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2020届二轮复习排列组合问题的常用方法总结教案(全国通用)
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排列组合问题的常用方法总结1
典例分析
直接法
(优先考虑特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分类讨论)
【例1】 从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动,要求翻译有人参加,交通和礼仪各有人参加,则不同的选派方法共有 .
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】.
【答案】60;
【例2】 北京《财富》全球论坛期间,某高校有名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,北京高考
【解析】略
【答案】A;
【例3】 在平面直角坐标系中,轴正半轴上有个点,轴正半轴有个点,将轴上这个点和轴上这个点连成条线段,这条线段在第一象限内的交点最多有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A;,选A.
【答案】A;
【例4】 一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
⑴从中任取个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
⑵若取一个红球记分,取一个白球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴将取出个球分成三类情况:
①取个红球,没有白球,有种;
②取个红球个白球,有种;
③取个红球个白球,有种;
∴.
⑵设取个红球,个白球,则,
∴或或,
∴符合题意的取法种数有种.
【例5】 一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球.
⑴从口袋内取出个球,共有多少种取法?
⑵从口袋内取出个球,使其中含有个黑球,有多少种取法?
⑶从口袋内取出个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴从口袋内的个球中取出个球,取法种数是;
⑵从口袋内取出个球有个是黑球,于是还要从个白球中再取出个,
取法种数是;
⑶由于所取出的个球中不含黑球,也就是要从个白球中取出个球,
取法种数是.
【例6】 有名划船运动员,其中人只会划左舷,人只会划右舷,其余人既会划左舷也会划右舷.从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的选法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】
(种)
答:一共有种不同选法.
【答案】2174;
【例7】 若,则,就称是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A;具有伙伴关系的元素组有、、、共四组,
它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为,选A.
【答案】A;
【例8】 从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,朝阳区高三一模
【解析】A;由比例知抽取的人中,有个女生,个男生,
于是问题转化为在名女生中抽出个女生,名男生中抽出个男生的抽法数.易知答案为.
【答案】A
【例9】 某城市街道呈棋盘形,南北向大街条,东西向大街条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】无论怎样走必须经过三横四纵,
因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题,故最短的走法有种.
【答案】35;
【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用步走完,则上楼梯的方法有______种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】;从二楼到三楼用步走完,共走级,则必有步每步走两级,
其余步每步级,
因此共有种方法.
【答案】35;
【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】设亚洲队队员为,欧洲队队员为,
下标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这个字母互相穿插的一个排列,最后是胜队中不被淘汰的队员和可能未参赛的队员,所以比赛过程可表示为个相同的白球和个相同黑球排列问题,比赛过程的总数为种.
【答案】252
【例12】 设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】含有个元素的集合的全部子集数为,
由个元素组成的子集数为,.
【答案】B;
【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳动一个单位,经过次跳动质点落在点(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法种数为 .
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题设知,质点向正方向跳动次,负方向跳动次,
因此质点的运动方法种数为种.
【答案】10;
【例14】 从名男同学,名女同学中选名参加体能测试,则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年,全国高考
【解析】选出的名同学中包含名男同学、名女同学的选法有种,
包含名女同学、名男同学的选法有种,故不同选法有种.
【答案】420;
【例15】 在的边上有四点,边上有共个点,连结线段,如果其中两条线段不相交,则称之为一对“和睦线”,和睦线的对数共有:( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A;上任意两点与上任两点恰好确定一对和睦线,共对,选A.
【答案】A;
【例16】 从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法种数有多少种?
⑴ 、必须当选;
⑵ 、都不当选;
⑶ 、不全当选;
⑷ 至少有2名女生当选;
⑸ 选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 除、选出外,从其它10个人中再选3人,
共有的选法种数为,(种).
⑵ 去掉、,从其它10个中选5人,共有的选法种数为:(种).
⑶ 按、的选取情况进行分类:、全不选的方法数为,、选1 人的方法数为,
共有选法(种).
⑷ 从反面考虑,用间接方法,去掉女同学不选或选1人的情况,所有方法总数为:
(种).
⑸ 选出一个男生担任体育班委,再选出1名女生担任文娱班委,剩下的10人中任取3人担任其它3个班委,用分步计数原理可得到所有方法总数为:(种).
【例17】 甲组有名男同学,名女同学;乙组有名男同学、名女同学.若从甲、乙两组中各选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,全国高考
【解析】D;分两类:甲组中选出一名女生有种选法;
乙组中选出一名女生有
种选法.故共有种选法.
【答案】D;
【例18】 从名大学毕业生中选人担任村长助理,则甲、乙至少有人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,湖南高考
【解析】C;分为两类:甲乙两人只去一个的选法有:;
甲乙都去有种,所以共有种.
【答案】C;
【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,福建高考
【解析】A;包括有一名女生和有两名女生两种情况,种数为.
【答案】A;
【例20】 要从个人中选出个人去参加某项活动,其中甲乙必须同时参加或者同时不参加,问共有多少种不同的选法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分成两类:若甲乙同时参加,则从剩下的人中再选择一个,有种选法;
若甲乙同时不参加,则从剩下的人中选择四人参加,有种选法,
故满足条件的选法共有(种).
【答案】98;
【例21】 有四个停车位,停放四辆不同的车,有几种不同的停法?若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上,共有多少种不同的停法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】四辆车全排有种排法;若其中的一辆车必须停放在两边,
则先选择一个停车位停放这辆车,其它辆车全排,共有种停法.
【答案】12;
【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日,每天安排一名学生,其中学生甲只能安排到周一或周二,学生乙不能安排在周五,则他们不同的值日安排有( )
A.288种 B.72种 C.42种 D.36种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年,丰台区2模
【解析】甲有种安排,甲排好后,乙有种,然后剩下的人有种,共种
【答案】D;
【例23】 某班有名男生,名女生,现要从中选出人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于人的选法为( )
A. B.
C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】男生人,女生人,有;男生人,女生人,有,
共计.
