2019届二轮复习　解三角形学案（全国通用）

第2讲　解三角形
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
题型1：利用正、余弦定理解三角形
2018全国卷ⅠT17；2018全国卷ⅡT16；2018全国卷ⅢT9；2017全国卷ⅠT17；2017全国卷ⅡT17；2017全国卷ⅢT17；2016全国卷ⅠT17；2016全国卷ⅡT13
题型2：与三角形有关的最值范围问题
2015全国卷ⅠT16；2014全国卷ⅠT16
题型3：与解三角形有关的交汇问题
2016全国卷ⅢT8；2015全国卷ⅡT17
命题规律
分析近五年全国卷发现高考命题有以下规律：
1.解三角形是每年必考题，重点考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式的应用.
2.解三角形常与三角恒等变换、平面几何图形、向量等知识交汇命题.
3.若以解答题形式出现主要是考查三角函数与解三角形的综合问题，一般位于第17题.

题型1　利用正、余弦定理解三角形
(对应学生用书第13页)
■核心知识储备·
1．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理及其变形
在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝，
a2＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)．
3．三角形面积公式
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．
■高考考法示例·
【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4　　　　 B．
C． D．2
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B＝(　　)
A． B．
C． D．
(3)(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
①求C；
②若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
(1)A　(2)A　[(1)因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A．
(2)由bsin B－asin A＝asin C及正弦定理可得b2－a2＝ac，即b2＝a2＋ac，
∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝a2＋4a2－a2－a×2a＝3a2，
故cos B＝＝＝，
又∵0＜B＜π，∴sin B＝＝＝.故选A．]
(3)[解]　①2cos C(acos B＋bcos A)＝c，由正弦定理得：
2cos C(sin A cos B＋sin B cos A)＝sin C，即
2cos C sin(A＋B)＝sin C，∵A＋B＋C＝π，
A，B，C∈(0，π)，∴sin(A＋B)＝sin C＞0，
∴2cos C＝1，cos C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.
②由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2ab·cos C，
7＝a2＋b2－2ab·，(a＋b)2－3ab＝7，
S＝ab·sin C＝ab＝，∴ab＝6，
∴(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5.
∴△ABC周长为a＋b＋c＝5＋.
[方法归纳]
1．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，只是角的范围受到了限制．同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．
2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac两项，二者的关系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac经常用到．
3．对于含有a＋b，ab及a2＋b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解．
4．三角形形状判断的两种思路：一是化角为边；二是化边为角．
注意：已知两边和其中一边的对角，利用余弦定理求第三边时，应注意检验，否则易产生增根．
■对点即时训练·
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A＝bcos B，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D　[由题得sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B，∴sin 2A＝sin 2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，sin 2A＝sin 2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 故选D．]
2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC．
[解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×
＝25.所以BC＝5.
题型2　与三角形有关的最值(范围)问题
(对应学生用书第14页)
■核心知识储备·
1．△ABC中的常见的不等关系
(1)内角A，B，C 满足：A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π；
(2)三边a，b，c满足：b－c＜a＜b＋c；
(3)三角形中大边对大角等．
2．函数y＝sin x(或y＝cos x)的有界性、单调性、在区间[a，b]上的值域的求法等．
3．不等式：a2＋b2≥2ab，ab≤等．
■高考考法示例·
►角度一　长度的最值(范围)问题
【例2－1】　(2018·石家庄一模)在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为(　　 )
A． B．2 C．3 D．4
D　[由正弦定理，得＝＝＝＝4，
又∵A＋B＝，
∴AC＋BC＝4sin B＋4sin A
＝4sin B＋4sin
＝4sin B＋4
＝2cos B＋10sin B＝4sin.
故当B＋φ＝时， AC＋BC的最大值为4.故选D．]
【教师备选】
(2018·安庆二模)在锐角△ABC中，A＝2B，则的取值范围是(　　 )
A．(－1,3)　　　　 B．(1,3)
C．(，) D．(1,2)
D　[＝＝＝＝3－4sin2B，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
得＜B＜⇒sin2 B∈ .所以＝3－4sin2 B∈(1,2)．故选D．]
►角度二　面积的最值(范围)问题
【例2－2】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B．
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
[解]　(1)由题意及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为＋1.
【教师备选】
在△ABC中，AB＝AC，D为AC中点，BD＝1，则△ABC面积的最大值为________．
　[在△ABD中，由余弦定理得cos A＝＝－，
则sin A＝， 所以△ABC的面积为S＝b2sin A＝b2·＝≤，
所以△ABC的面积的最大值为.]
[方法归纳]　与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略
与三角形有关的最值(范围)问题一般涉及三角形的角度、边长、面积、周长等的最大、最小问题.常见求解策略如下：
策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角形函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解.
策略二：借助正余弦定理，化角的正余弦函数为边，然后借助均值不等式对含有a2＋b2，a＋b，ab的等式求最值.
■对点即时训练·
1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)·sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)
A．(3,6] B．(3,5)
C．(5,6] D．[5,6]
C　[由(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C及正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，又A∈，∴A＝，
∵＝＝＝2，
∴b2＋c2＝4(sin2 B＋sin2 C)＝4[sin2 B＋sin2(A＋B)]
＝4
＝sin 2B－cos 2B＋4＝2sin＋4.
∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，
∴2B－∈，
∴＜sin≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C．]
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足＝2，若B＝，AD＝3，则2a＋c的最大值为________．
6　[在△ABC中，如图所示，由点D满足＝2，

