2020届二轮复习小题考法——函数的概念与性质课时作业（全国通用）

课时跟踪检测（十八） 小题考法——函数的概念与性质
A组——10＋7提速练
一、选择题
1．(2019届高三·杭州四校联考)已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为(　　)
A．－　　　　　　　 　B．－9
C． D．9
解析：选C　因为f(x)＝所以f(f(4))＝f(－2)＝.
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是减函数
C．函数f(x)是周期函数
D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D　由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x) ∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.
3．(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

解析：选D　法一：令f(x)＝－x4＋x2＋2，
则f′(x)＝－4x3＋2x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝±，
则f′(x)>0的解集为∪，
f(x)单调递增；f′(x)<0的解集为∪，f(x)单调递减，结合图象知选D.
法二：当x＝1时，y＝2，所以排除A、B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝时，y＝－＋＋2＝2>2，所以排除C选项．故选D.
4．已知函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的图象可能是(　　)

解析：选B　函数f(x－1)的图象向左平移1个单位，即可得到函数f(x)的图象．因为函数f(x－1)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A、C、D，故选B.
5．(2019届高三·镇海中学测试)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－3x＋a(a∈R)，则f(－2)＝(　　)
A．－1 B．－5
C．1 D．5
解析：选D　因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝1＋a＝0，即a＝－1.
故f(x)＝log2(x＋2)－3x－1(x≥0)，
所以f(－2)＝－f(2)＝5.故选D.
6．(2018·诸暨高三期末)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图象关于直线x＝1对称，则下列四个命题中错误的是(　　)
A．y＝g(f(x)＋1)为偶函数
B．y＝g(f(x))为奇函数
C．函数y＝f(g(x))的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(g(x＋1))为偶函数
解析：选B　由题可知
选项A，g(f(－x)＋1)＝g(－f(x)＋1)＝g(1＋f(x))，
所以y＝g(f(x)＋1)为偶函数，正确；
选项B，g(f(－x))＝g(－f(x))＝g(2＋f(x))，
所以y＝g(f(x))不一定为奇函数，错误；
选项C，f(g(－x))＝f(g(2＋x))，所以y＝f(g(x))的图象关于直线x＝1对称，正确；
选项D，f(g(－x＋1))＝f(g(x＋1))，所以y＝f(g(x＋1))为偶函数，正确．
综上，故选B.
7．函数y＝＋在[－2,2]上的图象大致为(　　)

解析：选B　当x∈(0,2]时，函数y＝＝，x2>0恒成立，令g(x)＝ln x＋1，则g(x)在(0,2]上单调递增，当x＝时，y＝0，则当x∈时，y＝<0，x∈时，y＝>0，∴函数y＝在(0,2]上只有一个零点，排除A、C、D，只有选项B符合题意．
8．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)
A．－50 B．0
C．2 D．50
解析：选C　法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象经过点A(m1，f(m1))和点B(m2，f(m2))，f(1)＝0.若a2＋[f(m1)＋f(m2)]a＋f(m1)·f(m2)＝0，则(　　)
A．b≥0 B．b<0
C．3a＋c≤0 D．3a－c<0
解析：选A　∵函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)，
满足f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
若a≤0，∵a>b>c，∴b<0，c<0，
则有a＋b＋c<0，这与a＋b＋c＝0矛盾，∴a>0成立．
若c≥0，则有b>0，a>0，
此时a＋b＋c>0，这与a＋b＋c＝0矛盾，
∴c<0成立．
∵a2＋[f(m1)＋f(m2)]·a＋f(m1)·f(m2)＝0，
∴[a＋f(m1)]·[a＋f(m2)]＝0，
∴m1，m2是方程f(x)＝－a的两根，
∴Δ＝b2－4a(a＋c)＝b(b＋4a)＝b(3a－c)≥0，
而a>0，c<0，
∴3a－c>0，∴b≥0.故选A.
10．已知函数f(x)＝若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,2] B．(－∞，2]
C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选A　依题意，当x≥1时，f(x)＝1＋log2x单调递增，f(x)＝1＋log2x在区间[1，＋∞)上的值域是[1，＋∞)．因此，要使函数f(x)的值域是R，则需函数f(x)在(－∞，1)上的值域M⊇(－∞，1)．①当a－1<0，即a<1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－a＋3，＋∞)，显然此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a<1不满足题意；②当a－1＝0，即a＝1时，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝{2}，此时不能满足M⊇(－∞，1)，因此a＝1不满足题意；③当a－1>0，即a>1时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，函数f(x)在(－∞，1)上的值域M＝(－∞，－a＋3)，由M⊇(－∞，1)得解得1 二、填空题
11．已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f ＝f ，则f(0)＝________，f(6)＝________.
解析：函数f(x)在[－1,1]上为奇函数，故f(0)＝0，
又由题意知当x>时，f ＝f ，
则f(x＋1)＝f(x)．
又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)．
又当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.
答案：0　2
12．(2018·台州第一次调考)若函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数，则a＝________，函数f(x)的值域为____________．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)恒成立，
∴a－＝－恒成立，
∴a＝＋＝＋＝＝－1.
∴f(x)＝－1－，当x∈(0，＋∞)时，2x>1，
∴2x－1>0，∴>0，∴f(x)<－1；
当x∈(－∞，0)时，0<2x<1，
∴－1<2x－1<0，∴<－1，
∴－>2，∴f(x)>1，
故函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：－1　(－∞，－1)∪(1，＋∞)