【答案】D;
【例24】 用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位,数字6不在千位.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴个位和千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,
由乘法原理:.
⑵当1在千位时余下三位有,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下的有,共有.所以总共有种.
【答案】252
【例25】 甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛,决出了第一到第五的名次,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军”,对乙说:“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,人的名次排列共有_______(用数字作答)种不同情况.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】冠军可能是丙、丁、戊中的一个,有种可能;
副班长(垫底的)除去冠军和乙外,也有种情况;
剩下的个人名次从第二到第四随便排列,有种,
故共有种可能.
【答案】54;
【例26】 某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城1模
【解析】略
【答案】A;
【例27】 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,崇文2模
【解析】先排奇数,有种.奇数排好后,偶数有种位置选择,每种有种排列方法,
故五位数的个数共有个.
【答案】D;
【例28】 某电视台连续播放个不同的广告,其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城2模
【解析】考虑五个空位,选择一个奥运广告放在最后一个空位上,
再从前三个空位中选择一个空位放置余下的一个奥运广告,最后将三个商业广告全排,有(种);
【答案】C;
【例29】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,
要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有_____种(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年,福建高考
【解析】特殊位置优先安排,因为甲、乙不去巴黎,故从其余4人选1人去巴黎有种
方法,再从剩余5人中选3人去其余3市,有种方法,所以共有方案
种.
【答案】240;
【例30】 从名男生和名女生中选出人,分别从事三项不同的工作,若这人中至少有名女生,则选派方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】可能情况有个女生个男生,个女生个男生和个女生.
【答案】B;
【例31】 甲组有名男同学,名女同学;乙组有名男同学、名女同学.若从甲、乙两组中各选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,全国高考
【解析】分两类:甲组中选出一名女生有种选法;
乙组中选出一名女生有种选法.故共有种选法.
【答案】D;
【例32】 将名大学生分配到个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有_______种(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】分两步完成:第一步将名大学生按分成三组,其分法有种;
第二步将分好的三组分配到个乡镇,有种.所以满足条件的分配方案有种.
【答案】36;
【例33】 用数字可以组成没有重复数字,并且比大的五位偶数共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,四川高考
【解析】B;分类讨论:
①若首位为或,则先选择首位与末位有种方法,再选择中间的三位有种方法,共有种方法;
②若首位为或,则首位有种选法,末位从与中选择,有种选法,剩下的三位全排,有种排法,共有种排法;
故满足条件的数共有个.
【答案】B;
【例34】 一生产过程有道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等名工人中安排人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排人,则不同的安排方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,辽宁高考
【解析】若第一道工序安排甲,由最后一道工序只能安排丙,
从其它四人中安排两人在中间两道工序上,共有种;若第一道工序安排乙,最后一道工序只能安排甲或丙,共有种安排方案.故总共的安排方案有种.
【答案】B;
【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为 ( )
A.36 B.42 C. 48 D.60
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,崇文一模
【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1,2,3,4,5.于是甲只能位于2,3,4号位.
i) 当甲位于2号位时,3位女生必须分别位于1,3,4位或者1,4,5位.于是相应的排法总数为;
ii) 当甲位于3号位时,3位女生必须分别位于1,2,4位或者1,2,5位或者1,4,5或者2,4,5位.于是相应的排法总数为.
iii) 当甲位于4号位时,情形与i)相同.排法总数为.
综上,知本题所有的排法数为12+24+12=48.
【答案】C;
【例36】 从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,北京市朝阳1模
【解析】A;由比例知抽取的人中,有个女生,个男生,
于是问题转化为在名女生中抽出个女生,名男生中抽出个男生的抽法数.易知答案为
【答案】A;
【例37】 名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排人,则不同的安排方案共有 种(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】1星
【题型】填空
【关键字】2009年,海南宁夏高考
【解析】.
【答案】140;
【例38】 给定集合,映射满足:
①当时,;
②任取,若,则有.
则称映射:是一个“优映射”.例如:用表1表示的映射:是一个“优映射”.
表1
表2
1
2
3
2
3
1
⑴
1
2
3
4
3
已知表2表示的映射:是一个优映射,请把表2补充完整(只需填出一个满足条件的映射);
⑵若映射:是“优映射”,且方程的解恰有6个,则这样的“优映射”的个数是_____.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年,海淀2模
【解析】略
【答案】⑴
或
⑵.
⑴由,且知,,于是分别为,不计顺序;
⑵若,由知,由知,此时必有,,不符合题意,故;
设,,则其它数都满足,不妨设,
则由题意知必有,,,,故只需从中选出即可,共有种选法.
【例39】 将个不同的小球全部放入编号为和的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有__________种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年,高考数学二轮冲刺专题测试
【解析】91;编号为的盒子可以放入球的个数为2,3,4,
于是不同的放球的方法数.
【答案】91;
【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,天津高考
【解析】分情况讨论:
①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有种方法;
②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有种方法;
则不同的放球方法有10种,选A.
【答案】A;
【例41】 一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
⑴从中任取个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
⑵若取一个红球记分,取一个白球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴将取出个球分成三种情况:①个红球,没有白球,有种;
②取个红球个白球,有种;③取个红球个白球,有种.
因此红球的个数不比白球少的取法有种.
⑵设取红球的个数为,白球的个数为,,则
,符合要求的有,,
因此总分不少于分的取法有.
【答案】186
【例42】 正整数称为凹数,如果,且,其中,请回答三位凹数共有 个(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】
【答案】240
【例43】 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年,广东高考
【解析】分两类:只有小张或小赵;小张,小赵都在,
共有种方案.
【答案】A
【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有_______种.(用数字作答)
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】按照第一棒为丙,第一棒为甲乙两种情况,.
【答案】96
【例45】 某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分类讨论,由于情况太多,要做到不重不漏.
出牌的方法可分为以下几类:
⑴5张牌全部分开出,有种方法;
⑵2张2一起出,3张A一起出,有种方法;
⑶2张2一起出,3张A分开出,有种方法;
⑷2张2一起出,3张A分两次出,有种方法;
⑸2张2分开出,3张A一起出,有种方法;
⑹2张2分开出,3张A分两次出,有种方法;
因此,共有不同的出牌方法种.
