2020届二轮复习函数与方程课时作业（全国通用） 练习

第8节 函数与方程

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．已知函数f(x)＝－log2x在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

(A)(0,1)   (B)(1,2)

(C)(2,4)   (D)(4，＋∞)

答案；C

2．函数f(x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　)

(A)1   (B)2

(C)3   (D)4

答案：B

3．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　)

(A)(－，0)   (B)(0，)

(C)(，1)   (D)(1，)

C　解析：由于函数f(x)的图像在R上是连续的，且f＝e－＋2×－3＝e－－4＜0，f(0)＝e0＋2×0－3＝－2＜0，f＝e＋2×－3＝e－2＜0，f(1)＝e1＋2×1－3＝e－1＞0，∴ff(1)＜0，故函数f(x)＝e＋2x－3的一个零点所在的区间是.故选C.

4．函数f(x)＝|tanx|，则函数y＝f(x)＋log4x－1与x轴的交点个数是(　　)

(A)1   (B)2

(C)3   (D)4

C　解析：函数y＝f(x)＋log4x－1与x轴的交点个数，为方程f(x)＋log4x－1＝0的解的个数，即方程f(x)＝－log4x＋1解的个数，也即函数y＝f(x)和y＝－log4x＋1交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C.

5．(2018湖南十四校)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x＞0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　)

(A)2   (B)3

(C)4   (D)5

B　解析：由于函数是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0.由于f·f(2)＜0，而函数在x＞0时单调递增，故在x＞0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，在x＜0时，也有1个零点．故一共有3个零点，选B.

6．函数f(x)＝lg(|x|＋1)－sin 2x的零点个数为(　　)

(A)9  (B)10  (C)11  (D)12

D　解析：由题意知求y＝lg(|x|＋1)与y＝sin 2x的交点个数，因为x＝±9时，y＝lg 10＝1，所以当x∈[0,9]时，y＝lg(|x|＋1)与y＝sin 2x有6个交点；当x∈[－9,0)时，y＝lg(|x|＋1)与y＝sin 2x有6个交点；所以共有12个交点．

7．已知x>0，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f(x)＝－a(x≠0)有且仅有3个零点，则a的取值范围是(　　)

(A)，   (B)，

(C)，   (D)，

A　解析：由题即y＝a与y＝(x>0)交点个数为3个，

由y＝＝

画出y＝的图象，通过数形结合可知a∈，.

8．若函数f(x)＝x3－3a2x＋2(a＞0)有三个零点，则正数a的范围是________．

解析：令f′(x)＝3x2－3a2＝0，则x＝a或－a；因为a＞0，当x∈(－∞，－a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；而函数f(x)有三个零点，所以y＝f(x)与x轴有三个交点，则即又a＞0，所以a＞1.

答案：a＞1

9．(2018湖南五校调研)方程log(a－2x)＝2＋x有解，则a的最小值为________．

解析：若方程log(a－2x)＝2＋x有解，则2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，因为x＋2x≥1，故a的最小值为1.

答案：1

10．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

解析：方法一：由方程，解得a＝－，

设t＝2x(t＞0)，

则a＝－＝

＝2－，其中t＋1＞1，

由基本不等式，得(t＋1)＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.

方法二：①令t＝2x(t＞0)，

则方程t2＋at＋a＋1＝0有大于0的实根．

①t1t2＝a＋1＜0时成立，即a＜－1；

②t1t2＝a＋1＝0时，a＝－1，t2－t＝0，

t＝0(舍)或t＝1成立；

③时成立，解得－1＜a≤2－2.

综上，a≤2－2.

能力提升练(时间：15分钟)

11．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是(　　)

(A)5   (B)6

(C)7   (D)8

A　解析：由题意可知，函数f(x)是周期为2的偶函数，在同一坐标系内画出函数y＝log2|x|与y＝f(x)在[－3,5]上的图像，如图所示，由图像易知，它们有5个公共点，即方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是5.故选A.

12．已知函数f(x)满足f(x)＝f，当x∈[1,3]时，f(x)＝ln x，若在区间内，曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是(　　)

(A)   (B)

(C)  (D)

C　解析：当x∈时，∈[1,3]，f(x)＝f＝－ln x，所以f(x)＝作出其图像，如图所示．设x∈[1,3]时，直线y＝ax与y＝ln x的图像相切，其切点为(x0，y0)，则＝a，所以x0＝，所以y0＝1，所以1＝ln，所以a＝.又点(3，ln 3)与原点连线的斜率为，可知曲线g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，故选C.

13．(2018浙江六校联考)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为(　　)

(A)   (B)

(C)   (D)

B　解析：根据已知，定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝＝则函数f(x)的图像如图所示．

而F(x)的零点即函数f(x)的图像与直线y＝交点的横坐标x1，x2，x3，x4，x5，又x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，故函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和就是x3，而当x∈(－1,0)时，f(x)＝－f(－x)＝＝，由F(x3)＝0，即＝，

得x3＝，故选B.

14．已知以T＝4为周期的函数f(x)＝若方程f(x)＝mx恰有5个实数解，则正实数m的取值范围为________．

解析：因为当x∈(－1,1]时，将函数y＝化为方程x2＋y2＝1(y≥0)，其图象为半圆如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象如图，由图易知直线y＝mx与第二个半圆(x－4)2＋y2＝1(y≥0)相交，而与第二段折线无公共点时，方程恰有5个实数解，将y＝mx代入(x－4)2＋y2＝1得(1＋m2)x2－8x＋15＝0，令Δ＝64－60(1＋m2)＞0，得m2＜.又当x＝6时，6m＞1，m＞，所以m∈.

答案：

15．(2018吉林实验中学)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

解析：∵f′(x)＝ex＋＞0，∴f(x)在R上单调递增，

又f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－＞0，

∴函数在区间(0,1)上有零点且只有一个．

答案：1

16．已知集合P＝，函数y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.

(1)若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；

(2)若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在内有解，求实数a的取值范围．

解：(1)若p∩Q≠∅，则在x∈内，至少有一个值x使得ax2－2x＋2＞0成立，

即在x∈内，至少有一个值x使得a＞＋成立．

设μ＝－＋＝－22＋，

当x∈时，μ∈，∴a＞－4，

所以实数a的取值范围是{a|a＞－4}．

(2)方程log2(ax2－2x＋2)＝2在内有解，

则ax2－2x－2＝0在内有解．

即在x∈内有值x使得a＝＋成立，

μ′＝＋＝22－.

当x∈时，μ′∈，∴a∈，

所以实数a的取值范围为a∈.