2020届二轮复习平面向量的数量积及应用教案（全国通用）
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例1．已知向量的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】∵，∴是共线向量，
∴，
∴，
∴向量和所成角为，又与共线且方向相反，
∴向量和所成角为，从而选项C正确.
【总结升华】仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到，，是共线向量，从而将和的夹角问题进行有效的转化.
举一反三：
【变式1】已知向量与的夹角为120°，，则________
【答案】7
【解析】 ,
∴.
【变式2】已知, , 夹角为，则向量与向量的夹角的余弦值为________.
【答案】
【解析】由向量的数量积的定义，得
∵，,
∴
设与的夹角为，则
∴
即向量与的夹角的余弦值为.
【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③；④；⑤. 其中正确的式子有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.
例2. 若、、均为单位向量，且，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】方法一：，，
又、、均为单位向量，且，，
，
的最大值为1.
方法二：设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则x2+y2=1，
=（1―x，―y）， =（―x，1―y），
则=(1―x)(―x)+(―y)(1―y)=x2+y2―x―y=1―x―y≤0，即x+y≥1.
又 =（1―x，1―y），
∴， ①
思路一：如图:
=（x，y）对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.
思路二：
，
由x+y≥1，∴，最大值为1.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.
举一反三：
【变式1】若、、均为单位向量，且，的最大值为________
【答案】
【解析】因为、、均为单位向量，且，
设=（1，0），=（0，1），,
,
故的最大值为.
【变式2】设向量，，满足，，则的最大值等于（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】由得，设，，，则∠AOB=120°，
，，∵，
∴∠ACB=60°，∴O、A、C、B四点共圆。
的最大值应为圆的直径2R，在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=120°，所以，由正弦定理得. 故选A.
【变式3】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为________;
的最大值为________.
【答案】1；1
【解析】根据平面向量的点乘公式,可知,因此;,而就是向量在边上的射影,要想让最大,即让射影最大,此时点与点重合,射影为,所以长度为1 .
例3. 已知平面向量、（，）满足||=1，且与―的夹角为120°，则||的取值范围是________。
【答案】
【解析】 如图，数形结合知，，|AB|=1，C点在圆弧上运动，∠ACB=60°，设
∠ABC=θ，由正弦定理知，∴，当时，取最大值.
∴.
【总结升华】考查平面向量数量积角度和模的问题，特别注意夹角的方向. 画出示意图，有助于分析解决问题.
举一反三：
【变式1】若，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）。
A. B.（2，+） C. D.
【答案】A；
【解析】∵与的夹角为钝角，
∴且与不能反向，即且
故
【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】
【变式2】已知、都是非零向量，且+3与75垂直， 4与72垂直，求与的夹角。
【答案】
【变式3】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是（ ）
A．p1，p4 B．p1，p3 C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】A
【解析】∵，且，若，则,
∴，即，
∴，
∴；
若，同理求得，
∴，∴，故p1，p4正确，应选A.
类型二、数量积的综合应用
例4.设向量，，.
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值；
（3）若，求证：∥.
【解析】（1）∵与垂直，∴，即，
∴.
（2），
，
∴最大值为32，∴的最大值为.
（3）证明：由，得，
即，故∥.
【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.
举一反三：
【变式1】已知向量．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】
（Ⅰ）若，则，
由此得，所以；
（Ⅱ）由得
当时，取得最大值，即当时，最大值为.
【变式2】已知A、B、C为△ABC的三个内角，=（sinB+cosB，cosC），=（sinC，sinB―cosB）.
（1）若，求角A；
（2）若，求tan2A.
【解析】（1）由已知，得，
化简 ，
即sinA+cosA=0，tanA=－1.
而A∈（0，π），∴
（2）∵，
即，
∴. ①
对①平方得，
∵
∴，. ②
联立①②得，，，
∴，∴.
【变式3】已知| |＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n (m，n∈R)，则等于（ ）
A. B．3 C. D.
【答案】B
【解析】| |＝1，| |＝，·＝0，
∴OA⊥OB，且∠OBC＝30°，
又∵∠AOC＝30°，∴⊥.
∴(m＋n)·(－)＝0，
∴－m2＋n2＝0，
∴3n－m＝0，
即m＝3n，∴＝3.