【答案】860;
【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作,则不同的选派方法有( )
A.种 B.种 C.种 D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】D;
【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( )
A.种 B.3种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A;
【例48】 袋中装有分别编号为的个白球和个黑球,从中取出个球,则取出球的编号互不相同的取法有( )
A.种 B.种 C.种 D.种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,西城2模
【解析】分析:从四个编号中任取三个编号,再对选出的每个编号的两个球
中任选一个球即可,故共有取法:(种)
【答案】C;
【例49】 现有男、女学生共人,从男生中选人,从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有种不同方案,那么男、女生人数分别是( )
A.男生人,女生人 B.男生人,女生人
C.男生人,女生人 D.男生人,女生人.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】设男学生有人,则女学生有人,则,
即,解得.
【答案】B;
【例50】 将个小球任意放入个不同的盒子中,
⑴若个小球各不相同,共有多少种放法?
⑵若要求每个盒子都不空,且个小球完全相同,共有多少种不同的放法?
⑶若要求每个盒子都不空,且个小球互不相同,共有多少种不同的放法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴每个小球有个放法,共有种放法;
⑵,故只需选一个盒子放两个球即可,故有种放法;
⑶个小球不同时,选择一个盒子放两个球有种,选择两个小球放入该盒,有种选法,其他两个小球全排,故有种.
【例51】 将个小球任意放入个不同的盒子中,每个盒子都不空,
⑴若个小球完全相同,共有多少种不同的放法?
⑵若个小球互不相同,共有多少种不同的放法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴法一:∵,
∴分三类,共有分法;
法二(隔板法):将个小球排成一排,插入块隔板,
故共有分法种;
法三(加号法):将写成个相加,共有个加号,从中任意选定两个加号,则这个被分成三组,每组的和都大于,对应一种放球的方法,故共有分法种;
⑵∵,
当小球分成时,有种排法;
当小球分成时,有种排法;
当小球分成时,有种排法;
∴共有分法种.
也可通过平均分组考虑此问:
共有分法种.
【例52】 四个不同的小球,每球放入编号为、、、的四个盒子中.
⑴ 随便放(可以有空盒,但球必须都放入盒中)有多少种放法?
⑵ 四个盒都不空的放法有多少种?
⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种?
⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种?
⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析:⑴注意合理的分类;⑵可以用前面例题中先分堆再排列的方法.
解析:⑴ 由于可以随便放,故每个小球都有种放法,所以放法总数是种.
⑵ 将四个小球全排列后放入四个盒子即可,所以放法总数是种 .
⑶ 由题意,必然四个小球放入三个盒子中,分三步完成:选出三个盒子;将四个小球分成三堆;将三堆小球全排列后放入三个盒子,所以放法总数是:种.
⑷ 由题意,必然四个小球放入个盒子中.
方法一:分三步完成,选出两个盒子;将四个小球分成两堆;将两堆小球全排列放入两个盒子.所以放法总数是:种.
⑸ 分三类放法.
第一类:甲球放入号盒子,即,则乙球有种放法(可放入号盒子),其余两球可以随便放入四个盒子,有种放法.故此类放法的种数是;
第二类:甲球放入号盒子,即,则乙球有种放法(可放入号盒子),其余两球随便放,有种放法.故此类放法的种数是;
第三类:甲球放入号盒子,即,则乙球只有种放法(放入号盒子),其余两球随便放,有种放法.故此类放法的种数是.
综上,所有放法的总数是:种.
本题也可这样理解:先选出两个盒子放入甲、乙两球,有种放法;另外两球随便放,有种放法,由乘法原理,所有放法的总数是种.
【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳个单位,若经过次跳动质点落在点处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共___________种;若经过次跳动质点落在点处(允许重复过此点),其中,且为偶数,则质点不同的运动方法共有_______种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年,北京丰台高三统一练习
【解析】易知质点必须经过4次右移,1次左移才可以达到题述要求,
于是在5次跳动里选一次左移即可.答案为.同理,次跳动必须经过次左移,次右移方可达到点.答案是
【答案】,;
【例54】 设集合,选择的两个非空子集和,要使中最小的数大于中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】2018年,全国高考
【解析】不妨设中最小的元素为,于是为的一个非空子集,
一共种选法,中元素除外为的一个子集,共种选法.于是当中最小元素为时,不同的选择方法数为.
于是所有的取法数为
【答案】B
【例55】 是集合到集合的映射,是集合到集合的映射,则不同的映射的个数是多少?有多少?满足的映射有多少?满足的映射对有多少?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】:,中每个元素的象有三种选择,故共有不同的映射的个数为
个;
同理的个数有.
,故满足的映射有:
个.
,对于中的任意一个元素,经映射后的像有种选择,要满足,对来说,有互不相等,否则有,,中有相等的值出现,不符合题意;从而满足的共有个;
当确定后,在的值域上的函数值是唯一的,需满足,不属于的值域的数在的映射下的象任意,故对于每一个,有个与之对应,使.故满足条件的映射对共有个.
【例56】 排球单循坏赛,胜者得分,负者分,南方球队比北方球队多支,南方球队总得分是北方球队的倍,
设北方的球队数为.
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分;
⑵证明:或;
⑶证明:冠军是一支南方球队.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴由题设南方球队有支,所有球队总得分为.
北方球队总得分为,北方球队之间比赛总得分.
⑵显然,解得.
又因为,经验算只有或满足要求.
⑶当时,北方球队总得分为,北方球队之间得分为,从而北方球队胜南方球队所获得的分数和为,因此北方球队的最高得分为.
又因为南方支球队总得分为,故南方球队中至少有一支得分超过分,因而冠军为南方球队.
当时,类似的,北方球队总得分为,北方球队之间得分为,北方球队胜南方球队所获得的分数和为,因此北方球队的最高得分为.
