2020届二轮复习 平面向量的数量积及应用 教案（全国通用）
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例1．已知，，分别满足下列条件，求与.
(1) ； (2)； (3)夹角为
【解析】
(1) 当时，分两种情况：
①若同向，则，
∴。
②若反向，则，
∴。
(2)当时，，
∴。
(3)当的夹角为时，
.
【总结升华】仍旧是一个向量，它们的模根据公式即为自身数量积的平方根. 数量积运算是沟通向量与数量的桥梁.
举一反三：
【变式1】已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
【答案】0；
【解析】.
【变式2】已知向量与的夹角为120°，，则________
【答案】7
【解析】 ,
∴.
【变式3】两个非零向量、互相垂直，给出下列各式：①；②；③；④；⑤. 其中正确的式子有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知与长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在时，与才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.
例2.已知向量，满足，且||=1，||=2，则与的夹角为______.
【答案】
【解析】由，得，又||=1，||=2，得，设向量与的夹角为，则，又0≤θ≤π，故.
【总结升华】考查平面向量数量的角度问题，注意运用数量积的运算性质及夹角的范围，公式合理的选用有助于分析解决问题.
举一反三：
【变式1】若向量满足，与的夹角为，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2
【答案】B；
【解析】，，故。
【变式2】若，，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ）。
A. B.（2，+） C. D.
【答案】A；
【解析】∵与的夹角为钝角，
∴且与不能反向，即且
故
【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例1】
【变式3】若，，，且，则向量与的夹角为（ ）
（A）300 （B）600 （C）1200 （D）1500
【答案】C
例3.若、、均为单位向量，且，的最大值为________
【答案】
【解析】因为、、均为单位向量，且，
设=（1，0），=（0，1），,
,
故的最大值为.
【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意本题是转换为代数运算求最值问题.
举一反三：
【变式】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
，的最大值为.故选C.
类型二、数量积的综合应用
例4. 已知向量．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）求的最大值．
【解析】
（Ⅰ）若，则，
由此得，所以；
（Ⅱ）由得
当时，取得最大值，即当时，最大值为.
【总结升华】平面向量有几何和代数两种形式，并通过平面直角坐标系将它们联系起来，所以可以说，向量实际上是解析几何的内容，它把数形很好地结合在一起，这正是数学学习中的一个重要思想方法，因此在解决数学问题时被广泛应用.高考中，除了对平面向量本身的概念、运算加以考察外，更重要的是他与其他知识的联系，即用向量来解决代数、几何等综合问题，从而考察学生综合解决问题的能力.
举一反三：
【变式1】已知A、B、C为△ABC的三个内角，=（sinB+cosB，cosC），=（sinC，sinB―cosB）.
（1）若，求角A；
（2）若，求tan2A.
【解析】（1）由已知，得，
化简 ，
即sinA+cosA=0，tanA=－1.
而A∈（0，π），∴
（2）∵，
即，
∴. ①
对①平方得，
∵
∴，. ②
联立①②得，，，
∴，∴.
【变式2】平面上O，A，B三点不共线，设，，则△OAB的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
∵，
∴，
∴，故选C.
