2020届二轮复习数学文化课时作业（全国通用） 练习

第1讲 数学文化

一、选择题

1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历(　　)

A．己亥年　　　　　　　　 B．己巳年

C．己卯年  D．戊辰年

解析：选B．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B．

法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．

(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B．

2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n层，上底由a×b个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)，其中a是上底长，b是上底宽，c是下底长，d是下底宽，n为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为(　　)

A．83  B．84

C．85  D．86

解析：选C．由三视图知，n＝5，a＝3，b＝1，c＝7，d＝5，代入公式s＝[(2a＋c)b＋(2c＋a)d]＋(c－a)得s＝85，故选C．

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了(　　)

A．96里  B．48里

C．72里  D．24里

解析：选A．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为的等比数列．设第一天走a1里，则第二天走a2＝a1(里)．易知≥378，则a1≥192.

则第二天至少走96里．故选A．

4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是(　　)

A．  B．

C．  D．CCC

解析：选A．先将14种计算方法分为三组，方法有种，再分配给3个人，方法有×A种．故选A．

5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是(　　)

A．五寸　　　　　　　　 B．二尺五寸

C．三尺五寸  D．四尺五寸

解析：选B．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B．

6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是(　　)

A．  B．

C．  D．

解析：选C．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r，则×5×12＝(5＋12＋13)r，解得r＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P＝＝.故选C．

7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是(　　)

A．33  B．34

C．36  D．35

解析：选B．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B．

8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x元、y元、z元，设计如图所示的程序框图，则输出的x，y，z的值分别是(　　)

A．，600，  B．1 200，500，300

C．1 100，400，600  D．300，500，1 200

解析：选B．根据程序框图得：

①y＝300，z＝，x＝，i＝1，满足i<3；

②y＝400，z＝，x＝，i＝2，满足i<3；

③y＝500，z＝300，x＝1 200，i＝3，不满足i<3；

故输出的x＝1 200，y＝500，z＝300.故选B．

9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(　　)

A．20  B．27

C．54  D．64

解析：选B．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为＝1－，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－)≈27，故选B．

10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(　　)

A．　　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：选A．依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝πr2h≈L2h＝(2πr)2h，化简得π≈.故选A．

11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为(　　)

A．  B．

C．39  D．

解析：选B．设下底面的长为x，则下底面的宽为＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故当x＝时，体积取得最大值，最大值为－＋×＋＝.故选B．

12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析：选A．如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则PQ∥AB，QR∥CD.　

因为PQ⊥BD，又PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR为△PBD中BD边上的高．

设AB＝BD＝CD＝1，则＝＝，即PQ＝，

又＝＝＝，所以QR＝，

所以PR＝＝＝，

所以f(x)＝＝，故选A．

二、填空题

13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　N(n，3)＝n2＋n；

正方形数　N(n，4)＝n2；

五边形数　N(n，5)＝n2－n；

六边形数　N(n，6)＝2n2－n；

……

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．

解析：易知n2前的系数为(k－2)，而n前的系数为(4－k)．

则N(n，k)＝(k－2)n2＋(4－k)n，

故N(10，24)＝×(24－2)×102＋×(4－24)×10＝1 000.

答案：1 000

14. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈，则输入的n的值为________．

解析：框图中首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，

输入n的值后，执行循环体，S＝，k＝1＋1＝2.

若2>n不成立，执行循环体，S＝，k＝2＋1＝3.

若3>n不成立，执行循环体，S＝，k＝3＋1＝4.

若4>n不成立，执行循环体，S＝，k＝4＋1＝5.

若5>n不成立，执行循环体，S＝，k＝5＋1＝6.

若6>n不成立，执行循环体，S＝，k＝6＋1＝7.

…

由输出的S∈(，)，可得当S＝，k＝6时，应该满足条件6>n，所以5≤n<6，故输入的正整数n的值为5.

答案：5

15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．

解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a1＝3，公比为的等比数列{an}，设其前n项和为An；莞草的长度组成首项为b1＝1，公比为2的等比数列{bn}，设其前n项和为Bn.则An＝，Bn＝，令＝，化简得2n＋＝7(n∈N*)，解得2n＝6，所以n＝＝1＋≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．

答案：3

16．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为________．

解析：由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P­ABCD，其中底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD且PA＝1，所以PC＝，PC是四棱锥P­ABCD的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为3＝.

答案：