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2020届二轮复习数学思想方法及其应用教案（全国通用）
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2020届二轮复习 数学思想方法及其应用 教案（全国通用）
一、函数与方程思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．
2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
可用函数与方程思想解决的相关问题．
1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．
2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
(1)解方程或解不等式；
(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；
(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
(4)构造方程或不等式求解问题．
二、数形结合的数学思想
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
数形结合思想解决的问题常有以下几种：学+科网
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。。
常见方法有：
①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。学!科网
常见的转换途径为：
①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
2．数形结合的原则
（1）等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
三、分类讨论的思想
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
四、化归与转化的思想
1、化归与转化的思想方法
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
2 、化归与转化的思想方法应用的主要方向
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
3、等价转化和非等价转化
转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．
高频考点一、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用
例1．(1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则a的取值范围是________．
【解析】法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x，
设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，
显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．
因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝2－，且由x∈知sin x∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．
法二：令t＝sin x，
由x∈，可得t∈(0,1]．
将方程变为t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0,1]上有解，
设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．
因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于
即所以－1
【答案】(－1,1]
(2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－yb|的最小值为________．
【答案】 2
【感悟提升】(1)研究此类含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．
【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a＝________.
【解析】在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，
所以解得
【答案】8
高频考点二、函数与方程思想在数列中的应用
例2、已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
【解析】(1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，(列出方程)
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，
则bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝
＝，
令f(x)＝2x＋(x≥1)，(构造函数)
则f′(x)＝2－，
当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
【规律方法】
本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋(x≥1)，利用函数求解．
【变式探究】设数列{an}，{bn}满足a1＝a>0，an＋1＝an，且bn＝ln(1＋an)＋a，n∈N*，
证明：<<1.
证明：由a1＝a>0，an＋1＝an知，an>0(n∈N*)，
故bn>0(n∈N*)．
因为<1，所以bn－an>0，
构造函数f(x)＝ln(1＋x)＋x2－x(x>0)，
则其导数f′(x)＝＋x－1＝，
当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即bn－an>0，所以<1.
因为<，所以ln(1＋an)－an<0，
构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，
则导函数g′(x)＝－1＝，
当x>0时，g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故g(x)
高频考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题
例3．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
解析 若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，
由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
【规律方法】
(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法．
(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．
【变式探究】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取到极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]都有f(x)
(2)由(1)知函数y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋8c，在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋8c.
因为f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，
所以当x∈[0，3]时，函数y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋8c，所以要使对于任意的x∈[0，3]都有f(x)0，解得c<－1或c>9.
(3)由(1)(2)知函数y＝f(x)在区间(－∞，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋8c，
在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋8c，f(1)>f(2)．
所以要使方程f(x)＝c2有三个根，
需要f(2)
例4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
【解析】 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入
y＝，得
解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，
y′＝－，
则l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝
＝，t∈[5，20]．
②设g(t)＝t2＋，
则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
【规律方法】
解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．
【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，
即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋m·x－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时f′(x)＜0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64，640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，
n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
【感悟提升】
1．函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现．
2．有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想．
3．有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想．我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力．
高频考点五、函数与方程思想在立体几何中的应用
例5、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
【解析】(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.
因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积
V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，
则0＜h＜6，O1O＝4h.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中，
O1B＋PO＝PB，
所以2＋h2＝36，
即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，(转化为函数)
从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．
当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数；
当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．
故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．
【感悟提升】
(1)本题第(2)问利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，h的方程，再由公式把体积V表示成关于高h的函数，最后利用导数求解．
(2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值．
【变式探究】
平面内边长为a的正三角形ABC，直线DE∥BC，交AB，AC于D，E，现将△ABC沿DE折成60°的二面角，求DE在何位置时，折起后A到BC的距离最短，最短距离是多少？
【解析】如图，点A沿DE折起到A′，过A作AG⊥BC于G，交DE于F，连接A′F，A′G，
因为△ABC为正三角形，又DE∥BC，所以AG⊥DE.又G，F分别为BC，DE的中点，所以DE⊥平面A′FG，BC⊥平面A′FG，
所以∠A′FG是二面角的平面角．
由题知∠A′FG＝60°，所以A′G为所求，
在△A′FG中，设FG＝x，则A′F＝a－x.