而南方支球队总得分为,故南方球队中至少有一支得分超过分,因而冠军必为南方球队.
【例57】 已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意.设是的任意的一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城2模
【解析】易知对于的任意排列与,
第一行是与第一行是的数表的张数是一样的,因此所求的数目为,其中为时的数表的张数.下面求,考虑的取值,有种可能或,取定后,也有种可能,剩下的都唯一确定,故.从而要求的数表数为.
【答案】A;
间接法(直接求解类别比较大时)
【例58】 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,
类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个,
其中0在百位的有个,这是不合题意的.
故共可组成不同的三位数(个)
【答案】432;
【例59】 从中取一个数字,从中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,丰台1模
【解析】从中取一个数字,从中取两个数字进行排列,
然后在得到的排列中去掉首数字为的即满足题意,因此为所求.
【答案】B;
【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有取法,
其中侧面上的四点不能构成三棱锥,故有15-3=12个不同的三棱锥.
【答案】12;
【例61】 设集合,集合是的子集,且满足,,那么满足条件的子集的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,西城2模
【解析】的三元子集中不满足条件的只有,因此满足条件的子集的个数为
.
【答案】D;
【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】用间接法解答:四名学生中选两名学生分在一个班的种数是,
顺序有种,而甲乙被分在同一个班的有种,所以种数是.
【答案】C;
【例63】 某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城1模
【解析】分析:从中任选人,除去全是男生和全是女生的情况即可,故共有选法
(种);
【答案】A;
【例64】 对于各数互不相等的正数数组(是不小于的正整数),如果在时有,则称“与”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组中有顺序“”,“”,其“顺序数”等于.若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是,则的“顺序数”是_________.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年,丰台2模
【解析】一方面,如果在时有,与“顺序”类似的定义“倒序”,
则对一个元数组,有“顺序数”与“逆序数”的和为;
另一方面,如果将一个元数组按原来的倒序排列,那么新数组的每个“顺序”都是和原数组的“倒序”是以一一对应的,所以“顺序数”与原数组的“倒序数”相等;
综上,为所求.
【答案】6;
【例65】 已知集合,,,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,山东高考
【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为,
但集合中有相同元素,由三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为个,选A.
【答案】A;
【例66】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年,浙江高考
【解析】每个人都有种站法,根据乘法原理知共有种站法,
减去不符合条件的,
即三个人站在同一级台阶上的种,共有种.
【答案】336;
【例67】 设有编号为,,,,的五个球和编号为,,,,的五个盒子,现将这五个球放入个盒子内,
⑴只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
⑵没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
⑶每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴;选出两个球,归为一组,从五个盒子中选出四个盒子,
把这四组球放入;
⑵;
⑶.
【例68】 在排成的方阵的个点中,中心个点在某一个圆内,其余个点在圆外,在个点中任选个点构成三角形,其中至少有一顶点在圆内的三角形共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A;
【例69】 从甲、乙等名同学中挑选名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有人参加,则不同的挑选方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,四川高考
【解析】从个同学中挑选名参加某项公益活动有种不同挑选方法;
从甲、乙之外的个同学中挑选名参加某项公益活动有种不同挑选方法;
∴甲、乙中至少有人参加的方法有种.
【答案】C;
【例70】 若关于的方程组有解,且所有解都是整数,则有序数对的数目为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】易知整数解只有或,
总共个整数解,问题转化为求与圆的交点为这个整点的直线的条数,共有条(是切线的数目),注意到不过原点,故还要减去过原点的条直线,因此所求的数目为.
【答案】D;
【例71】 从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,辽宁高考
【解析】直接法:一男两女,有种,两男一女,有种,共种;
间接法:任意选取种,其中都是男医生有种,都是女医生有种,于是符合条件的有种.
【答案】A;
【例72】 甲、乙两人从门课程中各选修门,则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,全国高考
【解析】用间接法即可,种.
【答案】C;
【例73】 ,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的的子集个数为_____.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】直接法:分三类,在个偶数中分别选个,个,个偶数,其余选奇数,
;
间接法:减去没有偶数和只有个偶数的,.
【答案】105;
【例74】 在由数字0,1,2,3,4所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_______个.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法,总的4位数有个,被5整除即个位为0的4位数有个,
因此不能被5整除的数有个.
【答案】72;
【例75】 在的边上取个点,在边上取个点(均除点外),连同点共个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作出三角形的个数为多少?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】解法一:
分三类:
①从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有个;
②从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有个;
③从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有个.
由加法原理共有个三角形.
解法二:
从中任取三点共有个,其中三点均在射线OA(包括O点)上,有个,三点均在射线OB(包括O点)上,有个.所以,个数为个
【答案】90
【例76】 共个人,从中选名组长名副组长,但不能当副组长,不同的选法总数是( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】不考虑限制条件有,若偏偏要当副组长有,为所求
【答案】B;
【例77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,湖北高考
【解析】用间接法解答:四名学生中选两名学生分在一个班的种数是,
顺序有种,而甲乙被分在同一个班的有种,所以种数是.
【答案】C;
【例78】 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成___ _个三角形.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法,任选3个点的方法数减去3点共线的情况,即为所求个.
【答案】76
【例79】 从名奥运志愿者中选出名,分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作,每人承担一项,其中甲不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,西城2模
【解析】从中任选人全排,除去甲从事翻译工作的情况,共有方案:(种).
【答案】C;
【例80】 某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教(每地人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】用间接法求解简单;也可直接法分3类求解.
【答案】A;
【例81】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各
一台,则不同的选法有_____种(用数字作答)
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法,取3台电视的方法数有种,不含甲型的取法有种,不含乙型的
取法有种,故甲、乙型都有的取法有种.
【答案】70;
排列组合问题的常用方法总结1
典例分析
直接法
(优先考虑特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分类讨论)
【例1】 从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动,要求翻译有人参加,交通和礼仪各有人参加,则不同的选派方法共有 .
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】.
