2020届二轮复习基本初等函数、函数与方程课时作业（全国通用） 练习

第2讲　基本初等函数、函数与方程

一、选择题

1．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m的值是(　　)

A．－2　　　　　　　　 B．4

C．3  D．－2或3

解析：选C．f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.

又在x∈(0，＋∞)上是增函数，

所以m＝3.

2．函数y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过的点是(　　)

A．(0，0)  B．(0，－1)

C．(－2，0)  D．(－2，－1)

解析：选C．令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图象恒过点(－2，0)．

3．若a＝log，b＝e，c＝log3cos ，则(　　)

A．b>c>a  B．b>a>c

C．a>b>c  D．c>a>b

解析：选B．因为0<<<1，所以1＝log>log>0，所以0<a<1，因为b＝e>e0＝1，所以b>1.因为0<cos <1，所以log3cos <log31＝0，所以c<0.故b>a>c，选B．

4．已知函数f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数为(　　)

A．(－∞，＋∞)上的减函数

B．(－∞，＋∞)上的增函数

C．(－1，1)上的减函数

D．(－1，1)上的增函数

解析：选D．由题意知，f(0)＝lg(2＋a)＝0，所以a＝－1，所以f(x)＝lg＝lg ，令>0，则－1<x<1，排除A、B，又y＝－1在(－1，1)上是增函数，所以f(x)在(－1，1)上是增函数，选D．

5．若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

解析：选A．若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则0<a<1，故loga|x|是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y＝loga|x|的图象大致为A．

6．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C．F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的(　　)

A．10倍  B．20倍

C．50倍  D．100倍

解析：选D．根据题意有lg A＝lg A0＋lg 10M＝lg (A0·10M)．所以A＝A0·10M，则＝100.故选D．

7．若函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝ex＋1  B．f(x)＝ex－1

C．f(x)＝e－x＋1  D．f(x)＝e－x－1

解析：选D．与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移1个单位长度，得y＝e－x的图象，所以f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，所以f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

8．已知f(x)＝|ln(x＋1)|，若f(a)＝f(b)(a<b)，则(　　)

A．a＋b>0  B．a＋b>1

C．2a＋b>0  D．2a＋b>1

解析：选A．作出函数f(x)＝|ln(x＋1)|的图象如图所示，由f(a)＝f(b)(a<b)，得－ln(a＋1)＝ln(b＋1)，即ab＋a＋b＝0，所以0＝ab＋a＋b<＋a＋b，即(a＋b)(a＋b＋4)>0，又易知－1<a<0，b>0.所以a＋b＋4>0，所以a＋b>0.故选A．

9．已知函数f(x)＝若不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)

A．(4，6]  B．(4，6)

C．(，6]  D．(，6)

解析：选B．作出函数f(x)的图象如图所示．由题意可知f(x1)＝f(x2)＝f(x3)．设x1<x2<x3，由图象可知x2，x3关于直线x＝3对称，所以x2＋x3＝6.当x≥0时，f(x)的最小值为f(3)＝－3，当x<0时，由3x＋3＝－3得x＝－2，所以－2<x1<0，故x1＋x2＋x3∈(4，6)．故选B．

10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选C．当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x∈(0，1)时f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图象如图所示，观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点．

11．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f(x)＝2x＋log3 ，若不等式f>3成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)  B．(－∞，1)

C．  D．

解析：选D．由>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上单调递增，y＝log3 ＝log3 ＝log3在(－2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)＝3，所以不等式f>3成立等价于不等式f>f(1)成立，所以解得<m<1，故选D．

12．已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于(　　)

A．5π  B．6π

C．7π  D．8π

解析：选C．f(x)＝sin x－sin 3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos 2xsin x，令f(x)＝0, 可得cos 2x＝0或sin x＝0，因为x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，所以x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因为＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零点之和等于7π，故选C．

二、填空题

13．已知函数f(x)＝则f＋f(log2 )＝________．

解析：由题可得f＝log＝2，因为log2 <0，

所以f＝＝2＝6，故f＋f＝8.

答案：8

14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若<f(1)，则x的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(ln x)－f＝f(ln x)－f(－ln x)＝f(ln x)＋f(ln x)＝2f(ln x)，

所以<f(1)等价于|f(ln x)|<f(1)，

又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，

所以－1<ln x<1，解得<x<e.

答案：

15．已知函数f(x)＝log3 －a在区间(1，2)内有零点，则实数a的取值范围是________．

解析：因为函数f(x)＝log3－a在区间(1，2)内有零点，且f(x)在(1，2)内单调，所以f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1.

答案：

16．(2019·福建省质量检查)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－恰有2个零点，则a的取值范围为________．

解析：当x≥1时，g(x)＝f(x)－＝－，则g′(x)＝，由g′(x)>0，得1≤x<e，由g′(x)<0得x>e，所以函数g(x)在[1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以g(x)在[1，＋∞)上有最大值，且g(x)max＝g(e)＝－>0，又g(1)＝－<0，g(e3)＝－<0，所以在[1，＋∞)上g(x)＝f(x)－有2个不同的零点，则由题意知当x<1时，函数g(x)＝f(x)－＝ax2－a－无零点．当a>0时，g(x)在(－∞，1)上有最小值，且g(x)min＝g(0)＝－a－<0，此时函数g(x)有零点，不满足题意；当a＝0时，g(x)＝－<0，此时函数g(x)无零点，满足题意；当a<0时，g(x)在(－∞，1)上有最大值，且g(x)max＝g(0)＝－a－，由g(x)max<0，得－<a<0.综上可知，实数a的取值范围是.

答案：