2019届二轮复习　正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练]学案（全国通用）

第10练　正弦定理、余弦定理及应用[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度．

考点一　正弦定理、余弦定理
方法技巧　(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化．
(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b等于(　　)
A. B. C．2 D．3
答案　D
解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即5＝b2＋22－2×b×2×，
解得b＝3，故选D.
2．(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于(　　)
A．4 B. C. D．2
答案　A
解析　∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.故选A.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝_____.
答案　
解析　方法一　由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝.
又∵B∈(0，π)，∴B＝.
方法二　在△ABC中，由余弦定理，得acos C＋ccos A＝a·＋c·＝b，
∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.
又0＜B＜π，∴B＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsin A，则C＝________.
答案　
解析　由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以b2＋c2－2bccos A＝3b2＋3c2－2bcsin A，
sin A－cos A＝，2sin＝＝＋≥2，
当且仅当b＝c时，等号成立，因此b＝c，A－＝，所以A＝，
所以C＝＝.
考点二　与三角形的面积有关的问题
要点重组　三角形的面积公式
(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)．
5．(2018·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　∵S＝absin C＝＝＝abcos C，
∴sin C＝cos C，即tan C＝1.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
6．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC等于(　　)
A．5 B. C．2 D．1
答案　B
解析　∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.
7.(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
答案　
解析　∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝.
由余弦定理得cos A＝＝＝＞0，
∴cos A＝，bc＝＝，
∴S△ABC＝bcsin A＝××＝.

8．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＝3acos B－ccos B，·＝2，则△ABC的面积为________．
答案　2
解析　因为bcos C＝3acos B－ccos B，
由正弦定理得sin Bcos C＝3sin Acos B－sin Ccos B，
即sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B，
所以sin(B＋C)＝3sin Acos B.
又sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，
所以sin A＝3sin Acos B，又sin A≠0，解得cos B＝，
所以sin B＝＝＝.
由·＝2，可得cacos B＝2，解得ac＝6.
所以S△ABC＝ac·sin B＝·6·＝2.
考点三　解三角形中的最值(范围)问题
方法技巧　由余弦定理中含两边和的平方(如a2＋b2－2abcos C＝c2)且a2＋b2≥2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝absin C型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性．
9．在△ABC中，·＝|－|＝3，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A. B. C. D．3
答案　B
解析　设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵·＝|－|＝3，即bccos A＝3，a＝3，
∴cos A＝≥1－＝1－，
∴cos A≥，∴0＜sin A≤，
∴0＜tan A≤.
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝tan A≤×＝，
故△ABC面积的最大值为.
10．已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足S△ABC＝a2，则的最大值为(　　)
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
答案　C
解析　根据题意，有S△ABC＝a2＝bcsin A，即a2＝2bcsin A．应用余弦定理，可得b2＋c2－2bccos A＝a2＝2bcsin A，令t＝，于是t2＋1－2tcos A＝2tsin A．于是2tsin A＋2tcos A＝t2＋1，所以2sin＝t＋，从而t＋≤2，当且仅当A＝时，“＝”成立，解得t的最大值为＋1.
11．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，满足cos Asin Bsin C＋cos Bsin Asin C＝2cos Csin Asin B，则C的最大值为______．
答案　
解析　由正弦定理，得bccos A＋accos B＝2abcos C，
由余弦定理，得
bc·＋ac·＝2ab·，
∴a2＋b2＝2c2，
∴cos C＝＝
＝≥＝，当且仅当a＝b时，取等号．
∵0 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为________．
答案　
解析　由acos B－bcos A＝c及正弦定理，得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)＝(sin Acos B＋cos Asin B)，整理得
sin Acos B＝3cos Asin B，即tan A＝3tan B，
易得tan A>0，tan B>0.
所以tan(A－B)＝＝＝≤＝，
当且仅当＝3tan B，即tan B＝时，tan(A－B)取得最大值，所以此时B＝.