【答案】60;
【例2】 北京《财富》全球论坛期间,某高校有名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,北京高考
【解析】略
【答案】A;
【例3】 在平面直角坐标系中,轴正半轴上有个点,轴正半轴有个点,将轴上这个点和轴上这个点连成条线段,这条线段在第一象限内的交点最多有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A;,选A.
【答案】A;
【例4】 一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
⑴从中任取个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
⑵若取一个红球记分,取一个白球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴将取出个球分成三类情况:
①取个红球,没有白球,有种;
②取个红球个白球,有种;
③取个红球个白球,有种;
∴.
⑵设取个红球,个白球,则,
∴或或,
∴符合题意的取法种数有种.
【例5】 一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球.
⑴从口袋内取出个球,共有多少种取法?
⑵从口袋内取出个球,使其中含有个黑球,有多少种取法?
⑶从口袋内取出个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴从口袋内的个球中取出个球,取法种数是;
⑵从口袋内取出个球有个是黑球,于是还要从个白球中再取出个,
取法种数是;
⑶由于所取出的个球中不含黑球,也就是要从个白球中取出个球,
取法种数是.
【例6】 有名划船运动员,其中人只会划左舷,人只会划右舷,其余人既会划左舷也会划右舷.从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的选法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】
(种)
答:一共有种不同选法.
【答案】2174;
【例7】 若,则,就称是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A;具有伙伴关系的元素组有、、、共四组,
它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为,选A.
【答案】A;
【例8】 从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,朝阳区高三一模
【解析】A;由比例知抽取的人中,有个女生,个男生,
于是问题转化为在名女生中抽出个女生,名男生中抽出个男生的抽法数.易知答案为.
【答案】A
【例9】 某城市街道呈棋盘形,南北向大街条,东西向大街条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】无论怎样走必须经过三横四纵,
因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题,故最短的走法有种.
【答案】35;
【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用步走完,则上楼梯的方法有______种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】;从二楼到三楼用步走完,共走级,则必有步每步走两级,
其余步每步级,
因此共有种方法.
【答案】35;
【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】设亚洲队队员为,欧洲队队员为,
下标表示事先排列的出场顺序,若以依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这个字母互相穿插的一个排列,最后是胜队中不被淘汰的队员和可能未参赛的队员,所以比赛过程可表示为个相同的白球和个相同黑球排列问题,比赛过程的总数为种.
【答案】252
【例12】 设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】含有个元素的集合的全部子集数为,
由个元素组成的子集数为,.
【答案】B;
【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳动一个单位,经过次跳动质点落在点(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法种数为 .
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】由题设知,质点向正方向跳动次,负方向跳动次,
因此质点的运动方法种数为种.
【答案】10;
【例14】 从名男同学,名女同学中选名参加体能测试,则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】2018年,全国高考
【解析】选出的名同学中包含名男同学、名女同学的选法有种,
包含名女同学、名男同学的选法有种,故不同选法有种.
【答案】420;
【例15】 在的边上有四点,边上有共个点,连结线段,如果其中两条线段不相交,则称之为一对“和睦线”,和睦线的对数共有:( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】A;上任意两点与上任两点恰好确定一对和睦线,共对,选A.
【答案】A;
【例16】 从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法种数有多少种?
⑴ 、必须当选;
⑵ 、都不当选;
⑶ 、不全当选;
⑷ 至少有2名女生当选;
⑸ 选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴ 除、选出外,从其它10个人中再选3人,
共有的选法种数为,(种).
⑵ 去掉、,从其它10个中选5人,共有的选法种数为:(种).
⑶ 按、的选取情况进行分类:、全不选的方法数为,、选1 人的方法数为,
共有选法(种).
⑷ 从反面考虑,用间接方法,去掉女同学不选或选1人的情况,所有方法总数为:
(种).
⑸ 选出一个男生担任体育班委,再选出1名女生担任文娱班委,剩下的10人中任取3人担任其它3个班委,用分步计数原理可得到所有方法总数为:(种).
【例17】 甲组有名男同学,名女同学;乙组有名男同学、名女同学.若从甲、乙两组中各选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,全国高考
【解析】D;分两类:甲组中选出一名女生有种选法;
乙组中选出一名女生有
种选法.故共有种选法.
【答案】D;
【例18】 从名大学毕业生中选人担任村长助理,则甲、乙至少有人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,湖南高考
【解析】C;分为两类:甲乙两人只去一个的选法有:;
甲乙都去有种,所以共有种.
【答案】C;
【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,福建高考
【解析】A;包括有一名女生和有两名女生两种情况,种数为.
【答案】A;
【例20】 要从个人中选出个人去参加某项活动,其中甲乙必须同时参加或者同时不参加,问共有多少种不同的选法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分成两类:若甲乙同时参加,则从剩下的人中再选择一个,有种选法;
若甲乙同时不参加,则从剩下的人中选择四人参加,有种选法,
故满足条件的选法共有(种).
【答案】98;
【例21】 有四个停车位,停放四辆不同的车,有几种不同的停法?若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上,共有多少种不同的停法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】四辆车全排有种排法;若其中的一辆车必须停放在两边,
则先选择一个停车位停放这辆车,其它辆车全排,共有种停法.
【答案】12;
【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日,每天安排一名学生,其中学生甲只能安排到周一或周二,学生乙不能安排在周五,则他们不同的值日安排有( )
A.288种 B.72种 C.42种 D.36种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年,丰台区2模
【解析】甲有种安排,甲排好后,乙有种,然后剩下的人有种,共种
【答案】D;
【例23】 某班有名男生,名女生,现要从中选出人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于人的选法为( )
A. B.
C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】男生人,女生人,有;男生人,女生人,有,
共计.
【答案】D;
【例24】 用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位,数字6不在千位.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴个位和千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,
由乘法原理:.
⑵当1在千位时余下三位有,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下的有,共有.所以总共有种.