由余弦定理，得
A′G2＝A′F2＋FG2－2A′F·FG·cos 60°
＝2＋x2－2×·x·cos 60°
＝32＋a2，
所以当x＝a时，(A′G)min＝a，
即DE恰为△ABC中位线时，折起后A到BC的距离最短，最短距离为a．
【总结升华】
(1)函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．
(2)当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
(3)借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
高频考点六、 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题
例6、(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是 ( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
(2)设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4，0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．
思路点拨：(1)在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝lg x的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数．
(2)先将不等式f(x)≤g(x)转化为≤x＋1－a，然后在同一坐标系中分别作出函数y＝和y＝x＋1－a的图象，移动y＝x＋1－a的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系．
【解析】(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．
由图象可知共9个交点，故选C.
(2)f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1，
变形得≤x＋1－a，
令y＝，①
y＝x＋1－a，②
①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2，0)为圆心，2为半径的圆的上半圆(如图)；
误区警示：作图时弄清y＝lg x的图象何时超过1，否则易造成结果错误．
【规律方法】
(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
【变式探究】已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
【答案】－8.
高频考点七、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题
例7、 (1)已知x，y满足条件＋＝1，求y－3x的最大值与最小值．
(2)已知实数x，y满足不等式组求函数z＝的值域．
思路点拨：(1)令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．
(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组表示区域的点的连线的斜率的范围．
【解析】(1)令y－3x＝b，则y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆＋＝1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距．学=科网
由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆＋＝1相切时，有最大或最小的截距．
将y＝3x＋b代入＋＝1，
得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，
令Δ＝0，解得b＝±13.
故y－3x的最大值为13，最小值为－13.
(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)， z＝可改写为y＋3＝z(x＋1)，
把z看作参数，则此方程表示过定点P(－1，－3)，斜率为z 的直线系．
那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．
由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，
zmax＝＝5.
过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．
设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为ax＋by＝4.又B在半圆周上，P在切线上，则有又a＞0，
解得因此zmin＝.
综上可知函数的值域为.
误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝得到点(－1，－3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序．
【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．
(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．
(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．
(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．学+科网
【变式探究】已知x，y满足条件＋＝1，求5x＋4y的最大值与最小值．
高频考点八、数形结合思想在立体几何中的应用
例8、如图所示，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.
(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；
(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
思路点拨：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直线坐标系，用空间向量的坐标运算来证明面面垂直，及将线面角正弦值表示角θ的函数；再利用函数思想求解．
【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系．
则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，V.
于是，＝，
＝，＝(－a，a，0)．
从而·＝(－a，a，0)·＝－a2＋a2＋0＝0，
同理·＝(－a，a，0)·＝－a2＋a2＋0＝0，
即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，
∴AB⊥平面VCD.
又AB平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则得
可取n＝，
又∵＝(0，－a，0)，
于是sin φ＝|cos〈n，〉|＝＝
＝|sin θ|.
∵0＜θ＜，
∴0＜sin θ＜1，0＜sin φ＜.
又∵0≤φ≤，∴0＜φ＜.
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为.
【规律方法】
(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．
(2)解析几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．
【变式探究】
如图，
在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；
(2)在线段A1C1上是否存在一定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论．
【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．
所以＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，1)，
＝(－1，1，m)，
＝(－1，1，0)．
又由·＝0，·＝0，知为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则
sin θ＝cos＝＝.
依题意有＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)．
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于
D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝.
即Q为A1C1的中点时，满足题设要求．
【感悟提升】
1．数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化．我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题．
2．数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解几、向量、不等式等．
3．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．
高频考点九、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用
例9、若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．
【解析】当x＝0时，显然是方程的一个实数解；
当x≠0时，方程＝kx2可化为
＝(x＋4)|x|(x≠－4)，
设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．
则f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，
由图，易得0<<4，
解得k>.
所以k的取值范围为.
【答案】[来源:]
【感悟提升】
用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．
【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________．
【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象如图所示．
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．
不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，
则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，
所以方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.
【答案】－7
高频考点十 数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
例10、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，[来源:Z#xx#k.Com]
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，
∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
【感悟提升】
(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．
(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
【变式探究】
设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．
【解析】集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m＞0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】
高频考点十一 数形结合思想在解析几何中的应用
例11、设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2A．又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4A．在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.
【答案】D
【感悟提升】
(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
【变式探究】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
【答案】
【总结升华】运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
高频考点十二、根据数学的概念分类讨论
例12、(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则
解得
则a8＝a1q7＝×27＝32.
【答案】32
【变式探究】设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
思路点拨：先利用0＜x＜1确定1－x与1＋x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小．
【解析】∵0＜x＜1，
∴0＜1－x＜1，1＋x＞1，
0＜1－x2＜1.
