2020届二轮复习大题考法——三角函数、解三角形课时作业（全国通用）
展开课时跟踪检测（四）大题考法——三角函数、解三角形
1．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P .
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解：(1)由角α的终边过点P ，
得sin α＝－.
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P ，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
2．(2019届高三·浙江名校联考)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝.
(1)若＝，求角A的大小；
(2)若a＝1，tan A＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由＝及正弦定理得sin B(1－2cos A)＝2sin Acos B，
即sin B＝2sin Acos B＋2cos Asin B＝2sin(A＋B)＝2sin C，即b＝2c.
又由＝及余弦定理，得cos A＝＝⇒A＝.
(2)∵tan A＝2，∴cos A＝，sin A＝.
由余弦定理cos A＝，得＝，
解得c2＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝c2sin A＝×＝.
3．(2019届高三·绍兴六校质检)已知函数f(x)＝mcos x＋sin的图象经过点P.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(α)＝，α∈，求sin α的值．
解：(1)由题意可知f＝，
即＋＝，解得m＝1.
所以f(x)＝cos x＋sin＝cos x＋sin x＝ sin，
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(α)＝，得sin＝，
所以sin＝.
又α∈，所以α＋∈，sin＝<，
所以cos＝－ ＝－.
所以sin α＝sin＝×－×＝.
4．(2018·浙江模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f(C)＝1，sin B＝2sin A，求a，b的值．
解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)因为f(C)＝2sin＝1，所以C＝，
所以()2＝a2＋b2－2abcos，a2＋b2－ab＝3，
又因为sin B＝2sin A，所以b＝2a，
解得a＝1，b＝2，
所以a，b的值分别为1,2.
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，
即sin B＝4(1－cos B)，
故17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝，cos B＝1(舍去)．
(2)由cos B＝，得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accos B
＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)
＝36－2××
＝4.
所以b＝2.
6.如图，已知D是△ABC的边BC上一点．
(1)若cos∠ADC＝－，∠B＝，且AB＝DC＝7，求AC的长；
(2)若∠B＝，AC＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为cos∠ADC＝－，
所以cos∠ADB＝cos(π－∠ADC)＝－cos∠ADC＝，所以sin∠ADB＝.
在△ABD中，由正弦定理，得AD＝＝＝5，
所以在△ACD中，由余弦定理，得
AC＝
＝＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝20＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠B＝AB2＋BC2－AB·BC≥(2－)AB·BC，
所以AB·BC≤＝40＋20，
所以S△ABC＝AB·BCsin∠B≤10＋5，
所以△ABC面积的最大值为10＋5.