【答案】252
【例25】 甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛,决出了第一到第五的名次,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都未拿到冠军”,对乙说:“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,人的名次排列共有_______(用数字作答)种不同情况.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】冠军可能是丙、丁、戊中的一个,有种可能;
副班长(垫底的)除去冠军和乙外,也有种情况;
剩下的个人名次从第二到第四随便排列,有种,
故共有种可能.
【答案】54;
【例26】 某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城1模
【解析】略
【答案】A;
【例27】 用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,崇文2模
【解析】先排奇数,有种.奇数排好后,偶数有种位置选择,每种有种排列方法,
故五位数的个数共有个.
【答案】D;
【例28】 某电视台连续播放个不同的广告,其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城2模
【解析】考虑五个空位,选择一个奥运广告放在最后一个空位上,
再从前三个空位中选择一个空位放置余下的一个奥运广告,最后将三个商业广告全排,有(种);
【答案】C;
【例29】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,
要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有_____种(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年,福建高考
【解析】特殊位置优先安排,因为甲、乙不去巴黎,故从其余4人选1人去巴黎有种
方法,再从剩余5人中选3人去其余3市,有种方法,所以共有方案
种.
【答案】240;
【例30】 从名男生和名女生中选出人,分别从事三项不同的工作,若这人中至少有名女生,则选派方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】可能情况有个女生个男生,个女生个男生和个女生.
【答案】B;
【例31】 甲组有名男同学,名女同学;乙组有名男同学、名女同学.若从甲、乙两组中各选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,全国高考
【解析】分两类:甲组中选出一名女生有种选法;
乙组中选出一名女生有种选法.故共有种选法.
【答案】D;
【例32】 将名大学生分配到个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有_______种(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】分两步完成:第一步将名大学生按分成三组,其分法有种;
第二步将分好的三组分配到个乡镇,有种.所以满足条件的分配方案有种.
【答案】36;
【例33】 用数字可以组成没有重复数字,并且比大的五位偶数共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,四川高考
【解析】B;分类讨论:
①若首位为或,则先选择首位与末位有种方法,再选择中间的三位有种方法,共有种方法;
②若首位为或,则首位有种选法,末位从与中选择,有种选法,剩下的三位全排,有种排法,共有种排法;
故满足条件的数共有个.
【答案】B;
【例34】 一生产过程有道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等名工人中安排人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排人,则不同的安排方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,辽宁高考
【解析】若第一道工序安排甲,由最后一道工序只能安排丙,
从其它四人中安排两人在中间两道工序上,共有种;若第一道工序安排乙,最后一道工序只能安排甲或丙,共有种安排方案.故总共的安排方案有种.
【答案】B;
【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为 ( )
A.36 B.42 C. 48 D.60
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,崇文一模
【解析】不妨将5个位置从左到右编号为1,2,3,4,5.于是甲只能位于2,3,4号位.
i) 当甲位于2号位时,3位女生必须分别位于1,3,4位或者1,4,5位.于是相应的排法总数为;
ii) 当甲位于3号位时,3位女生必须分别位于1,2,4位或者1,2,5位或者1,4,5或者2,4,5位.于是相应的排法总数为.
iii) 当甲位于4号位时,情形与i)相同.排法总数为.
综上,知本题所有的排法数为12+24+12=48.
【答案】C;
【例36】 从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,北京市朝阳1模
【解析】A;由比例知抽取的人中,有个女生,个男生,
于是问题转化为在名女生中抽出个女生,名男生中抽出个男生的抽法数.易知答案为
【答案】A;
【例37】 名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排人,则不同的安排方案共有 种(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】1星
【题型】填空
【关键字】2009年,海南宁夏高考
【解析】.
【答案】140;
【例38】 给定集合,映射满足:
①当时,;
②任取,若,则有.
则称映射:是一个“优映射”.例如:用表1表示的映射:是一个“优映射”.
表1
表2
1
2
3
2
3
1
⑴
1
2
3
4
3
已知表2表示的映射:是一个优映射,请把表2补充完整(只需填出一个满足条件的映射);
⑵若映射:是“优映射”,且方程的解恰有6个,则这样的“优映射”的个数是_____.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年,海淀2模
【解析】略
【答案】⑴
或
⑵.
⑴由,且知,,于是分别为,不计顺序;
⑵若,由知,由知,此时必有,,不符合题意,故;
设,,则其它数都满足,不妨设,
则由题意知必有,,,,故只需从中选出即可,共有种选法.
【例39】 将个不同的小球全部放入编号为和的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有__________种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年,高考数学二轮冲刺专题测试
【解析】91;编号为的盒子可以放入球的个数为2,3,4,
于是不同的放球的方法数.
【答案】91;
【例40】 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,天津高考
【解析】分情况讨论:
①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有种方法;
②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有种方法;
则不同的放球方法有10种,选A.
【答案】A;
【例41】 一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
⑴从中任取个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
⑵若取一个红球记分,取一个白球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】⑴将取出个球分成三种情况:①个红球,没有白球,有种;
②取个红球个白球,有种;③取个红球个白球,有种.
因此红球的个数不比白球少的取法有种.
⑵设取红球的个数为,白球的个数为,,则
,符合要求的有,,
因此总分不少于分的取法有.
【答案】186
【例42】 正整数称为凹数,如果,且,其中,请回答三位凹数共有 个(用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】
【答案】240
【例43】 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2009年,广东高考
【解析】分两类:只有小张或小赵;小张,小赵都在,
共有种方案.
【答案】A
【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有_______种.(用数字作答)
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】按照第一棒为丙,第一棒为甲乙两种情况,.
【答案】96
【例45】 某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】分类讨论,由于情况太多,要做到不重不漏.
出牌的方法可分为以下几类:
⑴5张牌全部分开出,有种方法;
⑵2张2一起出,3张A一起出,有种方法;
⑶2张2一起出,3张A分开出,有种方法;
⑷2张2一起出,3张A分两次出,有种方法;
⑸2张2分开出,3张A一起出,有种方法;
⑹2张2分开出,3张A分两次出,有种方法;
因此,共有不同的出牌方法种.