①当0＜a＜1时，
loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，
所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)＞0；
②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0.
所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－loga(1－x2)＞0.
由①②可知，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
【规律方法】
本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分a＞0，a＝0，a＜0三种情况；直线的斜率分倾斜角θ≠90°，斜率k存在，倾斜角θ＝90°，斜率不存在；指数、对数函数[y＝ax(a＞0且a≠1)与y＝logax(a＞0且a≠1)]可分为a＞1，0＜a＜1两种类型；直线的截距式分直线过原点时[为y＝kx]，不过原点时等．学——科网
高频考点十三、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论
例13、一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为( )
A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0[来源:]
D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
【答案】C
【解析】设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.
【变式探究】在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn.
思路点拨：(1)由a2n＝2an，n＝1，2，…求出公差d，即得{an}的通项公式．
(2)先求{bn}的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2n＝2an得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1.
又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an，
所以an＝n.
(2)由bn＝anpan得bn＝npn，
所以Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn.①
当p＝1时，Tn＝.
当p≠1时，pTn＝p2＋2p3＋…＋(n－1)pn＋npn＋1，②
①－②得，(1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－npn＋1＝－npn＋1，
∴Tn＝－.
综上所述，Tn＝
【规律方法】
(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．
(2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．
高频考点十四、根据字母的取值情况分类讨论
例14、已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切(只需写出结论)?
【解析】(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得：4x－6x＋t＋3＝0，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”，g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)与g′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
t＋3
↘
t＋1
↗
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值，
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点，
当g(1)＝t＋1≥0，t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，
所以g(x)分别为区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．
【规律方法】
题目中含有参数的问题(含参型)，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．
高频考点十五、根据图形位置或形状变动分类讨论
例15、设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
【解析】①若∠PF2F1＝90°.
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.
综上知，＝或2.
【感悟提升】
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)破解此类题的关键点：
①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．
②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．
③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
【变式探究】
长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|.
思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模．
【解析】如图所示，分别以BC，AB所在的边为x，y轴建立平面直角坐标系．
∵kAP＝－，
∴kQR＝.
又AP的中点的坐标为，
∴QR所在的直线方程为y－2＝.①
由于t的取值范围的不同会导致Q，R落在长方形ABCD的不同边上，故需分类讨论：
当|PD|＝|AD|＝8时，
易知|PC|＝＝4.
∴当0≤t≤8－4时，Q，R两点分别在AB，CD上，对方程①，分别令x＝0和x＝8，
可得Q，R，
这时|QR|＝2；当8－4＜t≤4时，Q，R两点分别在AB，AD上，对方程①，分别令x＝0和y＝4，
可得Q，R，
这时|QR|＝ ；
当4＜t≤8时，Q，R两点分别在BC，AD上，
对方程①分别令y＝0和y＝4，
可得Q，R，
这时|QR|＝.
综上所述：当0≤t≤8－4时，|QR|＝2；
当8－4＜t≤4时，|QR|＝ ；
当4＜t≤8时，|QR|＝.
【规律方法】
一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．
高频考点十六 由参数变化引起的分类讨论
例16、设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．
【解析】由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．
下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
（－∞，－）
－
（－，）
（，＋∞）
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为－，，单调递增区间为－∞，－，，＋∞.
【感悟提升】
(1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a>0两种情况．
(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
【变式探究】(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【总结升华】
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
高频考点十七、 数列问题化归为函数问题解决
例17、某厂2017年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是( )
A．M>N B．M
【解析】每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d＞0，每月的投入资金组成一个等比数列{bn}，且公比q＞1.a1＝b1，且a12＝b12，比较S12与T12的大小．若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列．等比数列的通项公式bn＝a1qn－1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列．
在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi，则S12＞T12，即M＞N.
【答案】A
点评：把一个原本是求和的问题，转化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是学生所熟悉的．在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新．
高频考点十八、立体几何问题通过转化得以解决
例18、 在三棱锥PABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA，BC的公垂线ED＝h.求证：三棱锥PABC的体积V＝l2h.
思路点拨：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
【解析】如图，连接EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC＝D，可得PA⊥截面ECB.这样，截面ECB将原三棱锥切割成两个分别以ECB为底面，以PE，AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高PE＋AE＝PA＝l，所以
VPABC＝VPECB＋VAECB＝S△ECB·AE＋S△ECB·PE＝S△ECB·PA＝·BC·ED·PA＝l2h.
