2020届二轮复习小题考法——基本初等函数、函数与方程、函数模型的应用课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（十九） 小题考法——基本初等函数、函数与方程、
函数模型的应用
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)

解析：选A　函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B、D.故选A.
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)
A．b＜a＜c　　　　　　 　B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
解析：选A　a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.
∵y＝x在第一象限内为增函数，
又5＞4＞3，∴c＞a＞b.
3．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中)设a>0，b>0，则“log2a＋log2b≥log2(a＋b)”是“ab≥4”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　若log2a＋log2b≥log2(a＋b)，则ab≥a＋b.
又a>0，b>0，
则有ab≥a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即有ab≥4，故充分性成立；
若a＝4，b＝1，满足ab≥4，
但log2a＋log2b＝2，log2(a＋b)＝log25>2，
即log2a＋log2b≥log2(a＋b)不成立，故必要性不成立，故选A.
4．(2019届高三·浙江名校协作体联考)已知函数f(x)＝x＋ex－a，g(x)＝ln(x＋2)－4ea－x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f(x0)－g(x0)＝3成立，则实数a的值为(　　)
A．－ln 2－1 B．ln 2－1
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选A　f(x)－g(x)＝x＋ex－a－ln(x＋2)＋4ea－x，令y＝x－ln(x＋2)，则y′＝1－＝，故y＝x－ln(x＋2)在(－2，－1)上是减函数，(－1，＋∞)上是增函数，故当x＝－1时，y有最小值－1－0＝－1，而ex－a＋4ea－x≥4(当且仅当ex－a＝4ea－x，即x＝a＋ln 2时，等号成立)，故f(x)－g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时，等号成立)，所以x＝a＋ln 2＝－1，即a＝－ln 2－1.综上所述，答案选A.
5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析：选B　设2018年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取常用对数，得n＞≈＝，∴n≥4，∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．
6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析：选C　由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A、B；
又f ＝ln＋ln＝ln，
f ＝ln＋ln＝ln，
所以f ＝f ＝ln，所以排除D.故选C.
7．已知函数f(x)＝ln(x2－4x－a)，若对任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：选D　依题意得，函数f(x)的值域为R，令函数g(x)＝x2－4x－a，其值域包含(0，＋∞)，因此对于方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)，故选D.
8．(2018·湖州模拟)已知函数f(x)＝x＋3＋mx3＋nx(m<0，n<0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为－，则f(x)在[－1,0]上的最大值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选A　令g(x)＝mx3＋nx(m<0，n<0)，则g′(x)＝3mx2＋n，因为m<0，n<0，所以g′(x)<0，所以g(x)为减函数．又y＝x＋3为减函数，所以f(x)为减函数．当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(1)＝m＋n＋＝－，得m＋n＝－2，当x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝
－m－n＋＝.
9．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选C　令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，
a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.
10．已知定义域为R的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对任意实数x1－2，则不等式f(log2|3x－1|)<3－log|3x－1|的解集为(　　)
A．(－∞，0)∪(0,1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,3) D．(－∞，1)

解析：选A　令F(x)＝f(x)＋2x，由对任意实数x1－2，可得f(x1)＋2x1 二、填空题
11．(2018·湖州模拟)已知3ab－4a＝8，log2a＝，则a＝________，b＝________.
解析：由log2a＝可知2＝a，即b＝ab＝2a＋1，又ab＝2a＋1＝，可得(2a)2－6·2a＋8＝0，解得2a＝2或2a＝4，解得a＝1(不符合题意，舍去)，a＝2，此时b＝3.
答案：2　3
12．(2018·萧山一中检测)已知函数f(x)＝－log4x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k的值为________．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数在定义域上为减函数，
∵f(2)＝1－log42＝1－log2＝>0，
f(3)＝－log43＝－log2<0，
∴函数f(x)在(2,3)内存在唯一的一个零点x0，
∵x0∈(k，k＋1)，∴k＝2.
答案：2
13．(2018·广州模拟)已知函数f(x)＝若|f(a)|≥2，则实数a的取值范围是________．
解析：当a≤0时，1－a≥1，所以21－a≥2，即|f(a)|≥2恒成立；当a>0时，由|f(a)|≥2可得|1－log2a|≥2，所以1－log2a≤－2或1－log2a≥2，解得a≥8或0 答案：∪[8，＋∞)
14．(2019·余杭地区部分学校联合测试)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，则a的取值范围为________；不等式f(f(x))≥1的解集为________．