【答案】860;
【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作,则不同的选派方法有( )
A.种 B.种 C.种 D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】D;
【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有( )
A.种 B.3种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A;
【例48】 袋中装有分别编号为的个白球和个黑球,从中取出个球,则取出球的编号互不相同的取法有( )
A.种 B.种 C.种 D.种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,西城2模
【解析】分析:从四个编号中任取三个编号,再对选出的每个编号的两个球
中任选一个球即可,故共有取法:(种)
【答案】C;
【例49】 现有男、女学生共人,从男生中选人,从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有种不同方案,那么男、女生人数分别是( )
A.男生人,女生人 B.男生人,女生人
C.男生人,女生人 D.男生人,女生人.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】设男学生有人,则女学生有人,则,
即,解得.
【答案】B;
【例50】 将个小球任意放入个不同的盒子中,
⑴若个小球各不相同,共有多少种放法?
⑵若要求每个盒子都不空,且个小球完全相同,共有多少种不同的放法?
⑶若要求每个盒子都不空,且个小球互不相同,共有多少种不同的放法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴每个小球有个放法,共有种放法;
⑵,故只需选一个盒子放两个球即可,故有种放法;
⑶个小球不同时,选择一个盒子放两个球有种,选择两个小球放入该盒,有种选法,其他两个小球全排,故有种.
【例51】 将个小球任意放入个不同的盒子中,每个盒子都不空,
⑴若个小球完全相同,共有多少种不同的放法?
⑵若个小球互不相同,共有多少种不同的放法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴法一:∵,
∴分三类,共有分法;
法二(隔板法):将个小球排成一排,插入块隔板,
故共有分法种;
法三(加号法):将写成个相加,共有个加号,从中任意选定两个加号,则这个被分成三组,每组的和都大于,对应一种放球的方法,故共有分法种;
⑵∵,
当小球分成时,有种排法;
当小球分成时,有种排法;
当小球分成时,有种排法;
∴共有分法种.
也可通过平均分组考虑此问:
共有分法种.
【例52】 四个不同的小球,每球放入编号为、、、的四个盒子中.
⑴ 随便放(可以有空盒,但球必须都放入盒中)有多少种放法?
⑵ 四个盒都不空的放法有多少种?
⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种?
⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种?
⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】分析:⑴注意合理的分类;⑵可以用前面例题中先分堆再排列的方法.
解析:⑴ 由于可以随便放,故每个小球都有种放法,所以放法总数是种.
⑵ 将四个小球全排列后放入四个盒子即可,所以放法总数是种 .
⑶ 由题意,必然四个小球放入三个盒子中,分三步完成:选出三个盒子;将四个小球分成三堆;将三堆小球全排列后放入三个盒子,所以放法总数是:种.
⑷ 由题意,必然四个小球放入个盒子中.
方法一:分三步完成,选出两个盒子;将四个小球分成两堆;将两堆小球全排列放入两个盒子.所以放法总数是:种.
⑸ 分三类放法.
第一类:甲球放入号盒子,即,则乙球有种放法(可放入号盒子),其余两球可以随便放入四个盒子,有种放法.故此类放法的种数是;
第二类:甲球放入号盒子,即,则乙球有种放法(可放入号盒子),其余两球随便放,有种放法.故此类放法的种数是;
第三类:甲球放入号盒子,即,则乙球只有种放法(放入号盒子),其余两球随便放,有种放法.故此类放法的种数是.
综上,所有放法的总数是:种.
本题也可这样理解:先选出两个盒子放入甲、乙两球,有种放法;另外两球随便放,有种放法,由乘法原理,所有放法的总数是种.
【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳个单位,若经过次跳动质点落在点处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共___________种;若经过次跳动质点落在点处(允许重复过此点),其中,且为偶数,则质点不同的运动方法共有_______种.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】2018年,北京丰台高三统一练习
【解析】易知质点必须经过4次右移,1次左移才可以达到题述要求,
于是在5次跳动里选一次左移即可.答案为.同理,次跳动必须经过次左移,次右移方可达到点.答案是
【答案】,;
【例54】 设集合,选择的两个非空子集和,要使中最小的数大于中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】选择
【关键字】2018年,全国高考
【解析】不妨设中最小的元素为,于是为的一个非空子集,
一共种选法,中元素除外为的一个子集,共种选法.于是当中最小元素为时,不同的选择方法数为.
于是所有的取法数为
【答案】B
【例55】 是集合到集合的映射,是集合到集合的映射,则不同的映射的个数是多少?有多少?满足的映射有多少?满足的映射对有多少?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】:,中每个元素的象有三种选择,故共有不同的映射的个数为
个;
同理的个数有.
,故满足的映射有:
个.
,对于中的任意一个元素,经映射后的像有种选择,要满足,对来说,有互不相等,否则有,,中有相等的值出现,不符合题意;从而满足的共有个;
当确定后,在的值域上的函数值是唯一的,需满足,不属于的值域的数在的映射下的象任意,故对于每一个,有个与之对应,使.故满足条件的映射对共有个.
【例56】 排球单循坏赛,胜者得分,负者分,南方球队比北方球队多支,南方球队总得分是北方球队的倍,
设北方的球队数为.
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分;
⑵证明:或;
⑶证明:冠军是一支南方球队.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴由题设南方球队有支,所有球队总得分为.
北方球队总得分为,北方球队之间比赛总得分.
⑵显然,解得.
又因为,经验算只有或满足要求.
⑶当时,北方球队总得分为,北方球队之间得分为,从而北方球队胜南方球队所获得的分数和为,因此北方球队的最高得分为.
又因为南方支球队总得分为,故南方球队中至少有一支得分超过分,因而冠军为南方球队.
当时,类似的,北方球队总得分为,北方球队之间得分为,北方球队胜南方球队所获得的分数和为,因此北方球队的最高得分为.
而南方支球队总得分为,故南方球队中至少有一支得分超过分,因而冠军必为南方球队.
