y]．排除A，B，C，故选D.
【答案】D
【反思领悟】应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．如本例中先利用函数f(x)为偶函数排除干扰项，然后取一特殊值验证函数值的大小．
【变式探究】
已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝ ( )
A．3 B．4
C．5 D．
【解析】由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．学-科网
如图，PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝3.
【答案】A
解题技巧四 估值法
估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．
例4、若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin ，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y＝logπx，y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈(0,1)，因为sin π∈(0,1)，所以c＝log2sin <0.
综上，a>1>b>0>c，即a>b>c.
【答案】A
【变式探究】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 ( )
A．π B．π
C．4π D．π
【解析】球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D选项符合，故选D.
【答案】D
解题技巧五 待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．
例5、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，
可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得 ＝.②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】D
【反思领悟】待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如本例中已知双曲线的焦点在抛物线y2＝4x的准线上，根据已知条件列方程求解a，b即可．
【变式探究】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝ ( )
A．41 B．48
C．49 D．56
【解析】设Sn＝An2＋Bn，
由题知，解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49.
【答案】C
解题技巧六 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等．
例6、已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
【反思领悟】换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如本例中就是使用常数1的代换，将已知条件化为“＋＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．
【变式探究】若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1]，则a的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【解析】由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1]，即2＋x＋a≥0的解集为(－∞，1]．令t＝x，则t≥，
即方程t2＋t＋a≥0的解集为，
∴2＋＋a＝0，所以a＝－.
【答案】A
解题方法七 构造法
构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括、积极联想、横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、数列、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例7、(1)若a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【解析】 (1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝.当00，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．
∵1>>>>0，∴a>b>c.学科_网
【答案】 (1)A
(2)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
【解析】如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，
所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
【答案】π
【反思领悟】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．如本例(2)中巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题就很容易得到解决．
【变式探究】关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π≈________(用分数表示)．
【解析】(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为
作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有＝，解得π＝.
【答案】
解题技巧八 分离参数法
分离参数法是不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．
例8、若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．
【解析】由于x>0，
则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，
而当x∈时，max＝－，
∴a≥－，故a的最小值为－.
【答案】－
【反思领悟】利用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化否则就会导致错解．
【变式探究】方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．
【解析】若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即×x＋2x＝a有解，∵×x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时取等号．故a的最小值为1.
【答案】1
解题方法九 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
例9、(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【变式探究】有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a，b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直．其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个[来源:]
【解析】利用立体几何中有关垂直的判定与性质定理对上述3个命题作出判断，易得都是正确的，故选D.
【答案】D
【变式探究】已知f(x)＝则f的值等于( )
A．0 B．π C．π2 D．9
【解析】由f＝f{f(0)}＝f{π}＝π2可知，选C。
【答案】C
解题方法十 特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
一、取特殊值
例1、若0≤α≤2π，sin α＞cos α，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】取α＝，排除A；α＝π，排除B；α＝，排除D.故选C.
【答案】C
【变式探究】(1)a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则( )
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
(2)若x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．a
(2)令x＝e－，则a＝－，b＝－1，c＝－.故选C.
【答案】(1)B (2)C
二、取特殊函数
例2、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a＋b≤0，给出下列不等式：
①f(a)·f(－a)≤0；
②f(b)·f(－b)≥0；
③f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)；
④f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
其中正确的不等式序号是( )
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
【解析】取f(x)＝－x，逐项检查可知①④正确．故选B.
【答案】B
【变式探究】如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，则a＝( )
A. B．－ C．1 D．－1
【解析】因为点(0，0)与点关于直线x＝－对称，所以a必满足：sin 0＋acos 0＝sin＋acos，解出a＝－1，从而可以排除A, B, C．故选D.
【答案】D
三、利用特殊数列
例3、已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a102＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
【解析】取满足题意的特殊数列{an}＝0，则a3＋a99＝0.故选C.
【答案】C
四、选择特殊位置
例4、直三棱柱ABCA′B′C′的体积为V，P，Q分别为侧棱AA′，CC′上的点，且AP＝C′Q，则四棱锥BAPQC的体积是( )
A.V B.V C.V D.V
【解析】令P，Q分别为侧棱AA′，CC′的中点，则可得V＝SA′ACC′h，VB－APQC＝SAPQCh＝hSA′ACC′＝V.故选B.
【答案】B
五、利用特殊方程
例5、双曲线b2x2－a2y2＝a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e，则cos等于( )
A．e B．e2 C. D.
