2019届二轮复习 解三角形 学案 （全国通用）
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考情速递
1真题感悟
真题回放
1（2018•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
2．（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】：A
【解析】：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，
BC=1，AC=5，则AB====4．
故选：A．
3．（2018年浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．
【答案】： 3
4．（2018年天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsin A=acos（B-）．
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和sin（2A-B）的值．
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理得=，得bsin A=asin B，
又bsin A=acos（B-）．
∴asin B=acos（B-），即sin B=cos（B-）=cos Bcos +sin Bsin =cos B+sin B，
∴tan B=，
又B∈（0，π），∴B=．
（2）在△ABC中，a=2，c=3，B=，
由余弦定理得b==，由bsin A=acos（B-），得sin A=，
∵a＜c，∴cos A=，
∴sin 2A=2sin Acos A=，
cos 2A=2cos2A-1=，
∴sin（2A-B）=sin 2Acos B-cos 2Asin B=×-×=．
2热点题型
题型一：利用正、余弦定理解三角形
例1．（2018年北京）在△ABC中，a=7，b=8，cos B=-．
（1）求∠A；
（2）求AC边上的高．
（2）由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，
即64=49+c2+2×7×c×，
即c2+2c-15=0，
得（c-3）（c+5）=0，
得c=3或c=-5（舍），
则AC边上的高h=csin A=3×=．
变式训练1
（2018•丹东二模）已知△ABC的面积为S，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4S=a2﹣（b﹣c）2，bc=4，则S=（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】：A
【解析】∵4S=a2﹣（b﹣c）2，bc=4，
∴4×bcsinA=2bc﹣（b2+c2﹣a2），可得：8sinA=8﹣8cosA，可得：sinA+cosA=1，
∴可得：sin（A+）=，
∵0＜A＜π，可得：＜A+＜，
∴A+=，解得：A=，
∴S=bc=2．
故选：A．
题型三：与三角形面积有关的问题
例3.(2018年新课标Ⅰ文)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C,b2＋c2－a2＝8,则△ABC的面积为 .
分析：先利用正弦定理求得A的值，再利用余弦定理求得bc的值，最后借助三角形的面积公式求解计算即可。
【答案】
变式训练3
（2018•大庆模拟）已知如图，△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAC=120°，且
•=﹣．
（Ⅰ）求△ABC的面积；
（Ⅱ）若AB=5，求AD的长．
【解析】：（Ⅰ）∵•=﹣，∴AB•AC•cos∠BAC=﹣AB•AC=﹣，
即AB•AC=15，
∴S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=×15×=．
3：新题预测
1．（2018•青岛二模）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】：A
【解析】由正弦定理得，
∴，
故A，B两点的距离为50m，故选：A．
2（2018•珠海二模）设锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且 a=1，B=2A，则b的取值范围为（ ）
A．（，） B．（1，） C．（，2） D．（0，2）
【答案】：A
专项训练 解三角形
1. 在中,若,,,则为（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】A
【解析】： 由余弦定理,得,化简得,解得,或（舍去）.
2.在▲ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，则的度数是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】：，所以＝.
3. 已知的面积为，则的周长等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】：利用三角形面积公式和余弦定理得：所以
得
4. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为 ( )
A．9 B．18 C．9 D．18
【答案】C
【解析】：∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，∴ BA＝BC＝6，∴ S△ABC＝×BA×BC×sinB＝×6×6×＝9．
5. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】：由正弦定理：
,.
6. 如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 学 ]
∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）.
（A）20 （B）20 （C）40 （D）20 学 ]
【答案】D
【解析】：根据已知条件三角形BCD是等腰直角三角形，所以BC=40，在三角形ACD中，根据正弦定理得：，解得AC=20，三角形ACB中，根据余弦定理得：
，解得AB=20。
7. 已知分别为三个内角的对边，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A | |X|X|K]
8. 已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足，则的值（ ）。
A. B. C. D.
【答案】：A
【解析】：由余弦定理得，
，
∴，故选择A。
9.（2018•南平一模）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，2asinB=b，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：根据题意，锐角△ABC中，2asinB=b，
则有2sinAsinB=sinB，变形可得sinA=；
又由△ABC为锐角三角形，则0＜A＜，
则A=；
故选：C．
10. （2018•江西模拟）已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则b的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
11. 在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，，则c的最小值是（ ）。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】：因为，根据正弦定理得：
，即 学 ]
，又三角形ABC是锐角三角形，所以
，根据余弦定理得：，
所以，当且仅当时，等号成立，此时.
12. 在中,角、、所对的边分别为、、,已知，， ，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
二．填空题
13 在中,若,则 .
【答案】3
【解析】：由得，。由正弦定理得。又
，即，解得。
14（2018•合肥三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A=45°，2bsinB﹣csinC=2asinA，且△ABC的面积等于3，则b= ．
【答案】3
【解析】：∵A=45°，2bsinB﹣csinC=2asinA，
∴由余弦定理可得：，①
由正弦定理可得：2b2﹣c2=2a2，②
又，即，③
由①②③联立解得b=3．
故答案为：3．
15 （2018•济宁二模）如图在平面四边形 ABCD 中，∠A=45°，∠B=60°，∠D=150°，AB=2BC=4，则四边形 ABCD 的面积为 ．
【答案】 6﹣
所以：∠DAC=∠DCA=15°，
过点D作DE⊥AC，
则：AE=AC=，
所以：DE=tan15°AE=（2﹣=2﹣3．
则：，
=6﹣3+2，
=6﹣．
故答案为：6﹣
16. （2018•和平区二模）在△ABC中，AB=3，cosA=，△ABC的面积S=，则BC边长为 ．
【答案】
【解析】：∵AB=3，cosA=，可得：sinA==，
∴△ABC的面积S==AB•AC•sinA=，解得：AC=3，
∴由余弦定理可得：BC===．
故答案为：．