点评：辅助截面ECB的添设使问题转化为已知问题，迎刃而解．
高频考点十九、二项式定理应用问题通过化归解决
例19、在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )
A．160 B．240 C．360 D．800
【解析】本题要求(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用两种解法进行转化．
解法一 直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则(x2＋3x＋2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x2＋3x＋2)5＝(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C·(3x)·C·24＝5×3×16x＝240x，所以应选B.
解法二 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)＝(x2＋2)＋3x＝(x2＋3x)＋2＝(x＋1)(x＋2)＝(1＋x)(2＋x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)转化，可以发现只有C(3x＋2)5中会有x项，即C(3x)·24＝240x；②如利用x2＋3x＋2＝(x2＋2)＋3x进行转化，则只C(x2＋2)4·3x中含有x一次项，即C·3x·C·24＝240x；③如利用x2＋3x＋2＝(x2＋3x)＋2进行转化，就只有C·(x2＋3x)·24中会有x项，即240x；
④如选择x2＋3x＋2＝(1＋x)(2＋x)进行转化，(x2＋3x＋2)5＝(1＋x)5×(2＋x)5展开式中的一次项x只能由(1＋x)5中的一次项乘以(2＋x)5展开式中的常数项加上(2＋x)5展开式中的一次项乘以(1＋x)5展开式中的常数项后得到，即为Cx·C25＋C·24·x·C·15＝160x＋80x＝240x.故选B.
【答案】B
高频考点二十、函数与不等式中变换主元将二次函数问题化归为一次函数解决
例20、若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
【解析】∵x2＋px＞4x＋p－3，
∴(x－1)p＋x2－4x＋3＞0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)＞0，只要有
∴x的取值范围为{x＞3或x＜－1}．
点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的．但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转变其他变量在问题中的地位，就能使问题迎刃而解．本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，将主元进行转化，使问题变成关于p的一次不等式，问题实现了从高维向低维的转化，解题简单易行．[来源:]
【感悟提升】
1．化归与转化应遵循的基本原则：
(1)熟悉化原则．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
(2)简单化原则．将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．学——科网
(3)和谐化原则．化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律．
(4)直观化原则．将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．
(5)正难则反原则．当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．
2．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识，需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系．
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．
3．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认识问题，也可以从几何的角度去认识问题．
一、函数与方程思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．
2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
可用函数与方程思想解决的相关问题．
1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．
2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
(1)解方程或解不等式；
(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；
(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；
(4)构造方程或不等式求解问题．
二、数形结合的数学思想
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
数形结合思想解决的问题常有以下几种：学+科网
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
(5)构建立体几何模型研究代数问题；
(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
(7)构建方程模型，求根的个数；
(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．
常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1．数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。。
常见方法有：
①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。学!科网
常见的转换途径为：
①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
②利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。
2．数形结合的原则
（1）等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
三、分类讨论的思想
分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
四、化归与转化的思想
1、化归与转化的思想方法
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．
2 、化归与转化的思想方法应用的主要方向
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
3、等价转化和非等价转化
转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．
高频考点一、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用
例1．(1)若方程cos2x－sin x＋a＝0在上有解，则a的取值范围是________．
【解析】法一：把方程变形为a＝－cos2x＋sin x，
设f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈，
显然，当且仅当a属于f(x)的值域时有解．
因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝2－，且由x∈知sin x∈(0,1]，易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．
法二：令t＝sin x，
由x∈，可得t∈(0,1]．
将方程变为t2＋t－1－a＝0.
依题意，该方程在(0,1]上有解，
设f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－，如图所示．
因此，f(t)＝0在(0,1]上有解等价于
即所以－1
【答案】(－1,1]
(2)已知a，b，c为平面上三个向量，又a，b是两个相互垂直的单位向量，向量c满足|c|＝3，c·a＝2，c·b＝1，则对于任意实数x，y，|c－xa－yb|的最小值为________．
【答案】 2
【感悟提升】(1)研究此类含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域．二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决．
(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．
【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a＝________.
【解析】在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝，
所以解得
【答案】8
高频考点二、函数与方程思想在数列中的应用
例2、已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
【解析】(1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，(列出方程)
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，
则bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝
＝，
令f(x)＝2x＋(x≥1)，(构造函数)
则f′(x)＝2－，
当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
【规律方法】
本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋(x≥1)，利用函数求解．
【变式探究】设数列{an}，{bn}满足a1＝a>0，an＋1＝an，且bn＝ln(1＋an)＋a，n∈N*，
证明：<<1.