解题方法十一 图象法
图象法就是利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法．这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速．
例11、若关于x的方程＝kx＋2有唯一实数解，则实数k为( )
A．k＝±[来源:]
B．k＜－2或k＞2
C．－2＜k＜2
D．k＜－2或k＞2或k＝±
【解析】如图，令y1＝，y2＝kx＋2，则它们分别表示半圆和过点(0，2)的直线系，由图可知，直线和半圆相切，以及交点横坐标在(－1, 1)内时，有一个交点．故选D.
【答案】D
解题方法十二 验证法
验证法(也叫代入法)就是将选项中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．
例12、满足＋＝2的值是( )
A．x＝3 B．x＝ C．x＝2 D．x＝1
【解析】将四个选项逐一代入，可知选D.[来源:]
【答案】D
解题方法十三 筛选法
筛选法(也叫排除法、淘汰法)就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．
例13、若x为三角形中的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x的值域是( )
A．(1，] B.
C. D.
【解析】因x为三角形中的最小内角，故x∈，由此可得y＝sin x＋cos x>1，排除B，C，D.故选A.
【答案】A
解题方法十四 分析法
分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法．
一、特征分析法
根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法．
例1、已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于( )
A. B.
C. D．5
【解析】由于受条件sin2 θ＋cos2 θ＝1的制约，故m为一确定的值，于是sin θ，cos θ的值应与m的值无关，进而tan 的值与m无关，又<θ<π，<<，∴tan >1.故选D.
【答案】D
二、逻辑分析法
通过对四个选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项，选出正确项的方法，称为逻辑分析法．①若A真B真，则A必排除，否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾．② 若A B，则A，B均假．③若A，B成矛盾关系，则必有一真，可否定C，D.
例2、设a，b是满足ab<0的实数，则( )
A．|a＋b|>|a－b|
B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b|
D．|a－b|<|a|＋|b|
【解析】∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误项C，D.又由ab<0，可令a＝1，b＝－1，代入知B为真．故选B.
【答案】B[来源:学+科+网]
解题方法十五 估算法
估算法就是一种粗略的计算方法，即对有关数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法．
例15、如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5 C．6 D.
【解析】连接BE，CE，则四棱锥EABCD的体积VEABCD＝×3×3×2＝6，又整个几何体大于部分的体积，所求几何体的体积V> VEABCD.故选D.学科_网
【答案】D
【变式探究】如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5
C．6 D.
【解析】连接BE，CE，四棱锥EABCD的体积为VEABCD＝×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何体的体积V>VEABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有，故选D.
【答案】D
解题方法十六 概念辨析法
概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．
例16、对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β＝{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B.
C. D．[2,3]
【解析】f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3＝x2＋3－a(x＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则即解得2≤a≤3.
【答案】D
【感悟提升】
函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．
【变式探究】若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x是“λ伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解题方法一 定义法
定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简单地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．
例1．在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m，4)在角α＋的终边上，则m＝ ( )学-科网
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
【解析】由题意得，tan α＝，tan＝＝，∴＝，∴m＝－6或1.
【答案】A
【感悟提升】利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，灵活利用相关的定义求解．如本例中根据双曲线的定义和椭圆定义建立方程组后就可求出|PF1|·|PF2|的值．
【变式探究】已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为 ( )
A． B．4 C． D．5
【解析】由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.
【答案】D
解题技巧二 数形结合法
数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
例2、(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2
C. D．2
解析：选A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.
因为P在圆C上，
所以P.
又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，
所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.
【变式探究】已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是 ( )
A．(1,2 017) B．(1,2 018)
C．(2,2 019) D．[2,2 019]
【答案】C
【反思领悟】数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如本例中结合y＝f(x)的图象求范围．
解题技巧三 排除法
排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．
例3、设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有( )
A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]
C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]
【解析】选项A，取x＝1.5，则[－x]＝[－1.5]＝－2，－[x]＝－[1.5]＝－1，显然[－x]≠－[x]；选项B，取x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，显然[2x]≠2[x]；选项C，取x＝y＝1.6，则[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝[1.6]＋[1.6]＝2，显然[x＋y]>[x]＋[y]．排除A，B，C，故选D.
