2019届二轮复习 等差数列 学案（全国通用）
展开考纲解读：
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
考点梳理：
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N ，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N )．
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d(其中n∈N ，a1为首项，d为公差，an为第n项)．
3．等差数列及前n项和的性质
(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N )．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．. ]
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
5．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
【必会结论】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N )．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N )，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N )，则am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. ]
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.
核心能力必练
一、选择题
1．(2018湖北荆州一模,5)在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,则a7= ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】A
2．(2018河南濮阳二模,7)已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项
的值为 ( )
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得所以中间一项为a5=a1+4d=，故选D．
3．(2018河南信阳二模,9)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得 钱 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
4．设数列是等差数列，为其前项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意得解得
所以，故选C．
5．设是等差数列的前项和，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设公差为，因为，所以，所以，故选B.
6．已知等差数列的前项和为，且，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】设公差为，由得，即，则由得，解得.故选A.
7．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时，的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则解得，所以 ，故当时，取最大值，故选C. | |k ]
8．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A． B． C．7 D．14
【答案】C
【解析】，故选C.
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
10．在等差数列中，，，则此数列前30项和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，由得，所以此数列前项和 .故选B．
11．已知等差数列满足，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据等差数列的性质，可知，
所以，故选C．
12．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】B
13．已知等差数列的前项和为，且满足，，则中最大的项为（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】，
，又最大.
14．已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为 （ ）
A． B． C. D．或
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，可得， ，所以，所以数列的通项公式为 ，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．
15．已知等差数列中，，，记，则（ ）
A．78 B．152 C．156 D．168
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则①，②，联立①②，得.
16．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
17．等差数列中，为前项和，已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为，故是以为首项，为公差的等差数列，所以，解得，又
18．若数列是等差数列，则称数列为“等方差数列”，给出以下判断：
①常数列是等方差数列；
②若数列是等方差数列，则数列是等差数列；
③若数列是等方差数列，则数列是等方差数列；
④若数列是等方差数列，则数列也是等方差数列，其中正确的序号为（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
【答案】B
二、填空题
19．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于 .
【答案】
【解析】当时，取最小值.
20．设是等差数列，若，则 .
【答案】63
【解析】由得，所以.
21．已知数列为等差数列，为的前项和，若，，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，.
22．在等差数列中，，则该数列的前14项和为 ．
【答案】
【解析】由得，
，.
23．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为 ．
【答案】
三、解答题
24．已知等差数列的前项和为，，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：.
【答案】（1）， （2）详见解析
【解析】（1）设等差数列的公差为.，，，
解得 ，.
（2）
.
25．已知正项数列的前项和为，且是1与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：（）．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）由是1与的等差中项，得，即，
则当时，，当时，，，
是以为首项，为公差的等差数列，即.
26．设等差数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设公差为，则，∴.
∴的通项公式为.
（2），则，又.
所以原不等式可化为，当为奇数时，；当为偶数时，，
∵，当且仅当时取等号，∴当为奇数时，的最小值为7；当为偶数时，时，取最小值，∴.
27．已知数列为等差数列，，公差，且.
（1）求数列的通项公式以及它的前n项和；
（2）若数列满足，为数列的前项和，求；
（3）在（2）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
（3）①当为偶数时，要使不等式恒成立，
只需不等式恒成立即可，
∵，等号在时取得，∴，
②当为奇数时，要使不等式恒成立，
只需不等式恒成立即可，
∵随的增大而增大，∴时，取得最小值，∴.
综合①②可得的取值范围是.