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为a2＜b2＋c2，
所以cos A＝＞0，所以A为锐角．
又因为a＞b＞c，所以A为最大角，
所以角A的取值范围是.
2．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋a2＝(b＋c)2，则cos A等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　由S＋a2＝(b＋c)2，得a2＝b2＋c2－2bc·.由余弦定理，可得sin A－1＝cos A，结合sin2A＋cos2A＝1，可得cos A ＝－.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记S为△ABC的面积，若A＝60°，b＝1，S＝，则c＝______，cos B＝________.
答案　3　
解析　因为A＝60°，b＝1，
S＝＝bcsin A＝×1×c×，
解得c＝3.
由余弦定理，可得
a＝＝＝ ，
所以cos B＝＝＝.
解题秘籍　(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题．
(2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以一个式子．

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝45°，则角A等于(　　)
A．60° B．120°
C．90° D．60°或120°
答案　D
解析　由正弦定理可知＝，即＝＝2，所以sin A＝，因为a>b，所以A>45°，所以A＝60°或A＝120°.故选D.
2．在△ABC中，若＝3，b2－a2＝ac，则cos B的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意知，c＝3a，b2－a2＝ac＝c2－2accos B，
所以cos B＝＝＝.
3．已知在△ABC中，(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝asin B，其中A，B，C为△ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为(a＋b＋c)(sin A＋sin B－sin C)＝asin B，
所以由正弦定理，可得(a＋b＋c)(a＋b－c)＝ab，
整理得c2＝a2＋b2＋ab，所以cos C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝.故选B.
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　C
解析　因为2b－c＝2acos C，
所以由正弦定理可得2sin B－sin C＝2sin Acos C，
所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C.
所以2cos Asin C＝sin C，又sin C≠0，
所以cos A＝，
因为0° 因为sin C＝，所以C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝30°，
所以B＝90°，又a＝1，
所以△ABC的面积为×1×2×＝；
当C＝120°时，A＝30°，所以B＝30°，又a＝1，
所以△ABC的面积为×1×1×＝，故选C.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案　A
解析　∵向量m＝，n＝共线，
∴acos ＝bcos .
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos cos ＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .
∵0<<，0<<，
∴＝，即A＝B.
同理可得B＝C.∴△ABC的形状为等边三角形．故选A.
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
答案　A
解析　∵等式右边＝sin Acos C＋(sin Acos C＋cos Asin C)
＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin B，
等式左边＝sin B＋2sin Bcos C，
∴sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B.
由cos C＞0，得sin A＝2sin B.
根据正弦定理，得a＝2b.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan B＝，·＝，则tan B等于(　　)
A. B.－1
C．2 D．2－
答案　D
解析　由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accos B，
再由·＝，得accos B＝，
所以tan B＝＝＝2－.故选D.
8．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是A，B，C的对边，且a＋b＋c＝0，则角A等于(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案　D
解析　由重心性质可知＋＋＝0，
故＝－－，代入a＋b＋c＝0中，
得－a－a＋b＋c＝0，
即(b－a)＋＝0.
因为，不共线，所以
即故cos A＝＝，
因为0＜A＜180°，
所以A＝30°，故选D.
9．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝________.
答案　－
解析　设BC边上的高为AD，则BC＝3AD，
又B＝，所以BD＝AD，DC＝2AD.
所以AC＝＝AD，AB＝AD.
由余弦定理，知cos A＝＝＝－.
10．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
答案　
解析　由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC
＝bcsin A≤×4×＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为.
11.如图，在△ABC中，AB＝，点D在边BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝，cos C＝，则AC＝______.

答案　
解析　因为BD＝2DC，设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，因为cos∠DAC＝，cos C＝，
所以sin∠DAC＝，sin C＝，在△ACD中，
由正弦定理可得＝，
即＝，即y＝x.
又cos∠ADB＝cos(∠DAC＋C)＝×－×＝，
则∠ADB＝.
在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD×AD·cos ，
即2＝4x2＋2x2－2×2x×x×，
即x2＝1，所以x＝1，
即BD＝2，DC＝1，AD＝，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD×ADcos ＝5，
得AC＝.
12．(2018·北京)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．
答案　　(2，＋∞)
解析　由余弦定理得cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，又B∈(0，π)，
∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A＞，
∴0＜A＜.
由正弦定理得＝＝＝＋·.
∵0＜tan A＜，∴＞，
∴＞＋×＝2，
即＞2.
∴的取值范围是(2，＋∞)．