13．(2018·绍兴柯桥区模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－2)>0，则x的取值范围是________．
解析：∵偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
且f(2)＝0，
∴f(2)＝f(－2)＝0，
则不等式f(x－2)>0，等价为f(|x－2|)>f(2)，
∴|x－2|<2，
即－2 ∴x的取值范围是(0,4)．
答案：(0,4)
14．已知函数f(x)＝e|x|，函数g(x)＝对任意的x∈[1，m](m>1)，都有f(x－2)≤g(x)，则m的取值范围是________．
解析：作出函数y1＝e|x－2|和y＝g(x)的图象，如图所示，由图可知当x＝1时，y1＝g(1)，又当x＝4时，y1＝e24时，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，
∴1 答案：
15．在实数集R上定义一种运算“★”，对于任意给定的a，b∈R，a★b为唯一确定的实数，且具有下列三条性质：
(1)a★b＝b★a；(2)a★0＝a；(3)(a★b)★c＝c★(ab)＋(a★c)＋(c★b)－2c.
关于函数f(x)＝x★，有如下说法：
①函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3；
②函数f(x)为偶函数；
③函数f(x)为奇函数；
④函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；
⑤函数f(x)不是周期函数．
其中正确说法的序号为________．
解析：对于新运算“★”的性质(3)，令c＝0，则(a★b)★0＝0★(ab)＋(a★0)＋(0★b)＝ab＋a＋b，即a★b＝ab＋a＋b.∴f(x)＝x★＝1＋x＋，当x>0时，f(x)＝1＋x＋≥1＋2 ＝3，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，∴函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，故①正确；函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝1＋1＋1＝3，f(－1)＝1－1－1＝－1，∴f(－1)≠－f(1)且f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)为非奇非偶函数，故②③错误；根据函数的单调性，知函数f(x)＝1＋x＋的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故④正确；由④知，函数f(x)＝1＋x＋不是周期函数，故⑤正确．综上所述，所有正确说法的序号为①④⑤.
答案：①④⑤
16．(2018·镇海中学阶段性测试)已知函数f(x)＝ln－2，g(x)和f(x)的图象关于原点对称，将函数g(x)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，再向下平移b(b>0)个单位长度，若对于任意实数a，平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点，则b的最小值为________．
解析：由f(x)＝ln－2，知x>0，f(x)≥ln e－2＝－1，∴f(x)min＝－1，此时x＝.
在同一直角坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象(图略)，若对于任意的a，平移后g(x)和f(x)的图象最多只有一个交点，则平移后g(x)的图象的最高点不能在f(x)图象的最低点的上方，则1－b≤－1，则b的最小值为2.
答案：2
17．(2018·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．
①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；
④f(x)＝x2＋2.
解析：设g(x)＝exf(x)，对于①，g(x)＝ex·2－x，
则g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln 2)>0，
所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；
对于②，g(x)＝ex·3－x，
则g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，
所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；
对于③，g(x)＝ex·x3，
则g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，
显然函数g(x)在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；
对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，
则g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，
所以函数g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．
综上，具有M性质的函数的序号为①④.
答案：①④
B组——能力小题保分练
1．(2019届高三·浙江新高考名校联考)函数f(x)＝ln |x|＋x2的大致图象是(　　)