证明：由a1＝a>0，an＋1＝an知，an>0(n∈N*)，
故bn>0(n∈N*)．
因为<1，所以bn－an>0，
构造函数f(x)＝ln(1＋x)＋x2－x(x>0)，
则其导数f′(x)＝＋x－1＝，
当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以f(x)>f(0)＝0，即bn－an>0，所以<1.
因为<，所以ln(1＋an)－an<0，
构造函数g(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，
则导函数g′(x)＝－1＝，
当x>0时，g′(x)<0，故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故g(x)
高频考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题
例3．已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________．
解析 若0≤a≤1时，函数f(x)＝在R上递增，若a＞1或a＜0时，
由图象知y＝f(x)－b存在b使之有两个零点，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
【规律方法】
(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法．
(2)在解决不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．
(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点．用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式．
【变式探究】设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取到极值．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意的x∈[0，3]都有f(x)
(2)由(1)知函数y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋8c，在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋8c.
因为f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，
所以当x∈[0，3]时，函数y＝f(x)的最大值是f(3)＝9＋8c，所以要使对于任意的x∈[0，3]都有f(x)
(3)由(1)(2)知函数y＝f(x)在区间(－∞，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
y＝f(x)在x＝1处取到极大值f(1)＝5＋8c，
在x＝2处取到极小值f(2)＝4＋8c，f(1)>f(2)．
所以要使方程f(x)＝c2有三个根，
需要f(2)
例4、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，R以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
【解析】 (1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入
y＝，得
解得
(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20)，
则点P的坐标为，
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，
y′＝－，
则l的方程为y－＝－(x－t)，
由此得A，B.
故f(t)＝
＝，t∈[5，20]．
②设g(t)＝t2＋，
则g′(t)＝2t－.
令g′(t)＝0，解得t＝10.
当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，
所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.
答：当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．
【规律方法】
解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决．
【变式探究】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解析】(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，
即n＝－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x ＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋m·x－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时f′(x)＜0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64，640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，
n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
【感悟提升】
1．函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现．
2．有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想．
3．有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想．我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力．
高频考点五、函数与方程思想在立体几何中的应用
例5、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
【解析】(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.
因为A1B1＝AB＝6，
所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积
V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
(2)设A1B1＝a m，PO1＝h m，
则0＜h＜6，O1O＝4h.连接O1B1.
因为在Rt△PO1B1中，
O1B＋PO＝PB，
所以2＋h2＝36，
即a2＝2(36－h2)．
于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋a2·h＝a2h＝(36h－h3)，0＜h＜6，(转化为函数)
从而V′＝(36－3h2)＝26(12－h2)．
令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)．
当0＜h＜2时，V′＞0，V是单调增函数；
当2＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．
故当h＝2时，V取得极大值，也是最大值．
因此，当PO1＝2 m时，仓库的容积最大．
【感悟提升】
(1)本题第(2)问利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，h的方程，再由公式把体积V表示成关于高h的函数，最后利用导数求解．
(2)立体几何及其实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值．
【变式探究】
平面内边长为a的正三角形ABC，直线DE∥BC，交AB，AC于D，E，现将△ABC沿DE折成60°的二面角，求DE在何位置时，折起后A到BC的距离最短，最短距离是多少？
【解析】如图，点A沿DE折起到A′，过A作AG⊥BC于G，交DE于F，连接A′F，A′G，
因为△ABC为正三角形，又DE∥BC，所以AG⊥DE.又G，F分别为BC，DE的中点，所以DE⊥平面A′FG，BC⊥平面A′FG，
所以∠A′FG是二面角的平面角．
由题知∠A′FG＝60°，所以A′G为所求，
在△A′FG中，设FG＝x，则A′F＝a－x.
由余弦定理，得
A′G2＝A′F2＋FG2－2A′F·FG·cos 60°
＝2＋x2－2×·x·cos 60°
＝32＋a2，
所以当x＝a时，(A′G)min＝a，
即DE恰为△ABC中位线时，折起后A到BC的距离最短，最短距离为a．
【总结升华】
(1)函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．
(2)当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．
(3)借助有关函数的性质，一可以用来解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二可以在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数来求解．
高频考点六、 用数形结合思想解决方程、不等式及函数的有关性质问题
例6、(1)已知：函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lg x解的个数是 ( )
A．5个 B．7个 C．9个 D．10个
(2)设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4，0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．
思路点拨：(1)在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝lg x的图象，由它们交点个数判断方程的解的个数．
(2)先将不等式f(x)≤g(x)转化为≤x＋1－a，然后在同一坐标系中分别作出函数y＝和y＝x＋1－a的图象，移动y＝x＋1－a的图象使其满足条件，数形结合得要满足的数量关系．
【解析】(1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数．又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．
由图象可知共9个交点，故选C.