【答案】D
【反思领悟】应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项．如本例中先利用函数f(x)为偶函数排除干扰项，然后取一特殊值验证函数值的大小．
【变式探究】
已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令＝a，＝b，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且＝ma，＝nb，则＋＝ ( )
A．3 B．4
C．5 D．
【解析】由于题中直线PQ的条件是过点E，所以该直线是一条“动”直线，但所求最后的结果是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．学-科网
如图，PQ∥BC，则＝，＝，此时m＝n＝，故＋＝3.
【答案】A
解题技巧四 估值法
估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．
例4、若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin ，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
【解析】由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y＝logπx，y＝log2x均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈(0,1)，因为sin π∈(0,1)，所以c＝log2sin <0.
综上，a>1>b>0>c，即a>b>c.
【答案】A
【变式探究】已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是 ( )
A．π B．π
C．4π D．π
【解析】球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝>5π，只有D选项符合，故选D.
【答案】D
解题技巧五 待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等．
例5、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，
可得＝×2.①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得 ＝.②
由①②解得a＝2，b＝，
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】D
【反思领悟】待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如本例中已知双曲线的焦点在抛物线y2＝4x的准线上，根据已知条件列方程求解a，b即可．
【变式探究】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S5＝25，则S7＝ ( )
A．41 B．48
C．49 D．56
【解析】设Sn＝An2＋Bn，
由题知，解得A＝1，B＝0，
∴S7＝49.
【答案】C
解题技巧六 换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等．
例6、已知正数x，y满足4y－＝1，则x＋2y的最小值为________．
【反思领悟】换元法主要有常量代换和变量代换，要根据所求解问题的特征进行合理代换．如本例中就是使用常数1的代换，将已知条件化为“＋＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其展开，通过构造基本不等式的形式求解最值．
【变式探究】若函数f(x)＝，其定义域为(－∞，1]，则a的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【解析】由题意得1＋3x＋a·9x≥0的解集为(－∞，1]，即2＋x＋a≥0的解集为(－∞，1]．令t＝x，则t≥，
即方程t2＋t＋a≥0的解集为，
∴2＋＋a＝0，所以a＝－.
【答案】A
解题方法七 构造法
构造法求解选择、填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括、积极联想、横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、数列、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．
例7、(1)若a＝ln －，b＝ln －，c＝ln －，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
【解析】 (1)令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝.当0
∵1>>>>0，∴a>b>c.学科_网
【答案】 (1)A
(2)如图，已知球O的表面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．
【解析】如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，
所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
【答案】π
【反思领悟】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．如本例(2)中巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题就很容易得到解决．
【变式探究】关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请360名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对(x，y)；然后统计x，y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)的个数m；再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m＝102，那么可以估计π≈________(用分数表示)．
【解析】(构造可行域求解)两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x，y)所需满足的条件为
作出满足不等式组的可行域，如图中阴影部分所示，依题意有＝，解得π＝.
【答案】
解题技巧八 分离参数法
分离参数法是不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况．
例8、若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．
【解析】由于x>0，
则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，
而当x∈时，max＝－，
∴a≥－，故a的最小值为－.
【答案】－
【反思领悟】利用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于准确分离参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化否则就会导致错解．
【变式探究】方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．
【解析】若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即×x＋2x＝a有解，∵×x＋2x≥1，当且仅当x＝－1时取等号．故a的最小值为1.
【答案】1
解题方法九 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
例9、(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
【变式探究】有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a，b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直．其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个[来源:]
【解析】利用立体几何中有关垂直的判定与性质定理对上述3个命题作出判断，易得都是正确的，故选D.
【答案】D
【变式探究】已知f(x)＝则f的值等于( )
A．0 B．π C．π2 D．9
【解析】由f＝f{f(0)}＝f{π}＝π2可知，选C。
【答案】C
解题方法十 特例法
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
一、取特殊值
例1、若0≤α≤2π，sin α＞cos α，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】取α＝，排除A；α＝π，排除B；α＝，排除D.故选C.
【答案】C
【变式探究】(1)a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则( )
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
(2)若x∈(e－1，1)，a＝ln x，b＝2ln x，c＝ln3x，则( )
A．a
(2)令x＝e－，则a＝－，b＝－1，c＝－.故选C.
【答案】(1)B (2)C
二、取特殊函数
例2、定义在R上的奇函数f(x)为减函数，设a＋b≤0，给出下列不等式：
①f(a)·f(－a)≤0；
②f(b)·f(－b)≥0；
③f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)；
④f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
其中正确的不等式序号是( )
A．①②④ B．①④ C．②④ D．①③
【解析】取f(x)＝－x，逐项检查可知①④正确．故选B.
