2020届二轮复习三角恒等变换教案（全国通用）
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例1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【思路点拨】注意到（2）中可以转换为的函数值，从（2）计算入手.
【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下
Ⅱ.证明:
【总结升华】例1是对公式的正用．本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想.
举一反三：
【变式1】若tan+ =4,则sin2=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以.
【变式2】已知，求的值。
【答案】
【解析】
例2．不查表求的值.
【思路点拨】用二倍角公式进行降次后出现，，再将，，运用三角函数的和差公式变形.
【解析】
【总结升华】化简求值问题，要注意条件和所求式子之间的相互关系，常从“角度”“名称”及“运算结构”上进行分析，找到已知和未知之间的联系．
举一反三：
【变式】已知为第二象限的角，且，则的值为.
【答案】
【解析】
又为第二象限的角，且，所以所以原式
类型二：角的变换与求值
例3.已知
（1）求的值；（2）求的值.
【思路点拨】（1）已知倍角的余弦值，求该角的余弦值，可以选用降幂扩角公式，但应注意角的范围；（2）使用配角技巧.
【解析】(1)，又，所以.
(2)由（1）知
所以
所以
【总结升华】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,, 等.
2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】已知，,，求的值.
【答案】
【解析】,，
，
，
【变式2】函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】∵，
.
所以其最大值为2，故选C.
【变式3】已知
【答案】
【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
∵，∴
∴
∴＝
【变式4】已知，，，，求的值。
【答案】
【解析】∵ ， ∴，
∵ ， ∴。
∴
例4. 求值：
（1）；（2）
【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=
【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。
举一反三：
【变式】求值：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）原式=
=
=
（2）
类型三：三角恒等变换的综合
例5．已知，，且，求的值.
【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.
【解析】，
而，故，
又，，故，
从而，
而，，而，
，
又，
【总结升华】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意.
举一反三：
【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【变式2】已知，，求。
【解析】∵，
，
解得, ，
∴.
例6.已知是的三个内角，向量且
（1）求角的大小；
（2）若，求的值.
【思路点拨】（1）先利用向量的数量积公式转化为三角方程再求角；（2）先解方程求出，再利用内角和定理及正切公式求得的值.
【解析】（1）因为
所以即
又，所以故
（2）因为，所以即
所以
【总结升华】三角问题常和向量知识综合在一起，求解的关键是“脱去”向量包装，将其转化为相应的三角问题进行求解；倍角公式及其变形课实现三角函数的升、降幂变化，也可以实现角的形式的转化；关于正余弦的齐次式，一般化为正切来处理.
举一反三：
【高清课堂：三角恒等变换397881例2】
【变式】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．
【答案】(I) (Ⅱ)
