2019届二轮复习利用导数研究函数的极值，最值学案（全国通用）

第三章  导数

第04节  利用导数研究函数的极值，最值

【考纲解读】

【知识清单】

1．函数的极值

 (1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2．函数的最值

 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

【重点难点突破】

考点1 应用导数研究函数的极（最）值问题

【1-1】【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是             ．

【答案】

详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.

【1-2】【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知 a＞0 且 a≠1，则函数 f (x)＝(x－a)2lnx（ ）

A. 有极大值，无极小值        B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值，又有极小值    D.既无极大值，又无极小值

【答案】C

【解析】分析：对函数求导，令，得或，根据函数的图象可得方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到函数既有极大值，又有极小值.

详解：由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，

结合图象得和的图象有交点，∴方程有解，由此根据函数的单调性和极值的关系得到：函数 既有极大值，又有极小值具有极大值，也有极小值，故选C.

【1-3】【2018届华大新高考联盟4月检测】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【解析】分析： 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根．求出的导数，当 时，直接验证；当时，利用导数研究函数 的单调性可得，要使 有两个不同解，只需要     

解得即可．

当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，此时函数单调递增；
令 ，解得 ，此时函数单调递减．
∴当时，函数取得极大值．要使在区间上有两个实数根，
则，解得．
∴实数 的取值范围是（.

【1-4】【2018年文北京卷】设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）  （Ⅱ）

（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，

∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.

②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.

③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.

（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：

∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.

点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.

解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.

【领悟技法】

1.求函数f(x)极值的步骤：

(1)确定函数的定义域；

(2)求导数f′(x)；

(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．

2. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【触类旁通】

【变式一】【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（   ）

A.                    B.                    C.                   D.1

【答案】A

【解析】

【变式二】【2019届四川省成都市摸底测试】若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（     ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】分析：对函数求导，根据函数在内有且只有一个极值点，则，求出实数的范围。

详解：，因为函数在内有且只有一个极值点，所以，，又当时，，令，满足题意。所以，选C.

【变式三】【2017北京，理19】已知函数． 学  ]

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.

【解析】

所以函数在区间上单调递减.

因此在区间上的最大值为，最小值为.

【易错试题常警惕】

易错典例：已知函数f(x)＝(x－k)ex.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．

正确解析： (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.   ]

令f′(x)＝0，得x＝k－1.

f(x)与f′(x)的情况如下：

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．

(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；

当0<k－1<1，即1<k<2时，

由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝；

当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.

温馨提醒：1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.

2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．

【学 素养提升之思想方法篇】

     化整为零，积零为整——分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型 

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

【典例】【2018年北京卷理】设函数=[]．

（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；

（2）若在处取得极小值，求的取值范围．

【答案】(1) 1  (2)（，）

【解析】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．

若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；

当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．

所以f (x)<0在x=2处取得极小值．

若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，

所以f ′(x)>0．

所以2不是f (x)的极小值点．

综上可知，a的取值范围是（，+∞）．