【答案】B
【变式探究】如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，则a＝( )
A. B．－ C．1 D．－1
【解析】因为点(0，0)与点关于直线x＝－对称，所以a必满足：sin 0＋acos 0＝sin＋acos，解出a＝－1，从而可以排除A, B, C．故选D.
【答案】D
三、利用特殊数列
例3、已知等差数列{an}满足a1＋a2＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101＞0 B．a2＋a102＜0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
【解析】取满足题意的特殊数列{an}＝0，则a3＋a99＝0.故选C.
【答案】C
四、选择特殊位置
例4、直三棱柱ABCA′B′C′的体积为V，P，Q分别为侧棱AA′，CC′上的点，且AP＝C′Q，则四棱锥BAPQC的体积是( )
A.V B.V C.V D.V
【解析】令P，Q分别为侧棱AA′，CC′的中点，则可得V＝SA′ACC′h，VB－APQC＝SAPQCh＝hSA′ACC′＝V.故选B.
【答案】B
五、利用特殊方程
例5、双曲线b2x2－a2y2＝a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e，则cos等于( )
A．e B．e2 C. D.
解题方法十一 图象法
图象法就是利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法．这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速．
例11、若关于x的方程＝kx＋2有唯一实数解，则实数k为( )
A．k＝±[来源:]
B．k＜－2或k＞2
C．－2＜k＜2
D．k＜－2或k＞2或k＝±
【解析】如图，令y1＝，y2＝kx＋2，则它们分别表示半圆和过点(0，2)的直线系，由图可知，直线和半圆相切，以及交点横坐标在(－1, 1)内时，有一个交点．故选D.
【答案】D
解题方法十二 验证法
验证法(也叫代入法)就是将选项中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选项的一种方法．在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度．
例12、满足＋＝2的值是( )
A．x＝3 B．x＝ C．x＝2 D．x＝1
【解析】将四个选项逐一代入，可知选D.[来源:]
【答案】D
解题方法十三 筛选法
筛选法(也叫排除法、淘汰法)就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项入手，根据题设条件与各选项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选项进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法．使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．
例13、若x为三角形中的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x的值域是( )
A．(1，] B.
C. D.
【解析】因x为三角形中的最小内角，故x∈，由此可得y＝sin x＋cos x>1，排除B，C，D.故选A.
【答案】A
解题方法十四 分析法
分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法．
一、特征分析法
根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法．
例1、已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于( )
A. B.
C. D．5
【解析】由于受条件sin2 θ＋cos2 θ＝1的制约，故m为一确定的值，于是sin θ，cos θ的值应与m的值无关，进而tan 的值与m无关，又<θ<π，<<，∴tan >1.故选D.
【答案】D
二、逻辑分析法
通过对四个选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项，选出正确项的方法，称为逻辑分析法．①若A真B真，则A必排除，否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾．② 若A B，则A，B均假．③若A，B成矛盾关系，则必有一真，可否定C，D.
例2、设a，b是满足ab<0的实数，则( )
A．|a＋b|>|a－b|
B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b|
D．|a－b|<|a|＋|b|
【解析】∵A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误项C，D.又由ab<0，可令a＝1，b＝－1，代入知B为真．故选B.
【答案】B[来源:学+科+网]
解题方法十五 估算法
估算法就是一种粗略的计算方法，即对有关数值作扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法．
例15、如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5 C．6 D.
【解析】连接BE，CE，则四棱锥EABCD的体积VEABCD＝×3×3×2＝6，又整个几何体大于部分的体积，所求几何体的体积V> VEABCD.故选D.学科_网
【答案】D
【变式探究】如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为( )
A. B．5
C．6 D.
【解析】连接BE，CE，四棱锥EABCD的体积为VEABCD＝×3×3×2＝6，又多面体ABCDEF的体积大于四棱锥EABCD的体积，即所求几何体的体积V>VEABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有，故选D.
【答案】D
解题方法十六 概念辨析法
概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．
例16、对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β＝{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )
A．[2,4] B.
C. D．[2,3]
【解析】f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，∴0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3＝x2＋3－a(x＋1)必经过点(－1,4)，∴要使其零点在区间[0,2]上，则即解得2≤a≤3.
【答案】D
【感悟提升】
函数的创新命题是高考的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，要求考生在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的信息进行有效整合，并转化为熟悉的知识加以解决．
【变式探究】若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x是“λ伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
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