解析：作出函数y＝f(x)的图象如图所示，若方程f(x)＝a有三个不等的实数根，即直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，故a∈(0,1)．设f(x)＝t，则不等式f(f(x))≥1可转化为f(t)≥1，故得t＝0或t≥2，由f(x)＝0得x＝±1.由f(x)≥2得x≥log23＋1，所以f(f(x))≥1的解集为{±1}∪[log23＋1，＋∞)．
答案：(0,1)　{±1}∪[log23＋1，＋∞)
15．(2018·肇庆二模)已知函数f(x)＝
若|f(x)|≥ax，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知得|f(x)|＝
画出函数|f(x)|的图象如图所示．
从图象上看，要使得直线y＝ax都在y＝|f(x)|图象的下方，
则a≤0，且y＝x2－4x在x＝0处的切线的斜率k≤a.
又y′＝(x2－4x)′＝2x－4，
∴y＝x2－4x在x＝0处的切线的斜率k＝－4，
∴－4≤a≤0.
答案：[－4,0]
16．已知函数f(x)＝在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．
解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则y＝在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝t在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[，
＋∞)，此时≤1，即0 答案：[－1,1]
17．(2018·浙江名校联考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈Z)，若方程f(x)＝x在(0,1)上有两个实数根，f(－1)>－1，则a的最小值为________．
解析：设g(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c，g(x)＝0在(0,1)上有两个实数根，
设为x1，x2，于是g(x)＝a(x－x1)(x－x2)，
由题知故
所以g(0)g(1)＝a2x1(1－x1)x2(1－x2)≤(当且仅当x1＝x2＝时等号成立)，所以1≤g(0)g(1)≤，所以a≥4，经检验，当a＝4，b＝－3，c＝1时符合题意，故a的最小值为4.
答案：4
B组——能力小题保分练
1．对于满足0 A． B．(1,2]
C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D　依题意，对于方程ax2＋bx＋c＝0，有Δ＝b2－4ac>0，于是c<，从而>＝1＋－2，对满足02.故选D.
2．已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是(　　)
A．a>c>b>d B．a>b>c>d
C．c>d>a>b D．c>a>b>d
解析：选D　f(x)＝2 017－(x－a)·(x－b)＝－x2＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.
3．定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，若函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，则实数m的取值范围为(　　)
A.∪
B.
C.
D.
解析：选A　函数g(x)＝f(x)＋mx有7个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点．当x∈[1,2]时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝<0，此时f(x)单调递减，且f(1)＝0，f(2)＝ln 2－1.由f(2－x)＝f(x)知函数图象关于x＝1对称，而f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f[－(2－x)]＝f(x－2)，故f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为2的函数．易知m≠0，当－m<0时，作出函数y＝f(x)与y＝－mx的图象，如图所示．

则要使函数y＝f(x)的图象与y＝－mx的图象有7个交点，需有即解得 同理，当－m>0时，可得 综上所述，实数m的取值范围为∪.故选A.
4．已知函数f(x)＝方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0(b≠0)有6个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是(　　)
A．[6,11] B．[3,11]
C．(6,11) D．(3,11)
解析：选D　首先作出函数f(x)的图象(如图)，
对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分布得出约束条件画出可行域(图略)，计算出目标函数z＝3a＋b的取值范围为(3,11)，故选D.
5．(2018·浙江模拟训练冲刺卷)在直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点．如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数，给出下列函数：①f(x)＝ ②f(x)＝x；③f(x)＝3x2－6x＋3＋1；④f(x)＝sin4x＋cos4x.
其中是一阶格点函数的为________．(只填序号)
解析：函数f(x)＝ 的图象过格点(2n,2n)，其中n∈N，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f(x)＝x的图象过格点(－n,2n)，其中n∈N，有无数个格点，故不是一阶格点函数；
f(x)＝3(x－1)2＋1的图象过格点(1,1)，且当x≠1，x∈Z时，f(x)的值不是整数，故是一阶格点函数；
f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x＝＋cos 4x，显然f(x)的值域为，要使f(x)的值是整数，则f(x)＝1，此时cos 4x＝1，得x＝，k∈Z，当且仅当k＝0时，x取整数，故是一阶格点函数．
答案：③④
6．(2018·诸暨高三适应性考试)已知a，b，c∈R＋(a>c)，关于x的方程|x2－ax＋b|＝cx恰有三个不等实根，且函数f(x)＝|x2－ax＋b|＋cx的最小值是c2，则＝________.
解析：由关于x的方程|x2－ax＋b|＝cx恰有三个不等实根可知，y＝x2－ax＋b有两个正的零点m，n(m f(x)＝|x2－ax＋b|＋cx可以看成是g(x)＝|x2－ax＋b|与h(x)＝
－cx图象的纵向距离．
由h(x)＝－cx与y＝x2－ax＋b相切可知，当x＝m时，纵向距离最小，即f(x)最小，即|m2－am＋b|＋cm＝c2，而由m2－am＋b＝0，可知m＝c.
因为m，n(m 因为a>c，所以4c＝a－c，即＝5.
答案：5