【例57】 已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意.设是的任意的一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城2模
【解析】易知对于的任意排列与,
第一行是与第一行是的数表的张数是一样的,因此所求的数目为,其中为时的数表的张数.下面求,考虑的取值,有种可能或,取定后,也有种可能,剩下的都唯一确定,故.从而要求的数表数为.
【答案】A;
间接法(直接求解类别比较大时)
【例58】 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】4星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,
类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个,
其中0在百位的有个,这是不合题意的.
故共可组成不同的三位数(个)
【答案】432;
【例59】 从中取一个数字,从中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,丰台1模
【解析】从中取一个数字,从中取两个数字进行排列,
然后在得到的排列中去掉首数字为的即满足题意,因此为所求.
【答案】B;
【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有取法,
其中侧面上的四点不能构成三棱锥,故有15-3=12个不同的三棱锥.
【答案】12;
【例61】 设集合,集合是的子集,且满足,,那么满足条件的子集的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,西城2模
【解析】的三元子集中不满足条件的只有,因此满足条件的子集的个数为
.
【答案】D;
【例62】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】用间接法解答:四名学生中选两名学生分在一个班的种数是,
顺序有种,而甲乙被分在同一个班的有种,所以种数是.
【答案】C;
【例63】 某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,东城1模
【解析】分析:从中任选人,除去全是男生和全是女生的情况即可,故共有选法
(种);
【答案】A;
【例64】 对于各数互不相等的正数数组(是不小于的正整数),如果在时有,则称“与”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组中有顺序“”,“”,其“顺序数”等于.若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是,则的“顺序数”是_________.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2018年,丰台2模
【解析】一方面,如果在时有,与“顺序”类似的定义“倒序”,
则对一个元数组,有“顺序数”与“逆序数”的和为;
另一方面,如果将一个元数组按原来的倒序排列,那么新数组的每个“顺序”都是和原数组的“倒序”是以一一对应的,所以“顺序数”与原数组的“倒序数”相等;
综上,为所求.
【答案】6;
【例65】 已知集合,,,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,山东高考
【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为,
但集合中有相同元素,由三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为个,选A.
【答案】A;
【例66】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答).
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】2009年,浙江高考
【解析】每个人都有种站法,根据乘法原理知共有种站法,
减去不符合条件的,
即三个人站在同一级台阶上的种,共有种.
【答案】336;
【例67】 设有编号为,,,,的五个球和编号为,,,,的五个盒子,现将这五个球放入个盒子内,
⑴只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
⑵没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
⑶每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】略
【答案】⑴;选出两个球,归为一组,从五个盒子中选出四个盒子,
把这四组球放入;
⑵;
⑶.
【例68】 在排成的方阵的个点中,中心个点在某一个圆内,其余个点在圆外,在个点中任选个点构成三角形,其中至少有一顶点在圆内的三角形共有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】略
【答案】A;
【例69】 从甲、乙等名同学中挑选名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有人参加,则不同的挑选方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2018年,四川高考
【解析】从个同学中挑选名参加某项公益活动有种不同挑选方法;
从甲、乙之外的个同学中挑选名参加某项公益活动有种不同挑选方法;
∴甲、乙中至少有人参加的方法有种.
【答案】C;
【例70】 若关于的方程组有解,且所有解都是整数,则有序数对的数目为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】易知整数解只有或,
总共个整数解,问题转化为求与圆的交点为这个整点的直线的条数,共有条(是切线的数目),注意到不过原点,故还要减去过原点的条直线,因此所求的数目为.
【答案】D;
【例71】 从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,辽宁高考
【解析】直接法:一男两女,有种,两男一女,有种,共种;
间接法:任意选取种,其中都是男医生有种,都是女医生有种,于是符合条件的有种.
【答案】A;
【例72】 甲、乙两人从门课程中各选修门,则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,全国高考
【解析】用间接法即可,种.
【答案】C;
【例73】 ,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的的子集个数为_____.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】直接法:分三类,在个偶数中分别选个,个,个偶数,其余选奇数,
;
间接法:减去没有偶数和只有个偶数的,.
【答案】105;
【例74】 在由数字0,1,2,3,4所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_______个.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法,总的4位数有个,被5整除即个位为0的4位数有个,
因此不能被5整除的数有个.
【答案】72;
【例75】 在的边上取个点,在边上取个点(均除点外),连同点共个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作出三角形的个数为多少?
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】解答
【关键字】无
【解析】解法一:
分三类:
①从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点,可构造一个三角形,有个;
②从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有个;
③从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形,有个.
由加法原理共有个三角形.
解法二:
从中任取三点共有个,其中三点均在射线OA(包括O点)上,有个,三点均在射线OB(包括O点)上,有个.所以,个数为个
【答案】90
【例76】 共个人,从中选名组长名副组长,但不能当副组长,不同的选法总数是( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】不考虑限制条件有,若偏偏要当副组长有,为所求
【答案】B;
【例77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】2009年,湖北高考
【解析】用间接法解答:四名学生中选两名学生分在一个班的种数是,
顺序有种,而甲乙被分在同一个班的有种,所以种数是.
【答案】C;
【例78】 三行三列共九个点,以这些点为顶点可组成___ _个三角形.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法,任选3个点的方法数减去3点共线的情况,即为所求个.
【答案】76
【例79】 从名奥运志愿者中选出名,分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作,每人承担一项,其中甲不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】3星
【题型】选择
【关键字】2018年,西城2模
【解析】从中任选人全排,除去甲从事翻译工作的情况,共有方案:(种).
【答案】C;
【例80】 某校从名教师中选派名教师同时去个边远地区支教(每地人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种( )
A. B. C. D.
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】选择
【关键字】无
【解析】用间接法求解简单;也可直接法分3类求解.
【答案】A;
【例81】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各
一台,则不同的选法有_____种(用数字作答)
【考点】排列组合问题的常用方法
【难度】2星
【题型】填空
【关键字】无
【解析】用间接法,取3台电视的方法数有种,不含甲型的取法有种,不含乙型的
取法有种,故甲、乙型都有的取法有种.
【答案】70;
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