(2)f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1，
变形得≤x＋1－a，
令y＝，①
y＝x＋1－a，②
①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2，0)为圆心，2为半径的圆的上半圆(如图)；
误区警示：作图时弄清y＝lg x的图象何时超过1，否则易造成结果错误．
【规律方法】
(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化的数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
【变式探究】已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________．
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，由f(x)为奇函数，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
【答案】－8.
高频考点七、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题
例7、 (1)已知x，y满足条件＋＝1，求y－3x的最大值与最小值．
(2)已知实数x，y满足不等式组求函数z＝的值域．
思路点拨：(1)令b＝y－3x，即y＝3x＋b，视b为直线y＝3x＋b的截距，而直线与椭圆必有公共点，故相切时，b有最值．
(2)此题可转化成过点(－1，－3)与不等式组表示区域的点的连线的斜率的范围．
【解析】(1)令y－3x＝b，则y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆＋＝1上找一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上有最大截距或最小截距．学=科网
由图可知，当直线y＝3x＋b与椭圆＋＝1相切时，有最大或最小的截距．
将y＝3x＋b代入＋＝1，
得169x2＋96bx＋16b2－400＝0，
令Δ＝0，解得b＝±13.
故y－3x的最大值为13，最小值为－13.
(2)由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)， z＝可改写为y＋3＝z(x＋1)，
把z看作参数，则此方程表示过定点P(－1，－3)，斜率为z 的直线系．
那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．
由图显见，过点P和点A(0，2)的直线斜率最大，
zmax＝＝5.
过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．
设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为ax＋by＝4.又B在半圆周上，P在切线上，则有又a＞0，
解得因此zmin＝.
综上可知函数的值域为.
误区警示：此题很容易犯的错误是由z＝得到点(－1，－3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序．
【规律方法】
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：
(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距．
(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率．
(3)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．
(4)导函数f′(x0)表示曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．学+科网
【变式探究】已知x，y满足条件＋＝1，求5x＋4y的最大值与最小值．
高频考点八、数形结合思想在立体几何中的应用
例8、如图所示，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.
(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；
(2)当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．
思路点拨：以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直线坐标系，用空间向量的坐标运算来证明面面垂直，及将线面角正弦值表示角θ的函数；再利用函数思想求解．
【解析】(1)以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直线坐标系．
则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，V.
于是，＝，
＝，＝(－a，a，0)．
从而·＝(－a，a，0)·＝－a2＋a2＋0＝0，
同理·＝(－a，a，0)·＝－a2＋a2＋0＝0，
即AB⊥VD.又CD∩VD＝D，
∴AB⊥平面VCD.
又AB平面VAB.
∴平面VAB⊥平面VCD.
(2)设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则得
可取n＝，
又∵＝(0，－a，0)，
于是sin φ＝|cos〈n，〉|＝＝
＝|sin θ|.
∵0＜θ＜，
∴0＜sin θ＜1，0＜sin φ＜.
又∵0≤φ≤，∴0＜φ＜.
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为.
【规律方法】
(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算．
(2)解析几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口．
【变式探究】
如图，
在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3；
(2)在线段A1C1上是否存在一定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP.并证明你的结论．
【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)．
所以＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，1)，
＝(－1，1，m)，
＝(－1，1，0)．
又由·＝0，·＝0，知为平面BB1D1D的一个法向量．
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，则
sin θ＝cos＝＝.
依题意有＝，
解得m＝.
故当m＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.
(2)若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)．
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于
D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝.
即Q为A1C1的中点时，满足题设要求．
【感悟提升】
1．数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化．我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题．
2．数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解几、向量、不等式等．
3．是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的．
高频考点九、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用
例9、若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．
【解析】当x＝0时，显然是方程的一个实数解；
当x≠0时，方程＝kx2可化为
＝(x＋4)|x|(x≠－4)，
设f(x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．
则f(x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，
由图，易得0<<4，
解得k>.
所以k的取值范围为.
【答案】[来源:]
【感悟提升】
用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．
【变式探究】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(－x－1)＝f(x－1)，当x∈[－1，0]时，f(x)＝－x3，则关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解之和为________．
【解析】因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数f(x)的周期为2.
