2020届二轮复习小题考法——三角恒等变换与解三角形课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（三）小题考法——三角恒等变换与解三角形
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．1
C． D．
解析：选D　由正弦定理＝，得＝，即＝，所以b＝，故选D.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝
asin C，则sin B＝(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A　由bsin B－asin A＝asin C，得b2－a2＝ac，∵c＝2a，∴b＝a，
∴cos B＝＝＝，则sin B＝ ＝.
3．(2019届高三·温州十校联考)在△ABC中，若tan Atan B>1，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
解析：选A　因为A和B都为三角形中的内角，
由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0，
且tan A>0，tan B>0，即A，B为锐角，
所以tan(A＋B)＝<0，
则A＋B∈，即C为锐角，
所以△ABC是锐角三角形．
4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝(　　)
A．－2 B．2
C．－ D．

解析：选A　∵sin β＝，且<β<π，
∴cos β＝－，tan β＝－.
∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，
∴tan α＝－，
∴tan(α＋β)＝＝－2.
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)sin C，则A＝(　　)
A．60° B．120°
C．30° D．150°
解析：选B　由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝－，又A为三角形的内角，故A＝120°.
6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为(　　)
A．＋1 B．＋1
C．2 D．
解析：选B　由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.
7．(2018·衢州期中)在△ABC中，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)
A．2 B．2
C. D．1
解析：选B　在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝，
∴由正弦定理＝，
可得＝＝，
∴cos A＝，∴A＝，B＝，C＝π－A－B＝，
∴c＝＝2.
8．在△ABC中，A＝60°，BC＝，D是AB边上不同于A，B的任意一点，CD＝，△BCD的面积为1，则AC的长为(　　)
A．2 B．
C． D．
解析：选D　由S△BCD＝1，可得×CD×BC×sin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180°－A－B＝120°－B<120°，所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝.
在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故选D.
9．(2019届高三·台州中学检测)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　因为c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知1 10．(2018·济南外国语学校月考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)
A． B．3
C．或1 D．或3
解析：选A　∵在△ABC中，C＝，∴B＝－A，B－A＝－2A，∵sin(B＋A)＋sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin C＋sin＝2sin 2A，即sin C＋cos 2A＋sin 2A＝2sin 2A，整理得sin＝sin C＝，∴sin＝.又A∈，∴2A－＝或，解得A＝或.当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得a＝，∴S△ABC＝acsin B＝；当A＝时，B＝，tan C＝＝＝，解得b＝，∴S△ABC＝bc＝.综上，△ABC的面积是.
二、填空题
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为，且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为________．
解析：由已知可得acsin 30°＝，解得ac＝6.因为sin A＋sin C＝2sin B，所以由正弦定理可得a＋c＝2b.由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b2＝4＋2，∴b＝1＋或b＝－1－(舍去)．
答案：1＋
12．(2018·温州期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，cos B＝，则c＝________；△ABC的面积S＝________.
解析：∵a＝1，b＝2，cos B＝，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得22＝12＋c2－2×1×c×，整理得2c2－c－6＝0，
解得c＝2(负值舍去)，
又∵sin B＝＝，
∴S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.
答案：2　
13．(2018·浙江高考)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.
解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，
则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，
所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝×2×2×＝.
因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，
则cos∠CDB＝ ＝.
答案：　
14．在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝1，AD＝5，∠ABC＝45°，则sin∠ADC＝________，AC＝________.
解析：在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以sin∠ADB＝×sin∠ABC＝×sin 45°＝，
所以sin∠ADC＝sin(180°－∠ADB)＝sin∠ADB＝.
由余弦定理，
得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，
所以52＝12＋BD2－2BDcos45°，得BD＝4，
因为AD为△ABC的边BC上的中线，
所以BC＝2BD＝8.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝12＋(8)2－2×1×8×cos 45°＝113，所以AC＝.
答案：　
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，b＝，△ABC的面积为，则c＝________，B＝________.
解析：由S△ABC＝bcsin A＝××c×＝，得c＝1＋.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝6＋(4＋2)－2×(＋1)×＝4，则a＝2.由正弦定理＝，可得sin B＝，因为b 答案：1＋　
16．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝________.
解析：由题意可得AB·BC·sin B＝，又AB＝1，BC＝，所以sin B＝，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝＝.
答案：
17．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，BC边上的中线长为2，高线长为，且btan A＝(2c－b)tan B，则bc的值为________．
解析：因为btan A＝(2c－b)tan B，所以＝－1，所以1＋＝，根据正弦定理，得1＋＝，即＝.因为sin(A＋B)＝sin C≠0，sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝.设BC边上的中线为AM，则AM＝2，因为M是BC的中点，所以＝(＋)，即2＝(2＋2＋2·)，所以c2＋b2＋bc＝32　①.设BC边上的高线为AH，由S△ABC＝AH·BC＝bc·sin A，得bc＝，即bc＝2a　②，根据余弦定理，得a2＝c2＋b2－bc　③，联立①②③得2＝32－2bc，解得bc＝8或bc＝－16(舍去)．
答案：8
B组——能力小题保分练
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C　因为2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，结合面积公式与余弦定理，得absin C＝2abcos C＋2ab，即sin C－2cos C＝2，所以(sin C－2cos C)2＝4，即＝4，所以＝4，解得tan C＝－或tan C＝0(舍去)，故选C.
2．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)
A．(5,6] B．(3,5)
C．(3,6] D．[5,6]
解析：选A　由正弦定理可得，(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，则A＝.又＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，所以b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.又△ABC是锐角三角形，所以B∈，则2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2的取值范围是(5,6]，故选A.
3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝________.
解析：如图，AD为△ABC中BC边上的高．设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，AB＝ ＝a.
在Rt△ACD中，AC＝ ＝a.
∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，
即×a×a·sin∠BAC＝a·a，
∴sin∠BAC＝.
答案：
4.如图，在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，
cos∠DAC＝，cos∠C＝，则AC＝________.
解析：因为BD＝2DC，设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，因为cos∠DAC＝，
cos∠C＝，所以sin∠DAC＝，sin∠C＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝，即＝，即y＝x.又cos∠ADB＝cos(∠DAC＋∠C)＝×－×＝，则∠ADB＝.在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD×ADcos，即2＝4x2＋2x2－2×2x×x×，即x2＝1，所以x＝1，即BD＝2，DC＝1，AD＝，在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD×ADcos＝5，得AC＝.
答案：
5．已知△ABC中，AC＝，BC＝，△ABC的面积为.若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝，则CD＝________.
解析：因为S△ABC＝AC·BC·sin∠BCA，即＝×××sin∠BCA，所以sin∠BCA＝.因为∠BAC>∠BDC＝，所以∠DAC<，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<，则∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×××＝2，所以AB＝＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝.
答案：
6．(2018·嘉兴测试)设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，则＝________；tan B的最大值为________．
解析：由正弦定理可得＝·＝·，再结合余弦定理可得＝·＝··＝.由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3.由已知条件及大边对大角可知0＜A＜＜C＜π，从而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因为＜C＜π，所以＋
(－tan C)≥2＝2(当且仅当tan C＝－时取等号)，从而tan B≤＝，即tan B的最大值为.
答案：－3