解析：选A　因为f(－x)＝ln |－x|＋(－x)2＝ln |x|＋x2＝f(x)，所以f(x)是偶函数，于是其图象关于y轴对称，排除D；当x>0时，f(x)＝ln x＋x2，f′(x)＝＋x≥2，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，排除B；当x∈(0,1)时，f′(x)>2，且f′(x)是减函数，当x>1时，f′(x)>2，且f′(x)是增函数，因此，当x趋近于0或x趋近于＋∞时，曲线较陡，因此排除C.故选A.
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25) B．f(80) C．f(11) D．f(－25) 解析：选D　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1) 3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝x2－2ln |x|
B．f(x)＝x2－ln |x|
C．f(x)＝|x|－2ln |x|
D．f(x)＝|x|－ln |x|
解析：选B　由图象知，函数f(x)是偶函数，四个选项都是偶函数，故只需考虑x>0时的图象即可．对于选项A，当x>0时，f(x)＝x2－2ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝1处取得极小值，故A错误；对于选项B，当x>0时，f(x)＝x2－ln x，所以f′(x)＝2x－＝，因此f(x)在x＝处取得极小值，故B正确；对于选项C，当x>0时，f(x)＝x－2ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝2处取得极小值，故C错误；对于选项D，当x>0时，f(x)＝x－ln x，所以f′(x)＝1－＝，因此f(x)在x＝1处取得极小值，故D错误．故选B.
4．定义：F(x)＝max{f(t)|－1≤t≤x≤1}，G(x)＝min{f(t)|－1≤t≤x≤1}，其中max{m，n}表示m，n中的较大者，min{m，n}表示m，n中的较小者．已知函数f(x)＝2ax2＋bx，则下列说法一定正确的是(　　)
A．若F(－1)＝F(1)，则f(－1)>f(1)
B．若G(1)＝F(－1)，则F(－1) C．若f(－1)＝f(1)，则G(－1)>G(1)
D．若G(－1)＝G(1)，则f(－1)>f(1)
解析：选B　依据题意，由≤4可得f(x)＝2ax2＋bx的图象的对称轴x＝－∈[－1,1]，由F(－1)＝F(1)知f(－1)＝F(1)，F(1)为f(t)在t∈[－1,1]上的最大值，无法排除f(－1)＝f(1)的可能，所以A错误；由G(1)＝F(－1)＝f(－1)知，f(t)在t∈[－1,1]上的最小值为f(－1)，所以F(－1)＝f(－1) 5．(2018·杭州模拟)设集合A＝{x|x2－|x＋a|＋2a＜0，a∈R}，B＝{x|x＜2}．若A≠∅且A⊆B，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知x2－|x＋a|＋2a＜0⇒x2＜|x＋a|－2a，其解集A≠∅时，可设A＝{m＜x＜n}．
首先，若n＝2时，则|2＋a|－2a＝4，
解得a＝－2，满足A⊆B.
由函数y＝|x＋a|－2a的图象可知，当a＜－2时，n＞2，不满足A⊆B，不合题意，即可知a≥－2；考虑函数y＝|x＋a|－2a的右支与y＝x2相切时，则x＋a－2a＝x2，即x2－x＋a＝0，解得a＝.
又当a≥时，A＝∅，即可知a＜.
综上可知：－2≤a＜.
或考虑函数y＝|x＋a|和函数y＝x2＋2a进行数形结合．
答案：
6．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y＝(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为________．
解析：设P ，则|PA|2＝(x－a)2＋2＝2－2a＋2a2－2，
令t＝x＋，则t≥2(x>0，当且仅当x＝1时取“＝”)，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2.
①当a≤2时，(|PA|2)min＝22－2a×2＋2a2－2＝2a2－4a＋2，
由题意知，2a2－4a＋2＝8，
解得a＝－1或a＝3(舍去)．
②当a>2时，(|PA|2)min＝a2－2a×a＋2a2－2＝a2－2.
由题意知，a2－2＝8，解得a＝或a＝－(舍去)，
综上知，a＝－1，.
答案：－1，