又当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象如图所示．
由图象知关于x的方程f(x)＝|cos πx|在上的实数解有7个．
不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，
则由图得x1＋x2＝－4，x3＋x5＝－2，x4＝－1，x6＋x7＝0，
所以方程f(x)＝|cos πx|在上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7.
【答案】－7
高频考点十 数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用
例10、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，[来源:Z#xx#k.Com]
∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，
∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
【感悟提升】
(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．
(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
【变式探究】
设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．
【解析】集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m＞0，所以m＝－1，故m的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】
高频考点十一 数形结合思想在解析几何中的应用
例11、设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A． B．
C．2 D．
【解析】如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2A．又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4A．在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.
【答案】D
【感悟提升】
(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
【变式探究】已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
【解析】因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知△APF的周长为
|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
【答案】
【总结升华】运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
高频考点十二、根据数学的概念分类讨论
例12、(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则
解得
则a8＝a1q7＝×27＝32.
【答案】32
【变式探究】设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
思路点拨：先利用0＜x＜1确定1－x与1＋x的范围，再利用绝对值及对数函数的概念分类讨论两式差与0的大小关系，从而比较出大小．
【解析】∵0＜x＜1，
∴0＜1－x＜1，1＋x＞1，
0＜1－x2＜1.
①当0＜a＜1时，
loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，
所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)＞0；
②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0.
所以|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－loga(1－x2)＞0.
由①②可知，|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
【规律方法】
本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分a＞0，a＝0，a＜0三种情况；直线的斜率分倾斜角θ≠90°，斜率k存在，倾斜角θ＝90°，斜率不存在；指数、对数函数[y＝ax(a＞0且a≠1)与y＝logax(a＞0且a≠1)]可分为a＞1，0＜a＜1两种类型；直线的截距式分直线过原点时[为y＝kx]，不过原点时等．学——科网
高频考点十三、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论
例13、一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为( )
A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0[来源:]
D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
【答案】C
【解析】设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.
【变式探究】在等差数列{an}中，a1＝1，满足a2n＝2an，n＝1，2，…
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝anpan(p＞0)，求数列{bn}的前n项和Tn.
思路点拨：(1)由a2n＝2an，n＝1，2，…求出公差d，即得{an}的通项公式．
(2)先求{bn}的通项公式，然后用错位相减可求Tn，但由于公比q不确定，故用等比数列前n项和公式求Tn时要分类讨论．
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，
由a2n＝2an得a2＝2a1＝2，所以d＝a2－a1＝1.
又a2n＝an＋nd＝an＋n＝2an，
所以an＝n.
(2)由bn＝anpan得bn＝npn，
所以Tn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1＋npn.①
当p＝1时，Tn＝.
当p≠1时，pTn＝p2＋2p3＋…＋(n－1)pn＋npn＋1，②
①－②得，(1－p)Tn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－npn＋1＝－npn＋1，
∴Tn＝－.
综上所述，Tn＝
【规律方法】
(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论．
(2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等．
高频考点十四、根据字母的取值情况分类讨论
例14、已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切(只需写出结论)?
【解析】(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，整理得：4x－6x＋t＋3＝0，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”，g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，g(x)与g′(x)的情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
t＋3
↘
t＋1
↗
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值，
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点，
当g(1)＝t＋1≥0，t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．
当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，
所以g(x)分别为区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．
【规律方法】
题目中含有参数的问题(含参型)，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．
高频考点十五、根据图形位置或形状变动分类讨论
例15、设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
【解析】①若∠PF2F1＝90°.
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴＝2.
综上知，＝或2.
【感悟提升】
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)破解此类题的关键点：
①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．
②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．
③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
【变式探究】
长方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC边上取一点P，使|BP|＝t，线段AP的垂直平分线与长方形的边的交点为Q，R时，用t表示|QR|.
思路点拨：建立平面直角坐标系，设法求出点Q，R的坐标，利用两点间的距离公式建模．
【解析】如图所示，分别以BC，AB所在的边为x，y轴建立平面直角坐标系．
∵kAP＝－，
∴kQR＝.
又AP的中点的坐标为，
∴QR所在的直线方程为y－2＝.①
由于t的取值范围的不同会导致Q，R落在长方形ABCD的不同边上，故需分类讨论：
当|PD|＝|AD|＝8时，
易知|PC|＝＝4.