∴点D在BC的延长线上且||＝2||，
由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2ac×cos ＝32，
∴(2a＋c)2－9＝3×2ac.
∵2ac≤，
∴(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，
即(2a＋c)2≤36，∴2a＋c≤6，
当且仅当2a＝c，即a＝，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.]
题型3　与解三角形有关的交汇问题
(对应学生用书第15页)
■核心知识储备·
解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等．其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系．
■高考考法示例·
【例3】　(1)在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若|－|＝3，·＝6，则△ABC面积的最大值为________．
(2)如图2­1­5，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC．

图2­1­5
①求sin∠ABD的值；
②若∠BCD＝，求CD的长．
(1)　[因为|－|＝3，所以|AB|＝3，又因为·＝6，所以abcos C＝6，∴cos C＝
由余弦定理得9＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－12≥2ab－12.∴ab≤.
所以S＝absin C＝ab＝ab＝
＝≤＝.故面积的最大值为.]
(2)[解]　①∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k.又BD＝，∠DAB＝.∴由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝＝＝.
②∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
∴sin∠DBC＝，∵＝，
∴CD＝＝.
【教师备选】
(1)在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC面积的最大值为(　　 )
A．　　　　 B．
C． D．3
(2)(2018·湖北八校联考)如图2­1­6，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝，∠ABC＝，∠ACD＝.

图2­1­6
①求sin∠BAC；
②求DC的长．
(1)B　[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵·＝|－|＝3，
∴bccos A＝a＝3.
又cos A＝≥1－＝1－，
∴cos A≥，∴0 ∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，故△ABC面积的最大值为.]
(2)[解]　①在△ABC中，由余弦定理得：
AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B，即BC2＋BC－6＝0，
解得BC＝2或BC＝－3(舍)，由正弦定理得：
＝⇒sin∠BAC＝＝.
②由①有：cos∠CAD＝sin∠BAC＝，sin∠CAD＝＝，所以sin D＝sin＝×＋×＝.由正弦定理得：＝⇒DC＝＝＝.
[方法归纳]
1．求解与三角形相关的平面几何问题的策略
一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．
2．求解三角形与平面向量交汇问题的策略
平面向量的数量积运算涉及向量的模和夹角，其与三角形中的面积公式、余弦定理完美的交汇在一起，求解此类问题的关键是熟知其内在的联系，同时借助同角三角函数的关系这一媒介解题．
■对点即时训练·
1．(2018·大连双基测试)如图2­1­7所示，在圆内接四边形ABCD中，AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则四边形ABCD的面积为________．

图2­1­7
6　[如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则cos A＝－cos C，利用余弦定理得cos A＝，cos C＝，解得BD2＝，

所以cos C＝－.由sin2C＋cos2C＝1，得sin C
＝，因为A＋C＝180°，
所以sin A＝sin C＝，
S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝×5×6×＋×3×4×＝6.]
2．(2018·濮阳二模)如图2­1­8，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝3DB，cos A＝，cos∠ACB＝，BC＝13.

图2­1­8
(1)求cos B的值；
(2)求CD的长．
[解]　(1)在△ABC中，cos A＝，A∈(0，π)，
所以sin A＝＝＝.
同理可得，sin∠ACB＝.
所以cos B＝cos[π－(A＋∠ACB)]＝－cos(A＋∠ACB)＝sin Asin ∠ACB－cos Acos∠ACB＝×－×＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理得AB＝sin∠ACB＝×＝20.
又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5.
在△BCD中，由余弦定理得，
CD＝
＝＝9.

[高考真题]
1.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A． B． C． D．
C　[根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.]
2.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)
A．　 B．　 C．－　 D．－
C　[如图，设BC＝3，则BC边上的高AD＝1，

又B＝，∴BD＝1，AB＝；同理DC＝2，AC＝.
在△ABC中，由余弦定理得
cos A＝＝＝－.]
3.(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
[解]　(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，
即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
[最新模拟]
4．(2018·烟台诊断性测试)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝，且asin Bcos C＋csin Bcos A＝，则a＝(　　)
A．1或　　　 B．1或
C．1或2 D．或
C　[由asin Bcos C＋csin Bcos A＝，sin B(acos C＋ccos A)＝bsin B＝，又b＝1，所以sin B＝，又c>b，所以B角一定是锐角，所以B＝.再由＝，
sin C＝，C＝或C＝，当C＝，A＝，a＝2，当C＝，为等腰三角形，所以a＝1，选C．]
5．(2018·甘肃诊断性考试)设△ABC的面积为S，若·＝1，tan A＝2，则S＝(　　)
A．1 B．2
C． D．
A　[若·＝1，即bccos A＝1，tan A＝2⇒cos A＝⇒bc＝，sin A＝.故S＝×bc×sin A＝1.]
6．(2018·四平市高三质量检测)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)
A．5＋ B．12
C．10＋ D．5＋2
A　[在△ABC中，∠A＝60°，∵2sin B＝3sin C，故由正弦定理得2b＝3c，再由
S△ABC＝＝bc·sin A，得bc＝6，∴b＝3，c＝2.
再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，所以a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A．]