∴当0≤t≤8－4时，Q，R两点分别在AB，CD上，对方程①，分别令x＝0和x＝8，
可得Q，R，
这时|QR|＝2；当8－4＜t≤4时，Q，R两点分别在AB，AD上，对方程①，分别令x＝0和y＝4，
可得Q，R，
这时|QR|＝ ；
当4＜t≤8时，Q，R两点分别在BC，AD上，
对方程①分别令y＝0和y＝4，
可得Q，R，
这时|QR|＝.
综上所述：当0≤t≤8－4时，|QR|＝2；
当8－4＜t≤4时，|QR|＝ ；
当4＜t≤8时，|QR|＝.
【规律方法】
一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．
高频考点十六 由参数变化引起的分类讨论
例16、设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f(x)的单调区间．
【解析】由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．
下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝－.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
（－∞，－）
－
（－，）
（，＋∞）
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的单调递减区间为－，，单调递增区间为－∞，－，，＋∞.
【感悟提升】
(1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a>0两种情况．
(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
【变式探究】(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【总结升华】
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
高频考点十七、 数列问题化归为函数问题解决
例17、某厂2017年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1月份投入资金建设恰好与1月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，则全年总利润M与全年总投入N的大小关系是( )
A．M>N B．M
【解析】每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d＞0，每月的投入资金组成一个等比数列{bn}，且公比q＞1.a1＝b1，且a12＝b12，比较S12与T12的大小．若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列．等比数列的通项公式bn＝a1qn－1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列．
在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出ai≥bi，则S12＞T12，即M＞N.
【答案】A
点评：把一个原本是求和的问题，转化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是学生所熟悉的．在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新．
高频考点十八、立体几何问题通过转化得以解决
例18、 在三棱锥PABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA，BC的公垂线ED＝h.求证：三棱锥PABC的体积V＝l2h.
思路点拨：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
【解析】如图，连接EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC＝D，可得PA⊥截面ECB.这样，截面ECB将原三棱锥切割成两个分别以ECB为底面，以PE，AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高PE＋AE＝PA＝l，所以
VPABC＝VPECB＋VAECB＝S△ECB·AE＋S△ECB·PE＝S△ECB·PA＝·BC·ED·PA＝l2h.
点评：辅助截面ECB的添设使问题转化为已知问题，迎刃而解．
高频考点十九、二项式定理应用问题通过化归解决
例19、在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )
A．160 B．240 C．360 D．800
【解析】本题要求(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用两种解法进行转化．
解法一 直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则(x2＋3x＋2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x2＋3x＋2)5＝(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)·(x2＋3x＋2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为C·(3x)·C·24＝5×3×16x＝240x，所以应选B.
解法二 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)＝(x2＋2)＋3x＝(x2＋3x)＋2＝(x＋1)(x＋2)＝(1＋x)(2＋x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x2＋3x＋2＝x2＋(3x＋2)转化，可以发现只有C(3x＋2)5中会有x项，即C(3x)·24＝240x；②如利用x2＋3x＋2＝(x2＋2)＋3x进行转化，则只C(x2＋2)4·3x中含有x一次项，即C·3x·C·24＝240x；③如利用x2＋3x＋2＝(x2＋3x)＋2进行转化，就只有C·(x2＋3x)·24中会有x项，即240x；
④如选择x2＋3x＋2＝(1＋x)(2＋x)进行转化，(x2＋3x＋2)5＝(1＋x)5×(2＋x)5展开式中的一次项x只能由(1＋x)5中的一次项乘以(2＋x)5展开式中的常数项加上(2＋x)5展开式中的一次项乘以(1＋x)5展开式中的常数项后得到，即为Cx·C25＋C·24·x·C·15＝160x＋80x＝240x.故选B.
【答案】B
高频考点二十、函数与不等式中变换主元将二次函数问题化归为一次函数解决
例20、若不等式x2＋px＞4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
【解析】∵x2＋px＞4x＋p－3，
∴(x－1)p＋x2－4x＋3＞0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)＞0，只要有
∴x的取值范围为{x＞3或x＜－1}．
点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变量处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的．但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转变其他变量在问题中的地位，就能使问题迎刃而解．本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，将主元进行转化，使问题变成关于p的一次不等式，问题实现了从高维向低维的转化，解题简单易行．[来源:]
【感悟提升】
1．化归与转化应遵循的基本原则：
(1)熟悉化原则．将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．
(2)简单化原则．将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．学——科网
(3)和谐化原则．化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律．
(4)直观化原则．将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．
(5)正难则反原则．当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．
2．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识，需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系．
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．
3．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认识问题，也可以从几何的角度去认识问题．
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